07 Całki nieoznaczone

07 Całki nieoznaczone

3 stycznia 2017

CAŁKI NIEOZNACZONE

Definicja 208

Funkcje różniczkowaln_, a F : I −→ R, gdzie I ⊂ R jest przedziałem nazywamy_, funkcja pierwotn_, a funkcji f : I −→ R jeżeli ∀x ∈ I F_, ⁰(x ) = f (x ).

Twierdzenie 209

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f to F + C , gdzie C jest stał_, a, też jest_, funkcja pierwotn_, a funkcji f ._,

3 stycznia 2017 2 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Definicja 208

Funkcje różniczkowaln_, a F : I −→ R, gdzie I ⊂ R jest przedziałem nazywamy_, funkcja pierwotn_, a funkcji f : I −→ R jeżeli ∀x ∈ I F_, ⁰(x ) = f (x ).

Twierdzenie 209

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f to F + C , gdzie C jest stał_, a, też jest_, funkcja pierwotn_, a funkcji f ._,

3 stycznia 2017 2 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 210

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f i G jest funkcj_, a pierwotn_, a funkcji f na_, tym samym przedziale I to G = F + c, gdzie c jest stosowna stał_, a._,

DOWÓD:

Jeżeli F i G są pierwotnymi funkcji f to (G − F )⁰(x ) = 0 dla wszystkich x ∈ I . Zatem z wniosku z Twierdzenia Lagrange’a mamy G − F = c dla stosownej stałej c. Stąd G = F + c.

Definicja 211

Zbiór wszystkich pierwotnych funkcji f nazywamy całka nieoznaczon_, a funkcji f i_, oznaczamyR f (x)dx.

Uwaga 212

Każda funkcja ciagła w przedziale [a, b] ma pierwotn_, a._,

3 stycznia 2017 3 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 210

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f i G jest funkcj_, a pierwotn_, a funkcji f na_, tym samym przedziale I to G = F + c, gdzie c jest stosowna stał_, a._,

DOWÓD:

Jeżeli F i G są pierwotnymi funkcji f to (G − F )⁰(x ) = 0 dla wszystkich x ∈ I . Zatem z wniosku z Twierdzenia Lagrange’a mamy G − F = c dla stosownej stałej c. Stąd G = F + c.

Definicja 211

Zbiór wszystkich pierwotnych funkcji f nazywamy całka nieoznaczon_, a funkcji f i_, oznaczamyR f (x)dx.

Uwaga 212

Każda funkcja ciagła w przedziale [a, b] ma pierwotn_, a._,

3 stycznia 2017 3 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 210

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f i G jest funkcj_, a pierwotn_, a funkcji f na_, tym samym przedziale I to G = F + c, gdzie c jest stosowna stał_, a._,

DOWÓD:

Jeżeli F i G są pierwotnymi funkcji f to (G − F )⁰(x ) = 0 dla wszystkich x ∈ I . Zatem z wniosku z Twierdzenia Lagrange’a mamy G − F = c dla stosownej stałej c. Stąd G = F + c.

Definicja 211

Zbiór wszystkich pierwotnych funkcji f nazywamy całka nieoznaczon_, a funkcji f i_, oznaczamyR f (x)dx.

Uwaga 212

Każda funkcja ciagła w przedziale [a, b] ma pierwotn_, a._,

3 stycznia 2017 3 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 210

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f i G jest funkcj_, a pierwotn_, a funkcji f na_, tym samym przedziale I to G = F + c, gdzie c jest stosowna stał_, a._,

DOWÓD:

Jeżeli F i G są pierwotnymi funkcji f to (G − F )⁰(x ) = 0 dla wszystkich x ∈ I . Zatem z wniosku z Twierdzenia Lagrange’a mamy G − F = c dla stosownej stałej c.Stąd G = F + c.

Definicja 211

Zbiór wszystkich pierwotnych funkcji f nazywamy całka nieoznaczon_, a funkcji f i_, oznaczamyR f (x)dx.

