1a. Granice funkcji - symbole nieoznaczone

(1)

1a. Granice funkcji - symbole nieoznaczone

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)1a. Granice funkcji - symbole nieoznaczone 1 / 27

(2)

1 Symbole nieoznaczone - definicja

2 Granice funkcji wymiernych i podobnych

3 Symbol 1^∞

4 Twierdzenie o trzech funkcjach

(3)

Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczone to takie działania na rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, których wykonać się nie da bez dodatkowych informacji.

Są to:

Symbole nieoznaczone

[∞ − ∞]; [∞ · 0]; [⁰₀]; [^∞_∞]; [1^∞]; [0⁰]; [∞⁰] (w miejsce ∞ w tych symbolach można równie dobrze wstawić −∞).

Nie można ich „obliczyć” - by policzyć granice, które po

podstawieniu dają taki wynik, trzeba dokonać dalszych przekształceń bądź skorzystać z odpowiedniego twierdzenia.

(4)

Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczone to takie działania na rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, których wykonać się nie da bez dodatkowych informacji. Są to:

Symbole nieoznaczone

(5)

Symbole nieoznaczone

Symbole nieoznaczone to takie działania na rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, których wykonać się nie da bez dodatkowych informacji. Są to:

Symbole nieoznaczone

(6)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

Na przykładach pokażę, dlaczego [^∞_∞] jest symbolem nieoznaczonym (ćwiczenie - zrobić to samo dla pozostałych symboli).

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞ 1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

Jak widać, granice opisane symbolem [^∞_∞] mogą dawać 3 różne wyniki (a dałoby się skonstruować o wiele więcej przykładów z jeszcze innymi wynikami) - dlatego nie jesteśmy w stanie powiedzieć bez dalszych obliczeń, jaki jest wynik, jeśli do tego symbolu dojdziemy.

(7)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x x²

= [^∞_∞] = lim

x →∞ 1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(8)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞]

= lim

x →∞ 1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(9)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x

= 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(10)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(11)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x x

= [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(12)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞]

= lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(13)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1

= 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(14)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(15)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x² x

= [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(16)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞]

= lim

x →∞x = +∞.

(17)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x

= +∞.

(18)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(19)

[

^∞_∞

] jest symbolem nieoznaczonym

x →∞lim

x

x² = [^∞_∞] = lim

x →∞

1 x = 0.

x →∞lim

x

x = [^∞_∞] = lim

x →∞1 = 1.

x →∞lim

x²

x = [^∞_∞] = lim

x →∞x = +∞.

(20)

Symbol [

^a₀

]

Symbolem nieoznaczonym jest też formalnie [^a₀], gdy a 6= 0, ale z nim akurat łatwo sobie poradzić - wynikiem jest zawsze ±∞, a znak wyniku zależy od znaku licznika i mianownika.

Przykład

x →1lim

x −2 x −1.

Musimy wykonać te obliczenia w dwóch krokach (bo znak mianownika zależy od tego, czy do 1 zbliżamy się z lewej, czy z prawej strony).

x →1lim⁺

x −2

x −1 = [⁻¹₀+] = −∞ (bo licznik i mianownik są różnych znaków). lim

x →1⁻ x −2

x −1 = [⁻¹₀−] = +∞ (bo licznik i mianownik są tych samych znaków).

Oczywiście, w związku z tym lim

x →1 x −2

x −1 nie istnieje (bo granice jednostronne są różne).

(21)

Symbol [

^a₀

]

Przykład

x →1lim

x −2 x −1.

x →1lim⁺

x −2

x −1 = [⁻¹₀+] = −∞ (bo licznik i mianownik są różnych znaków). lim

x →1⁻ x −2

x →1 x −2

(22)

Symbol [

^a₀

]

Przykład

x →1lim

x −2 x −1.

x →1lim⁺

x −2 x −1

= [⁻¹₀+] = −∞ (bo licznik i mianownik są różnych znaków). lim

x →1⁻ x −2

x →1 x −2

(23)

Symbol [

^a₀

]

Przykład

x →1lim

x −2 x −1.

x →1lim⁺

x −2

x −1 = [⁻¹₀+]

