dla x = 1, y = 2 i poda¢ interpretacj¦ (zwi¡zan¡ z dochodem kra«cowym)

Analiza - zestaw 14

Funkcje wielu zmiennych - zastosowania ekonomiczne, gradienty, pochodne kierunkowe, funkcje uwikªane i jednorodne

Zadanie 1. Wiedz¡c, »e x, y oznaczaj¡ ceny dwóch towarów, wyznaczy¢ pochodne cz¡st- kowe funkcji dochodu: R(x, y) = (x−2) ln(3x−y) , dla x = 1, y = 2 i poda¢ interpretacj¦

(zwi¡zan¡ z dochodem kra«cowym).

Zadanie 2. Wiedz¡c, »e x, y oznaczaj¡ ceny dwóch towarów, wyznaczy¢ elastyczno±ci cz¡stkowe funkcji popytu: Q(x, y) = xe^xy , dla x = 10, y = 52 i poda¢ interpretacj¦.

Zadanie 3. Obliczy¢ produkt kra«cowy z nakªadów kapitaªu K i nakªadów pracy L dla funkcji produkcji y(K, L) = K^2L dla K = 2, L = 4. Poda¢ interpretacj¦.

Zadanie 4. Funkcja popytu na hamburgery Q(x, y) = 50 − _2x+3y^xy zale»y od ceny buªek (x) i ceny woªowiny (y). Dla x = 20 i y = 100 obliczy¢ popyt kra«cowy na hamburgery ze wzgl¦du na cen¦ buªek i elastyczno±¢ popytu na hamburgery ze wzgl¦du na cen¦ woªowiny.

Zinterpretowa¢ otrzymane wyniki.

Zadanie 5. Firma Pªynny owoc produkuje dwa soki: A - sok jabªkowy i B - sok pomara«czowy, sprzedaj¡c je po cenach pA i pB. Funkcje popytu na te soki s¡ dane wzorami: qA= 500 − 100p²_A− 50p²_B, qB = 4000 − 300p

4 5

B+ 300p

2 3

A. Sprawdzi¢, czy te dwa towary s¡ komplementarne, czy konkuruj¡ ze sob¡ badaj¡c wpªyw zmiany ceny towaru A na popyt na towar B i zmiany ceny towaru B na popyt na towar A.

Zadanie 6. Wyznaczy¢ gradient i pochodne kierunkowe funkcji f we wskazanych punk- tach i kierunkach:

a) f(x, y) = x²+ 2y²− 3y + x − 2, punkt (1, 0), kierunek (1, 2);

b) f(x, y) = ^2x2_xy^+y+1, punkt (−2, 1), kierunek (3, −4);

c) f(x, y) = ln(x²+ 2y²), punkt (e², 2e), kierunek (5, −12);

d) f(x, y, z) = x³+ 2z²− yz +√

x + y, punkt (1, 0, −1), kierunek (−2, 1, 1);

e) f(x, y, z) = px²+ 2y³z, punkt (−1, 3, 1), kierunek (√

3, 1, 0);

f) f(x, y, z, v) = x + y²z + 3xv − 4zv + 2, punkt (1, 1, −1, 2), kierunek (1, 2, 3, 4).

Zadanie 7. Konsument przy wydatkach na koszyki towarów (x, y) (lub (x, y, z)) kieruje si¦ funkcj¡ u»yteczno±ci u (zawarto±¢ koszyka w tym zadaniu mierzona jest wydatkami na ka»dy typ towaru w koszyku). W jakich proporcjach powinien rozdzieli¢ kolejn¡

jednostk¦ wydatków tak, by maksymalnie zwi¦kszy¢ u»yteczno±¢ koszyka, je±li obecnie posiada koszyk (x0, y₀) (lub (x0, y₀, z₀))?

a) u(x, y) =√

x + log₂y, (x0, y₀) = (4, 2); b) u(x, y) = ln(2x + y²), (x0, y₀) = (3, 1); c) u(x, y, z) = x^2y+√

z³, (x0, y₀, z₀) = (1, 2, 3);

d) u(x, y, z) = x³+ xz²+ 2y²z + 4z²y + 3, (x0, y₀, z₀) = (2, 2, 1).

