CAŁKI NIEOZNACZONE

1

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 8.

CAŁKI NIEOZNACZONE

Definicja (funkcja pierwotna)

Niech F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli '( ) ( ) dla każdego .

F x  f x xI

Przykład

Udowodnić, że funkcje F x₁( ) 3 cos²x, ₂ 1 ( ) 2 cos 2

F x  2 x są funkcjami pierwotnymi dla funkcji f x( )sin 2 .x

Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Niech F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, wtedy

1) G x( )F x( )C, gdzie C , jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I;

2) każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F x( )D, gdzie .

D

Definicja (całka nieoznaczona)

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji

{ ( )F x C C,  }.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez



2 Fakt (pochodna całki nieoznaczonej)

Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego x I ( ) ' ( ).

f x dx f x

  





Fakt (całka nieoznaczona pochodnej)

Niech funkcja f 'f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego x I '( ) ( ).

f x dx f x



Fakt (całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych)

1)







4) ,

ln

x

x a

a dx C

 a









8) 1₂

ctg ,

sin dx x C

x   







11)

2

1 arcsin ,

1

dx x C

x

 



Przykład

Korzystając z powyższych reguł obliczyć podane całki:

3 2

1 1

a) , b) .

3^x

dx dx





3 Fakt (całki ważniejszych typów funkcji)

1) '( )

ln ( ) , ( )

f x dx f x C

f x  



2) ₂'( ) 1

( ) , ( )

f x dx C

f x

f x   



3) '( )

2 ( ) .

( )

f x dx f x C

f x  



Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej) Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to

1)











Przykład

Korzystając z twierdzenia o liniowości całki nieoznaczonej obliczyć podane całki:

2 2

2

a) 1 , b) .

1

x x x

dx dx

x x

 

 

Twierdzenie (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) . f x g x dx f x g x  f x g x dx

 

Przykład

Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć podane całki:

2 2

a)





4 Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli f

1) funkcja f I:  jest ciągła na przedziale I,

2) funkcja



( ) ( ( )) '( ) ( ( )) .

f x dx f  t  x dxF  t C

 

Przykład

Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki:

a) (2





CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Definicja (funkcja wymierna właściwa)

Funkcję wymierną ( )

( ) ( )

W x L x

 M x nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.

Przykład

Podaną funkcję wymierną zapisać w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej,

6

2 .

2 2

x

x  x

Definicja (ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju)

1) Funkcję wymierną właściwą postaci

( )ⁿ A

xa , gdzie n oraz a A,  nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju;

2) Funkcję wymierną właściwą postaci ₂

( )ⁿ

Px Q x px q



  , gdzie n oraz p q P Q, , ,  , przy czym   p²4q0, nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

5 Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Każda funkcja wymierna rzeczywista jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne. Funkcja wymierna właściwa

1 2 2 1 2 2 2

1 2 1 1 2 2

( )

( ) (^k )^k ( ) (^kr ) (^l )^l ( )^ls

n r s s

P x

a xx xx xx x  p xq x p xq x  p xq jest sumą k₁  k₂ k_r ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l₁  l₂ l_s ułamków prostych drugiego rodzaju, przy czym

 czynnikowi (xx_i)^ki odpowiada suma k_i ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci

1 2

( )2 ( )

ki i

i i i

k

i i i

A A A

x x  x x   x x

  

gdzie

1, 2, , dla 1 ;

i i iki

A A A   i r

 czynnikowi (x² p x_j q_j)^lj odpowiada suma l_j ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci

1 1 2 2

2 ( 2 )2 ( 2 )

lj lj

j

j j

j j j j

l

j j j j j j

B x C

B x C B x C

x p x q x p x q x p x q

  

  

     

gdzie

1, 2, , , 1, 2, , dla 1 .

lj lj

j j j j j j

B B B C C C   j s

Przykład

Podać rozkład na ułamki proste wskazanych funkcji wymiernych właściwych nie obliczając współczynników rodzaju:

2 2 2

2 2 2 3 2 5

1 1 ( 1)

a) , b) , c) .

( 1)( 2)( 3)( 4) ( 3) ( 2 2)( 10)

x x x x

x x x x x x x x x

   

       

Fakt (całkowanie ułamków pierwszego rodzaju)

1) A ln ,

dx A x a C

x a   



2) ₁ , dla 2.

( )ⁿ ( 1)( )ⁿ

A A

dx C n

x a   n x a ^  

  



6 Przykład

Rozkładając funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych obliczyć całki:

2 4

2 4 2

2 2

3 10 1 2 3

a) , b) , c) , d) ,

( 1)( 2)( 3) 4 4 1 2 2

3 1

e) .

( 1)( 1)

xdx x x x

dx dx dx

x x x x x x x x

x dx

x x

  

       



 

   



CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH Fakt (całkowanie funkcji postaci R(sin ,cos )x x )

Niech R u v( , ) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczas dla obliczenia całek postaci (sin ,cos )

R x x dx



stosujemy podstawienie z tabeli (w zależności od warunków jakie spełnia funkcja R).

Warunek Podstawienie Przedstawienie funkcji Różniczka

( , ) ( , )

R u v  R u v tcosx sinx 1t2

1 2

dx dt

t

 



( , ) ( , )

R u   v R u v tsinx _{cosx 1t}²

1 2

dx dt

t

 

( , ) ( , )

R   u v R u v ttgx

sin 2

1 x t

t

 

2

cos 1

1 x

t

 

1 2

dx dt

 t



R dowolna funkcja

tg2

t  x ₂

2 2

sin 2 1 cos 1

1 x t

t x t

t

 

 



2

2 1 dx dt

 t



7 Przykład

Korzystając z podstawień w tabeli obliczyć całki:

sin4

a) , b) , c) .

sin cos cos 1 tg

dx x dx dx

x x x  x

  

Fakt (

Do obliczania całek z funkcji postaci

sinaxcosbx, sinaxsinbx, cosaxcosbx stosujemy tożsamości trygonometryczne

 

 

 

sin cos 1 sin( ) sin( )

2

sin sin 1 cos( ) cos( )

2

cos cos 1 cos( ) cos( )

2

ax bx a b x a b x

ax bx a b x a b x

ax bx a b x a b x

    



    



   



Przykład

Obliczyć podane całki:a) sin 2 cos 4 , b) cos cos .

2 3

x x

x x

 