Uwaga 212

Każda funkcja ciagła w przedziale [a, b] ma pierwotn_, a._,

3 stycznia 2017 3 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 210

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f i G jest funkcj_, a pierwotn_, a funkcji f na_, tym samym przedziale I to G = F + c, gdzie c jest stosowna stał_, a._,

DOWÓD:

Jeżeli F i G są pierwotnymi funkcji f to (G − F )⁰(x ) = 0 dla wszystkich x ∈ I . Zatem z wniosku z Twierdzenia Lagrange’a mamy G − F = c dla stosownej stałej c. Stąd G = F + c.

Definicja 211

Zbiór wszystkich pierwotnych funkcji f nazywamy całka nieoznaczon_, a funkcji f i_, oznaczamyR f (x)dx.

Uwaga 212

Każda funkcja ciagła w przedziale [a, b] ma pierwotn_, a._,

3 stycznia 2017 3 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 210

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f i G jest funkcj_, a pierwotn_, a funkcji f na_, tym samym przedziale I to G = F + c, gdzie c jest stosowna stał_, a._,

DOWÓD:

Jeżeli F i G są pierwotnymi funkcji f to (G − F )⁰(x ) = 0 dla wszystkich x ∈ I . Zatem z wniosku z Twierdzenia Lagrange’a mamy G − F = c dla stosownej stałej c. Stąd G = F + c.

Definicja 211

Zbiór wszystkich pierwotnych funkcji f nazywamy całka nieoznaczon_, a funkcji f i_, oznaczamyR f (x)dx.

Uwaga 212

Każda funkcja ciagła w przedziale [a, b] ma pierwotn_, a._,

3 stycznia 2017 3 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 210

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f i G jest funkcj_, a pierwotn_, a funkcji f na_, tym samym przedziale I to G = F + c, gdzie c jest stosowna stał_, a._,

DOWÓD:

Jeżeli F i G są pierwotnymi funkcji f to (G − F )⁰(x ) = 0 dla wszystkich x ∈ I . Zatem z wniosku z Twierdzenia Lagrange’a mamy G − F = c dla stosownej stałej c. Stąd G = F + c.

Definicja 211

Zbiór wszystkich pierwotnych funkcji f nazywamy całka nieoznaczon_, a funkcji f i_, oznaczamyR f (x)dx.

Uwaga 212

Każda funkcja ciagła w przedziale [a, b] ma pierwotn_, a._,

3 stycznia 2017 3 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 210

Jeżeli F jest funkcja pierwotn_, a funkcji f i G jest funkcj_, a pierwotn_, a funkcji f na_, tym samym przedziale I to G = F + c, gdzie c jest stosowna stał_, a._,

DOWÓD:

Jeżeli F i G są pierwotnymi funkcji f to (G − F )⁰(x ) = 0 dla wszystkich x ∈ I . Zatem z wniosku z Twierdzenia Lagrange’a mamy G − F = c dla stosownej stałej c. Stąd G = F + c.

Definicja 211

Zbiór wszystkich pierwotnych funkcji f nazywamy całka nieoznaczon_, a funkcji f i_, oznaczamyR f (x)dx.

