ZASTOSOWANIE JEDNOPUNKTOWYCH METOD ITERACYJNYCH DO KONSTRUKCJI PRZYBLIŻEŃ WYMIERNYCH FUNKCJI MONOTONICZNYCH

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ m i Nr k o l . 386 S e r i a : M a tem atyka -F lz yka z . 24

F r a n o i s z e k PRZYBYLAK

ZASTOSOWANIE JEDNOPUNKTOWYCH METOD ITERACYJNYCH

DO KONSTRUKCJI PRZYBLIŻEŃ WYMIERNYCH FUNKCJI MONOTONICZNYCH

Celem n i n i e j s z e j praoy J e s t zwróoenle uwagi na p e n i s a p r o s t y sposób zna jd o w a n ia p r z y b l i ż e ń wymlernyoh f u n k o j l ś o i ó l e m onotonloznyoh, p o l e g a - Jąoy na ty m, że odw ra ca nie f u n k o j l tr a k t u j e m y ja k o ro z w ią z y w a n ie równa­

n i a przy pomooy d a n e j Jednopunktow ej metody l t e r a o y j n e j . Powyższy sposób n a b i e r a z n a o z e n l a w związku z p r a c ą [2] , w k t ó r e j podana j e s t a l g e b r a l o z - na o h a r a k t e r y z a o j a Jednopunktowyoh wymlernyob metod l t e r a o y j n y o h .

S t o s u j ą o Jednopunktowe metody l t e r a s y j n e , d l a k t ó r y o h z o s t a ł y podane wzory w [2] , można w J e d n o l i t y sposób uzysklw aó w ie lo p a r a m e tro w e r o d z i n y p r z y b l i ż e ń wymlernyoh d l a d a n e j f u n k o j l m o n o to n l o e n e j. P o d s t a a i a j ą o za pa­

r a m e t r y pewne w a rto śc i uzyskujemy w eeozególooóol w ie le moanyoh p r z y b l i ­ żeń wymiernych d l a k o n k r e tn y c h f u n k o j l ( p o r . [1] ) j a k n p . r e d u k t y r o z w l - n lę ć f u n k c j i na u ła m k i łańcuchowe, p r z y b l i ż e n i a P a d a n o .

W p r a e y dowodzi s i ę , ź e p r z y b l i ż e n i a wymierne f u n k c j i Y ’,+x otrzymane a k o l e j n y o h r ed u k tó w r o z w l n l ę o l a t e j f u n k o j l w ułamek ła ń o u eh o w y .

nożna r ó w n i e ż u zy s k aó podaną wyżej m eto dą.

I . Do k o n s t r u k e j i p r z y b l i ż e ń będziemy stoacmaó pewną k l a s ę jednopunktowyoh wymiernych metod l t e r a e y j o y o h , k t ó r e podany za [2] ( p o r . [2] , t w . 6 . 3 ) . Nleeh f u n k o j a h i t ) Je&t k l a s y c ^ n + 1 ^ w p r z e d z i a l e I (n - u s t a l o n a l l o z b a n a t u r a l n a ) o r a z ró w n a n ie

( o

h i t ) - 0 i ł )

p o s ia d a w p r z e d z i a l e I d o k ł a d n i e j e d e n p i e r w i a s t e k £ t a k i , że h' ( £) i< O

P rz y jm ijm y o z n a o z e n la

164____________________ ffran o laze k P rz y b y la k

g d z i e « o ,c(1 , ł . . , c ( n - l l o z b y r z e c z y w i s t e j u 0 i t ) - 1, u ^ t ) - h i t ) ,

h ' l t ) h ( t )

j h - h » i t ) h ' ( t )

u k ( t )

h i t )

• # • f 0

• • • y 0

TF TTT b ( ( t V ,

4

T h i k "‘2 ) ( t ł » TE=51T h<k~ 3 > ( t ) f • • • »

p f h ( k ' ( t ) r E = f r r h ( k " 1 1 ( t ) » te4 tt h ( b ~2 ) ( t ) , . . . , h 7 t )

d l a k * 2 , 3 , . . . , n .