= −∞ (bo licznik i mianownik są różnych znaków). lim

x →1⁻ x −2

x →1 x −2

(24)

Symbol [

^a₀

]

Przykład

x →1lim

x −2 x −1.

x →1lim⁺

x −2

x −1 = [⁻¹₀+] = −∞ (bo licznik i mianownik są różnych znaków).

lim

x →1⁻ x −2

x →1 x −2

(25)

Symbol [

^a₀

]

Przykład

x →1lim

x −2 x −1.

x →1lim⁺

x −2

lim

x →1⁻ x −2 x −1

= [⁻¹₀−] = +∞ (bo licznik i mianownik są tych samych znaków).

x →1 x −2

(26)

Symbol [

^a₀

]

Przykład

x →1lim

x −2 x −1.

x →1lim⁺

x −2

lim

x →1⁻ x −2

x −1 = [⁻¹₀−]

= +∞ (bo licznik i mianownik są tych samych znaków).

x →1 x −2

(27)

Symbol [

^a₀

]

Przykład

x →1lim

x −2 x −1.

x →1lim⁺

x −2

lim

x →1⁻ x −2

x →1 x −2

(28)

Symbol [

^a₀

]

Przykład

x →1lim

x −2 x −1.

x →1lim⁺

x −2

lim

x →1⁻ x −2

x →1 x −2

(29)

[

^∞_∞

], [

⁰₀

] - ogólne zasady

Do granic typu [^∞_∞] i [⁰₀] najlepiej stosować regułę de L’Hospitala, którą wkrótce poznamy (ale do tego potrzebne nam będą pochodne).

Dość łatwo można poradzić sobie natomiast z niektórymi szczególnymi przypadkami:

Po pierwsze, funkcje wymierne (ilorazy wielomianów) i funkcje

„wymiernopodobne” (ilorazy funkcji wielomianopodobnych). Przy obliczaniu ich granic w nieskończoności, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę w mianowniku. Po tej operacji, w

mianowniku (w granicy) uzyskamy liczbę, więc unikniemy symbolu nieoznaczonego.

(30)

[

^∞_∞

], [

⁰₀

] - ogólne zasady

(31)

[

^∞_∞

], [

⁰₀

] - ogólne zasady

„wymiernopodobne” (ilorazy funkcji wielomianopodobnych). Przy obliczaniu ich granic w nieskończoności, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę w mianowniku.

Po tej operacji, w

(32)

[

^∞_∞

], [

⁰₀

] - ogólne zasady

(33)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Przykład

x →∞lim

2−x

x²−x−2 = [^−∞_∞ ] =?

x →∞lim

2 − x x²− x − 2

= lim

x →∞

x²(_x²2 − ¹_x)

x²(1 −_x¹ − _x²2) = lim

x →∞ 2 x² − ¹_x 1 −¹_x −_x²2

= 0 1 = 0.

Przykład

x →−∞lim

3x³+1

x³−x−2 = [^−∞_−∞] =?

x →−∞lim

3x³+ 1

x³− x − 2 = lim

x →−∞

x³(3 + _x¹3)

x³(1 − _x¹2 − _x²3) = lim

x →∞

3 + _x¹3

1 − _x¹2 − _x²3

= 3.

(34)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Przykład

x →∞lim

2−x

x²−x−2 = [^−∞_∞ ] =?

x →∞lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →∞

x²(_x²2 − ¹_x) x²(1 −_x¹ − _x²2)

= lim

x →∞ 2 x² − ¹_x 1 −¹_x −_x²2

= 0 1 = 0.

Przykład

x →−∞lim

3x³+1

x³−x−2 = [^−∞_−∞] =?

x →−∞lim

3x³+ 1

x³− x − 2 = lim

x →−∞

x³(3 + _x¹3)

x³(1 − _x¹2 − _x²3) = lim

x →∞

3 + _x¹3

1 − _x¹2 − _x²3

= 3.

(35)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Przykład

x →∞lim

2−x

x²−x−2 = [^−∞_∞ ] =?

x →∞lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →∞

x²(_x²2 − ¹_x)

x²(1 −_x¹ − _x²2) = lim

x →∞

2 x² − ¹_x 1 − ¹_x −_x²2

= 0 1 = 0.