Zadanie 8. Firma rozdziela wydatki na inwestycje kapitaªowe (K), pensje i premie dla pracowników (L) i na reklam¦ (A), tak by zmaksymalizowa¢ funkcj¦ dochodu R. Czy dochód ten wzro±nie, czy zmaleje, je±li przy wydatkach na te trzy czynniki (K0, L0, A0): a) jednostk¦ wydatków przeniesiemy z inwestycji kapitaªowych na pensje i premie;

R(K, L, A) = K +√

KL +√³

KLA, (K0, L₀, A₀) = (3, 1, 9)?

b) jednostk¦ wydatków odejmiemy z reklamy i rozdzielimy równo pomi¦dzy inwestycje kapitaªowe oraz pensje i premie; R(K, L, A) = K^L+ 4A³, (K0, L₀, A₀) = (4, 2, 3)?

c) zwi¦kszymy o dwie jednostki wydatki na reklam¦ i o jedn¡ jednostk¦ wydatki na inwestycje kapitaªowe, kosztem zmniejszenia o 3 jednostki wydatków na pensje i premie;

R(K, L, A) = A²L − _K^A + log₃K, (K0, L0, A0) = (3, 5, 1)?

1

2

Zadanie 9. Zbada¢, czy podane funkcje u»yteczno±ci speªniaj¡ prawo Gossena malej¡cej u»yteczno±ci kra«cowej, a nast¦pnie wyznaczy¢ kra«cow¡ stop¦ substytucji towaru y przez towar x i jej elastyczno±¢ w punkcie x = 1, y = 4. Poda¢ sªown¡ interpretacj¦ wyników.

a) u(x, y) = 2x + 8√

xy + 2y, b) u(x, y) = x³y², c) u(x, y) =√

x + 4√⁴ y, d) u(x, y) = _x+1^x + log₂x, e) u(x, y) =px^{3 2}y.

Zadanie 10. Sprawdzi¢ dziaªanie reguªy ªa«cuchowej dla f(x, y) = x²y + y³x, x = t² oraz y = t³.

Zadanie 11. Niech dane b¦dzie równanie x² = y² i niech y(x) b¦dzie funkcj¡ speªniaj¡c¡

to równanie. Ile jest takich funkcji, okre±lonych na R? Ile jest takich funkcji ci¡gªych, okre±lonych na R? Ile jest takich funkcji ró»niczkowalnych, okre±lonych na R? Ile jest takich funkcji ci¡gªych, okre±lonych na R, »e y(1) = 1? Ile jest takich funkcji ró»niczko- walnych, okre±lonych na R, »e y(1) = 1? Ile jest takich funkcji ci¡gªych, okre±lonych na (1 − δ, 1 + δ), je±li y(1) = 1, a δ jest maªe?

Zadanie 12. Sprawdzi¢, kiedy si¦ da znale¹¢ pierwsze pochodne funkcji uwikªanych y zmiennej x danych poni»szymi równaniami. Poda¢ wzory tych pochodnych. Je±li si¦

da, rozstrzygn¡¢, dla jakich x funkcja y mo»e przyjmowa¢ warto±ci lokalnie ekstremalne (minima lub maksima lokalne)?

a) x³ + 4y³+ xy² = 1, b) x^y+ y^x = 2, c) (x²+ y²)² = 3x²y − y³, d) y = 2x arctg^y_x, e) x⁵+ y⁴ = 4xy², f) x³+ y³ = 12xy.

Zadanie 13. Obliczy¢:

a) y⁰(π), gdy x² + x sin y = π² i y(π) = −π;

b) y⁰(1), gdy x²+ xy + 2y² = 7 i y(1) = −2;

c) y⁰(e), gdy y²ln x + y³(x − e) + y = 6 i y(e) = −3;

d) y⁰(0), gdy 2^y + arcsin x + x³y + 3y² = 5 i y(0) = 1;

e) y⁰(−1), gdy arctg(^xy₂ + 1) + x²y + 2y²x +√

y + 2 = 12i y(−1) = 2;

f) y⁰(2), gdy arcctg(x − 1) − ^π₄y⁴+ 2 log₃y = 0i y(2) = 1.

Zadanie 14. Za pomoc¡ lematu Eulera zbada¢, czy poni»sze funkcje s¡ jednorodne, a je±li tak, to jakiego stopnia.

a) f(x, y, z) = xy + 2yz + 3zx − x²− 2y²; b) f(x, y) = ^x_y³ + 2x c) f(x, y, z) =√

x³+ ^√xz_y − 2y√

z; d) f(x, y, z) = x + 2y + z − 1;

e) f(x, y, z) = √³

xyz +^xz_y2² − 2x; f) f(x, y, z) = 3py^{4 2}−_y^x√2_z.

Dobrej zabawy!

Grzesiek Kosiorowski