Uwaga 212

Każda funkcja ciagła w przedziale [a, b] ma pierwotn_, a._,

3 stycznia 2017 3 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

F (x ) = lim

n→∞

n

P

k=1

f (a +k

n(x − a))x − a n

Twierdzenie 213

Zachodza nast_, epuj_, ace wzory_,

R x^αdx =





 1

1 + αx^α+1 + C dla α 6= −1 ln |x | + C dla α = −1 R a^xdx = a^x

ln a + C R sin x dx = −cos x + C R cos x dx = sin x + C

R 1

1 + x²dx = arctg x + C

3 stycznia 2017 4 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

F (x ) = lim

n→∞

n

P

k=1

f (a +k

n(x − a))x − a n

Twierdzenie 213

Zachodza nast_, epuj_, ace wzory_,

R x^αdx =





 1

1 + αx^α+1 + C dla α 6= −1 ln |x | + C dla α = −1 R a^xdx = a^x

ln a + C R sin x dx = −cos x + C R cos x dx = sin x + C

R 1

1 + x²dx = arctg x + C

3 stycznia 2017 4 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

F (x ) = lim

n→∞

n

P

k=1

f (a +k

n(x − a))x − a n

Twierdzenie 213

Zachodza nast_, epuj_, ace wzory_,

R x^αdx =





 1

1 + αx^α+1 + C dla α 6= −1 ln |x | + C dla α = −1 R a^xdx = a^x

ln a + C R sin x dx = −cos x + C R cos x dx = sin x + C

R 1

1 + x²dx = arctg x + C

3 stycznia 2017 4 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

F (x ) = lim

n→∞

n

P

k=1

f (a +k

n(x − a))x − a n

Twierdzenie 213

Zachodza nast_, epuj_, ace wzory_,

R x^αdx =





 1

1 + αx^α+1 + C dla α 6= −1 ln |x | + C dla α = −1 R a^xdx = a^x

ln a + C R sin x dx = −cos x + C R cos x dx = sin x + C

R 1

1 + x²dx = arctg x + C

3 stycznia 2017 4 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

F (x ) = lim

n→∞

n

P

k=1

f (a +k

n(x − a))x − a n

Twierdzenie 213

Zachodza nast_, epuj_, ace wzory_,

R x^αdx =





 1

1 + αx^α+1 + C dla α 6= −1 ln |x | + C dla α = −1 R a^xdx = a^x

ln a + C R sin x dx = −cos x + C R cos x dx = sin x + C

R 1

1 + x²dx = arctg x + C

3 stycznia 2017 4 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

F (x ) = lim

n→∞

n

P

k=1

f (a +k

n(x − a))x − a n

Twierdzenie 213

Zachodza nast_, epuj_, ace wzory_,

R x^αdx =





 1

1 + αx^α+1 + C dla α 6= −1 ln |x | + C dla α = −1 R a^xdx = a^x

ln a + C R sin x dx = −cos x + C R cos x dx = sin x + C

R 1

1 + x²dx = arctg x + C

3 stycznia 2017 4 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

F (x ) = lim

n→∞

n

P

k=1

f (a +k

n(x − a))x − a n

Twierdzenie 213

Zachodza nast_, epuj_, ace wzory_,

R x^αdx =





 1

1 + αx^α+1 + C dla α 6= −1 ln |x | + C dla α = −1 R a^xdx = a^x

ln a + C R sin x dx = −cos x + C R cos x dx = sin x + C

R 1

1 + x²dx = arctg x + C

3 stycznia 2017 4 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

R −1

1 + x²dx = arc ctg x + C

R 1

√

1 − x²dx = arcsin x + C

R −1

√1 − x²dx = arc cos x + C

R 1

cos²x dx = tg x + C

R 1

sin²xdx = −ctg x + C

R 1

√

a + x²dx = ln x +√

a + x² + C

3 stycznia 2017 5 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

R −1

1 + x²dx = arc ctg x + C

R 1

√

1 − x²dx = arcsin x + C

R −1

√1 − x²dx = arc cos x + C

R 1

cos²x dx = tg x + C

R 1

sin²xdx = −ctg x + C

R 1

√

a + x²dx = ln x +√

a + x² + C

3 stycznia 2017 5 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

R −1

1 + x²dx = arc ctg x + C

R 1

√

1 − x²dx = arcsin x + C

R −1

√1 − x²dx = arc cos x + C

R 1

cos²x dx = tg x + C

R 1

sin²xdx = −ctg x + C

R 1

√

a + x²dx = ln x +√

a + x² + C

3 stycznia 2017 5 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

R −1

1 + x²dx = arc ctg x + C

R 1

√

1 − x²dx = arcsin x + C

R −1

√1 − x²dx = arc cos x + C