J e ż e l i przy pewnyoh u s t a l o n y o h l l o z b a o h ćć0 , . . . , 5 0 f u n k o j a

•P p it) - ^ n i t , « 0 , 5 ^ , . . . , 5 q } h i t ) ) J e s t o k r e ś l o n a w p r z e d z i a l e I , t o o l ą g p r z y b l i ż e ń

( 4 )

t o* *1 m *n ( t o ł » *•*» Łk+1 “ ^ ‘ ‘ k 1* *** (5 )

J e s t z b i e ż n y do p i e r w i a s t k a £ r ó w n a n ia i 2 ) , J e ż e l i p r z y b l i ż e n i e poozą tko- wa t Q e I J e s t d o s t a t e o z n i e b l i s k i e £ , p rz y ozym r z ą d z b l e ż n o ś o i o ią g u

i 5 ) J e s t równy oo n a j m n i e j n+1, t z n .

i i i , < +oo

,

I I . Załóżmy, że f u n k o j a g i t ) J e s t ś o l ś l e m onotonlozną f u n k o j ą k l a s y n+1)'w pewnym c

do f u n k c j i g i t ) .

C(n+1> w pewnym o t o o z e n l u p unktu t Q. P r z e z f i x ) oznaozmy f u n k o j ę odw rotną

Z a sto so w a n ie jednopunkto wyoh metod l t e r a o y j n y o h . » 165

P rzy u s ta lo n y m x rów nanie

g ( t )-x = 0 ( 6 )

p o s i a d a d o k ł a d n i e je d n o r o z w i ą z a n i e t -■ f ( x ) , J e ż e l i x n a le ż y do p r z e o i w - d z l e d z l n y f u n k c j i g ( t ) .

S t o s u j ą c do r ó w n a n ia ( 6 ) metodę i t e r a o y j n ą o k r e ś l o n ą wzorem ( 3 ) (p rz y p r z y b l i ż e n i u początkowym t Q) otrzym ujemy, p ie rw sz e p r z y b l i ż e n i e p i e r w i a s t ­ ka f ( x ) r ó w n a n ia ( 6 ) k t ó r e wyraża s i ę wzorem

V * 0 , ^1 ’ • • • » “ x ^*

S tą d j u ż w y n ik a, że d l a dowolnego u k ła d u l i o z b c<o , ciQ w pewnym o t o c z e n i u punktu x Q * g ( t ) mamy

f ( X ) * % t . . . . g ( t ) - X ) . 17)

Z ( 7 ) na p o d s ta w ie ( 3 ) i ( k ) otrzymujemy

n-1

y > i w * ^ o - x ) i + i

:) * t --- ⁽⁸⁾

rti v n - l {x) (iflo ‘ X)1

w pewnym o to o z e n l u punktu x 0 = g ózie

a>0 = g(t0n = r f s(1)(to' dla 1 “ 1... i9)

v Q( x ) = 1, v 1 ( x ) - /b0 - x ,

*1 />o - * 0 0

*2 I X 0

V i V 2

x

\ - 1 ^ k - 2 « « <t d l a k * 2 j | d*

166 R ra n o l a z a k P rz y b y la k

I I I . Z a sto su je m y o b e o n ie wzdr ( 8 ) do z n a l e z i e n i a a pa ra m e tro w e j r o d z i ­ ny p r z y b l i ż e ń wymiernych f u n k o j i w o t o o z a n i u p u nktu x » 0 .

W tym o e l u przyjmujemy

g ( t ) - t * - 1 , t 0 - 1 .

Z ( 9 ) w y n ik a , że

^ " 2 , />2 - 1 , - O d l a k > 3 .

Na p o d a t a w ie ( 8 ) mamy więo

l / I i x * RQ( x , «ł0 , cę1 t oęn ) - 1 -

i+1

(1 1)

d l a dowolnyoh l i o z b <i0 , cfQ w pewnym o t o o z a n i u p u nktu x Q ■ O, g d z i e (na p o d a ta w ie ( 1 0 ) ) * 0 ( x ) ■ 1 , w1 ( x ) » -ot,

■ k ( x )

2 , —x , O , . . •

1 > 2 , - x , . . .

(12)

O , O , O , . . .

O , O | O , . .4

d l a k • 2 , 3 ,

Pk ( x ) ,

P r z e z oznaezmy k - t y r e d u k t r o z w i n i ę c i a f u n k o j i - \ l + x na ułamek łańeuehowy ( 1 ) . Redukty t e aą p r z y b l i ż e n i a m i wymiernymi f u n k o j i s]l+ x.

