Ćwiczenia IX Podstawy fizyki kwantowej

1

Ćwiczenia IX Podstawy fizyki kwantowej

Zadanie 1

Wyznaczyć średnie położenie i średni kwadrat położenia cząstki uwięzionej w potencjale harmonicznym. Cząstka jest w stanie podstawowym. Problem rozwiązać na dwa sposoby. W pierwszym przypadku, średnie położenie i średni kwadrat położenia definiujemy jako

, 2 , 1 ),

ˆ ( )

ˆ 







n x

x x dx

xⁿ  ⁿ

 ,

w drugim

, 2 , 1 ),

( 

 ^







n x

P x dx

x^{n n}

gdzie gęstość prawdopodobieństwa P(x) znalezienia cząstki w punkcie x wynosi

. ) ( )

(x x ²

P  

Funkcja falowa stanu podstawowego dana jest wzorem





2 4 /

1 ²

) (

x m

m e x





 _ ^



 



 _.

Zadanie 2

Wyznaczyć średni pęd i średni kwadrat pędu cząstki uwięzionej w potencjale harmonicznym. Cząstka jest w stanie podstawowym. Problem rozwiązać na dwa sposoby jako

, 2 , 1 ),

ˆ ( )

ˆ 







n x

p x dx

pⁿ  ⁿ

 ,

oraz

. 2 , 1 ),

2 ( 









n p

P dp p

p^{n n}



Gęstość prawdopodobieństwa P( p) znalezienia cząstki o pędzie p wynosi ,

)

~( )

(p p ²

P  

gdzie ~ p( ) jest funkcją falową cząstki w przestrzeni pędu.

Zadanie 3

Obliczyć dyspersję (szerokość rozkładu) położenia i pędu oraz pokazać, że iloczyn tych dyspersji nie zależy od parametrów oscylatora. Przedyskutować wynik.