R 1

cos²x dx = tg x + C

R 1

sin²xdx = −ctg x + C

R 1

√

a + x²dx = ln x +√

a + x² + C

3 stycznia 2017 5 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

R −1

1 + x²dx = arc ctg x + C

R 1

√

1 − x²dx = arcsin x + C

R −1

√1 − x²dx = arc cos x + C

R 1

cos²x dx = tg x + C

R 1

sin²xdx = −ctg x + C

R 1

√

a + x²dx = ln x +√

a + x² + C

3 stycznia 2017 5 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

R −1

1 + x²dx = arc ctg x + C

R 1

√

1 − x²dx = arcsin x + C

R −1

√1 − x²dx = arc cos x + C

R 1

cos²x dx = tg x + C

R 1

sin²xdx = −ctg x + C

R 1

√

a + x²dx = ln x +√

a + x² + C

3 stycznia 2017 5 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 214

( O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE )

Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ (c, d ) jest klasy C¹ a funkcja g : (c, d ) −→ R jest ciągła to

R g (f (x))f⁰(x ) dx =R g (y ) dy |y =f (x ). DOWÓD:

Niech G : (c, d ) −→ R będzie pierwotną funkcji g wówczas (G ◦ f )⁰(x ) = G⁰(f (x )) · f⁰(x ) = g (f (x )) · f⁰(x ).

Przykład 215

R ln²x

x dx =R ln²x · (ln⁰x )dx = ln³x 3 + C .

3 stycznia 2017 6 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 214

( O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE )

Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ (c, d ) jest klasy C¹ a funkcja g : (c, d ) −→ R jest ciągła to

R g (f (x))f⁰(x ) dx =R g (y ) dy |y =f (x ). DOWÓD:

Niech G : (c, d ) −→ R będzie pierwotną funkcji g wówczas (G ◦ f )⁰(x ) = G⁰(f (x )) · f⁰(x ) = g (f (x )) · f⁰(x ).

Przykład 215

R ln²x

x dx =R ln²x · (ln⁰x )dx = ln³x 3 + C .

3 stycznia 2017 6 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 214

( O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE )

Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ (c, d ) jest klasy C¹ a funkcja g : (c, d ) −→ R jest ciągła to

R g (f (x))f⁰(x ) dx =R g (y ) dy |y =f (x ). DOWÓD:

Niech G : (c, d ) −→ R będzie pierwotną funkcji g wówczas (G ◦ f )⁰(x ) =G⁰(f (x )) · f⁰(x ) = g (f (x )) · f⁰(x ).

Przykład 215

R ln²x

x dx =R ln²x · (ln⁰x )dx = ln³x 3 + C .

3 stycznia 2017 6 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 214

( O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE )

Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ (c, d ) jest klasy C¹ a funkcja g : (c, d ) −→ R jest ciągła to

R g (f (x))f⁰(x ) dx =R g (y ) dy |y =f (x ). DOWÓD:

Niech G : (c, d ) −→ R będzie pierwotną funkcji g wówczas (G ◦ f )⁰(x ) = G⁰(f (x )) · f⁰(x )= g (f (x )) · f⁰(x ).

Przykład 215

R ln²x

x dx =R ln²x · (ln⁰x )dx = ln³x 3 + C .

3 stycznia 2017 6 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 214

( O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE )

Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ (c, d ) jest klasy C¹ a funkcja g : (c, d ) −→ R jest ciągła to

R g (f (x))f⁰(x ) dx =R g (y ) dy |y =f (x ). DOWÓD:

Niech G : (c, d ) −→ R będzie pierwotną funkcji g wówczas (G ◦ f )⁰(x ) = G⁰(f (x )) · f⁰(x ) = g (f (x )) · f⁰(x ).

Przykład 215

R ln²x

x dx =R ln²x · (ln⁰x )dx = ln³x 3 + C .

3 stycznia 2017 6 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 214

( O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE )

Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ (c, d ) jest klasy C¹ a funkcja g : (c, d ) −→ R jest ciągła to

R g (f (x))f⁰(x ) dx =R g (y ) dy |y =f (x ). DOWÓD:

Niech G : (c, d ) −→ R będzie pierwotną funkcji g wówczas (G ◦ f )⁰(x ) = G⁰(f (x )) · f⁰(x ) = g (f (x )) · f⁰(x ).