Przykład

x →−∞lim

3x³+1

x³−x−2 = [^−∞_−∞] =?

x →−∞lim

3x³+ 1

x³− x − 2 = lim

x →−∞

x³(3 + _x¹3)

x³(1 − _x¹2 − _x²3) = lim

x →∞

3 + _x¹3

1 − _x¹2 − _x²3

= 3.

(36)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Przykład

x →∞lim

2−x

x²−x−2 = [^−∞_∞ ] =?

x →∞lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →∞

x²(_x²2 − ¹_x)

x²(1 −_x¹ − _x²2) = lim

x →∞

2 x² − ¹_x 1 − ¹_x −_x²2

= 0 1 = 0.

Przykład

x →−∞lim

3x³+1

x³−x−2 = [^−∞_−∞] =?

x →−∞lim

3x³+ 1

x³− x − 2 = lim

x →−∞

x³(3 + _x¹3)

x³(1 − _x¹2 − _x²3) = lim

x →∞

3 + _x¹3

1 − _x¹2 − _x²3

= 3.

(37)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Przykład

x →∞lim

2−x

x²−x−2 = [^−∞_∞ ] =?

x →∞lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →∞

x²(_x²2 − ¹_x)

x²(1 −_x¹ − _x²2) = lim

x →∞

2 x² − ¹_x 1 − ¹_x −_x²2

= 0 1 = 0.

Przykład

x →−∞lim

3x³+1

x³−x−2 = [^−∞_−∞] =?

x →−∞lim

3x³+ 1 x³− x − 2

= lim

x →−∞

x³(3 + _x¹3)

x³(1 − _x¹2 − _x²3) = lim

x →∞

3 + _x¹3

1 − _x¹2 − _x²3

= 3.

(38)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Przykład

x →∞lim

2−x

x²−x−2 = [^−∞_∞ ] =?

x →∞lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →∞

x²(_x²2 − ¹_x)

x²(1 −_x¹ − _x²2) = lim

x →∞

2 x² − ¹_x 1 − ¹_x −_x²2

= 0 1 = 0.

Przykład

x →−∞lim

3x³+1

x³−x−2 = [^−∞_−∞] =?

x →−∞lim

3x³+ 1

x³− x − 2 = lim

x →−∞

x³(3 + _x¹3) x³(1 − _x¹2 − _x²3)

= lim

x →∞

3 + _x¹3

1 − _x¹2 − _x²3

= 3.

(39)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Przykład

x →∞lim

2−x

x²−x−2 = [^−∞_∞ ] =?

x →∞lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →∞

x²(_x²2 − ¹_x)

x²(1 −_x¹ − _x²2) = lim

x →∞

2 x² − ¹_x 1 − ¹_x −_x²2

= 0 1 = 0.

Przykład

x →−∞lim

3x³+1

x³−x−2 = [^−∞_−∞] =?

x →−∞lim

3x³+ 1

x³− x − 2 = lim

x →−∞

x³(3 + _x¹3)

x³(1 − _x¹2 − _x²3) = lim

x →∞

3 + _x¹3

1 − _x¹2 − _x²3

= 3.

(40)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Przykład

x →∞lim

2−x

x²−x−2 = [^−∞_∞ ] =?

x →∞lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →∞

x²(_x²2 − ¹_x)

x²(1 −_x¹ − _x²2) = lim

x →∞

2 x² − ¹_x 1 − ¹_x −_x²2

= 0 1 = 0.

Przykład

x →−∞lim

3x³+1

x³−x−2 = [^−∞_−∞] =?

x →−∞lim

3x³+ 1

x³− x − 2 = lim

x →−∞

x³(3 + _x¹3)

x³(1 − _x¹2 − _x²3) = lim

x →∞

3 + _x¹3

1 − _x¹2 − _x²3

= 3.