Przykład 215

R ln²x

x dx=R ln²x · (ln⁰x )dx = ln³x 3 + C .

3 stycznia 2017 6 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 214

( O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE )

Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ (c, d ) jest klasy C¹ a funkcja g : (c, d ) −→ R jest ciągła to

R g (f (x))f⁰(x ) dx =R g (y ) dy |y =f (x ). DOWÓD:

Niech G : (c, d ) −→ R będzie pierwotną funkcji g wówczas (G ◦ f )⁰(x ) = G⁰(f (x )) · f⁰(x ) = g (f (x )) · f⁰(x ).

Przykład 215

R ln²x

x dx =R ln²x · (ln⁰x )dx= ln³x 3 + C .

3 stycznia 2017 6 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 214

( O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIENIE )

Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ (c, d ) jest klasy C¹ a funkcja g : (c, d ) −→ R jest ciągła to

R g (f (x))f⁰(x ) dx =R g (y ) dy |y =f (x ). DOWÓD:

Niech G : (c, d ) −→ R będzie pierwotną funkcji g wówczas (G ◦ f )⁰(x ) = G⁰(f (x )) · f⁰(x ) = g (f (x )) · f⁰(x ).

Przykład 215

R ln²x

x dx =R ln²x · (ln⁰x )dx = ln³x 3 + C .

3 stycznia 2017 6 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx=R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt=R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt=

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt= ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ₄¹sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ₄¹sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

CAŁKI NIEOZNACZONE

Twierdzenie 216

( OCAŁKOWANIU PRZEZ ZMIANĘ ZMIENNEJ ) Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest ciągła a funkcja ϕ : (c, d) −→ (a, b) jest bijekcja klasy C_, ¹to

R f (x) dx = R f (φ(t)) ϕ⁰(t) dt_|t=ϕ⁻¹_{(x )}.

Przykład 217

R√

1 − x²dx =R√

1 − sin²tcos t dt =R cos²tdt =R 1 + cos 2t

2 dt =

1

2R dt +¹₄R 2cos 2tdt = ¹₂t + ¹₄sin 2t + C = ¹₂arc sin x +¹₂sin tcos t + C =

1

2arc sin x +¹₂x√

1 − x²+ C .

Twierdzenie 218

( O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI ) Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R sa klasy C, ¹ to

R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

3 stycznia 2017 7 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx=

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

DOWÓD:

(f · g )⁰(x ) = f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

Stąd

f⁰(x )g (x ) = (f · g )⁰(x ) − f (x )g⁰(x )

Z ciągłości funkcji istnieją pierwotne. Zatem R g (x)f⁰(x ) dx = f (x ) · g (x ) −R g (x)⁰f (x ) dx .

Przykład 219

R 4x · e^2xdx =

g (x ) = x f⁰(x ) = 4e^2x g⁰(x ) = 1 f (x ) = 2e^2x

= 2xe^2x−R 2e^2xdx = 2xe^2x− e^2x+ C .

3 stycznia 2017 8 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 220

R x²· sin x dx =

g (x ) = x² f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = 2x f (x ) = −cos x

= −x²cos x +R 2xcos x dx = g (x ) = 2x f⁰(x ) = cos x g⁰(x ) = 2 f (x ) = sin x

= −x²cos x + 2x sin x −R 2sin x dx =

= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C .

3 stycznia 2017 9 / 32

O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI

Przykład 221

R (9x²+ 4x ) · ln x dx =

g (x ) = ln x f⁰(x ) = (9x²+ 4x ) g⁰(x ) = ¹_x f (x ) = 3x³+ 2x²

(3x³+ 2x²)ln x −R (3x²+ 2x ) dx =

= (3x³+ 2x²)ln x − x³− x²+ C .

Przykład 222

R e^x· sin x dx =

g (x ) = e^x f⁰(x ) = sin x g⁰(x ) = e^x f (x ) = −cos x

= −cos x · e^x+R e^xcos x dx

3 stycznia 2017 10 / 32