(41)

Funkcje „wymiernopodobne” - twierdzenia

Można też do takich granic w nieskończonościach zastosować poniższe twierdzenie:

Twierdzenie o granicach funkcji wymiernych

Niech f , g będą wielomianami, takimi że stopień f wynosi n, a stopień g wynosi m. Wtedy:

a) Jeśli n > m, to lim

x →∞

f (x )

g (x ) i lim

x →−∞

f (x )

g (x ) wynoszą ±∞. Znak wyniku zależy od znaku licznika i mianownika w pobliżu ±∞.

b) Jeśli n < m, to lim

x →∞

f (x )

g (x ) = lim

x →−∞

f (x ) g (x ) = 0.

c) Jeśli n = m, to lim

x →∞

f (x )

g (x ) = lim

x →−∞

f (x )

g (x ) = ^p_q, gdzie p jest

współczynnikiem przy xⁿ w wielomianie f , a g jest współczynnikiem przy x^m w wielomianie g .

(42)

Funkcje „wymiernopodobne” - twierdzenia

Twierdzenie o granicach funkcji wymiernych

Niech f , g będą wielomianami, takimi że stopień f wynosi n, a stopień g wynosi m. Wtedy:

a) Jeśli n > m, to lim

x →∞

f (x )

g (x ) i lim

x →−∞

f (x )

g (x ) wynoszą ±∞. Znak wyniku zależy od znaku licznika i mianownika w pobliżu ±∞.

b) Jeśli n < m, to lim

x →∞

f (x )

g (x ) = lim

x →−∞

f (x ) g (x ) = 0.

c) Jeśli n = m, to lim

x →∞

f (x )

g (x ) = lim

x →−∞

f (x )

g (x ) = ^p_q, gdzie p jest

współczynnikiem przy xⁿ w wielomianie f , a g jest współczynnikiem przy x^m w wielomianie g .

Twierdzenie to obowiązuje również dla funkcji

„wielomianopodobnych”. Przez stopień takiej funkcji rozumiemy wtedy najwyższą potęgę w której x występuje w danej funkcji.

(43)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Jeśli są to granice typu lim

x →c W (x )

Z (x ), gdzie c jest liczbą rzeczywistą, W (c) = Z (c) = 0, to rozkładamy wielomiany W i Z na czynniki pierwsze i staramy się skrócić przez (x − c) w liczniku i mianowniku (da się to zrobić dzięki twierdzeniu Bezouta).

Przykład

x →2lim

2−x

x²−x−2 = [⁰₀] =?

x →2lim

2 − x

x² − x − 2 = lim

x →2

−(x − 2)

(x − 2)(x + 1) = lim

x →2

−1

(x + 1) = −1 3.

(44)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

x →c W (x )

Przykład

x →2lim

2−x

x²−x−2 = [⁰₀] =?

x →2lim

2 − x x²− x − 2

= lim

x →2

−(x − 2)

(x − 2)(x + 1) = lim

x →2

−1

(x + 1) = −1 3.

(45)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

x →c W (x )

Przykład

x →2lim

2−x

x²−x−2 = [⁰₀] =?

x →2lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →2

−(x − 2) (x − 2)(x + 1)

= lim

x →2

−1

(x + 1) = −1 3.

(46)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

x →c W (x )

Przykład

x →2lim

2−x

x²−x−2 = [⁰₀] =?

x →2lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →2

−(x − 2)

(x − 2)(x + 1) = lim

x →2

−1 (x + 1)

= −1 3.

(47)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

x →c W (x )

Przykład

x →2lim

2−x

x²−x−2 = [⁰₀] =?

x →2lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →2

−(x − 2)

(x − 2)(x + 1) = lim

x →2

−1

(x + 1) = −1 3.

(48)

Funkcje „wymiernopodobne” - ogólne zasady

Zauważmy, że w tej sytuacji nie zadziała procedura, którą stosowaliśmy w ∞. Co prawda, możemy przekształcić:

x →2lim

2 − x

x²− x − 2 = lim

x →2

x²(_x²2 − ¹_x)

x²(1 −_x¹ − _x²2) = lim

x →2 2 x² −_x¹ 1 − ¹_x − _x²2

,

ale nic nam to nie pomaga, bo dla x = 2 _x¹ = ¹₂ i _x²2 = ¹₂, więc nie możemy skorzystać z faktu, że ¹_x i _x²2 dążą do zera (bo nie dążą) i pominąć te wyrazy w końcowych obliczeniach.

Podobnie, nie działają ogólne twierdzenia o granicach takich ilorazów w nieskończoności.