Podamy o b e o n le t w i e r d z e n i e z k t ó r e g o w y n ik a , że d l a u a t a l o n e j l l o z b y n a t u r a l n e j n r e d u k t y

Pn ( x ) p n+1( x ' P2 n ( x ł

C i^ 7 C r n

z a w ie ra ją a lę • n par a metro» aj r o d a in le p r z y b liż e ń wyalernyeh

Rn i x * **1» • • • »

Z a s to a o w a n le Jednopunktowyoh metod i t e r a e y j n y o h . . . ______________________ 1 6 J

T w ie r d z e n ie , J e ż e l i

f <Jp ) - ( - 1 ) 1 (p ) Z»"1

d i s l^Of • • • f P | to

v * . * ? ' • t ! P>. — » f i P ) . 0 ° > - ¡5 ^ T 5 T

d la p ■ O| t * « i u .

Dowód tw ie r d z e n ia poprzedzimy dwoma prostym i lem atam i.

Lemat 1 . Dla wielomiaadw »^ - w ^ ix ) określonyoh wzorem ( 1 2 ) to ż sa m o śe l:

• k - 2 + * " k - 2 * ^ “ 2»!» . . . )

d la l io e b o a lk o w ity c h p i m t a k io h , że 0 < 2 p $ m

< « V k-P

d la l i o e b o a lk o w ity o h n i p t a k io h , że O < p < n

"n-t-p ' n - l (H l)1 '

g d z ie o k r e ś la ( 1 3 ) .

Dowód lomatm 1 . R ozw ijająo wyznacznik ( 1 2 ) według o s t a t n i e j t r z y mu Jeny ( 1 3 ) .

Tożsamość ( 1 6 ) wykażemy s to s u ją c lndukoj? wzglądem zm iennej Dla p • 0 otrzymujemy ła tw o * 0 • wB.

( 1 3 )

( 1 4 )

z a c h o d z ą

( 1 3 )

( 1 6 )

( 1 7 )

kolumny o -

P#

E r a n o l s z e k P r z y b y la k

Załóżm y, że z a o h o d z i to ż sa m o ść ( 1 6 ) o r a z 2 ( p + 1 ) < ro. S t o s u j ą o do t o ż - sa m o śo i ( 1 6 ) to ż s a m o ś ć ( 1 5 ) otrzymujemy

, ' \ P ’ 2 2 p - k + l / P > „ xk“ P + 'sS ^ ? 2 p -k . p v Yk-p+1 ,

m T , k - p m-k- 1 2 _ j k - p ’ " m -k -2 x "

k=p k^p

Zp+1 2p+2

i=p+ż

sk ą d J u ż ła tw o wynik a t e z a p r z e j ś c i a in d u k o y j n e g o . P rz y jm u ją o we wzorze ( 1 6 ) m ■» n+p otrzymujemy

"n+p . f n 22 p 4 ( 5 )W Xk” P - ' 'S -1 sP “ 1 ^ ) w T 1 / . ł k -p n+p-k / , ‘ i ’ " n - i x *

k«p c-p T=TT

skąd na p o d s ta w ie ( 1 3 ) wynika ( 1 7 ) .

P - ( x ) ,

Lemat 2 . Dla k o l e j n y o h r eduktć w r o z w i n l ę o l a f u n k o j l ~vl + x na u ł a ­ mek łańouchowy ( 1 ) z a ch o d z ą t o ż s a m o ś c i

Pd " " n + x " n - 1 » Qu “ * B ( 1 8 )

d l a n * 't f 2 , . . . .

Dowćd le m a t u 2 prowadzimy metodą l n d u k o j l ze względu na zm ienną n . Dla n » 1 , 2 odpow iednie r e d u k t y s ą równe

P1( x ] m S+2 P2 ° ° _ 3x+4

^ T x T x * 02 ( x ) x+2 *

Na p o d s ta w ie ( 1 7 ) ła tw o sprawdzamy, że wzory ( 1 7 ) s ą s ł u s z n e d l a n » 1,2 Załóżm y, że t o ż s a m o ś o i ( 1 8 ) z a c h o d z ą d l a n - 1 , . . . , k - 1 .

Poniew aż d l a rediuktćw ułamka łańouohowego za ohodzą wzory

P k “ 2 Pk -1 + x Pk - 2 * Qk “ 2 °k -1 + x °k -2

( p o r . [ i ] , s t r . 8 ) , wlęo na p o d s ta w ie z a ł o ż e n i a I n d u k o y jn e g o 1 ( 1 5 ) o t r z y ­ mujemy k o l e j n o

Z a s t o s o w a n ie je dnopunkto w ych metod I t e r a o y j n y o h . . 169

= 2 wj£_ 1 + x wk_ 2 + x ( 2 wk_2 + x wk_ 3 ) = wk + x ■k_ 1 ,

Qk “ 2 " k - 1 + * " k - 2 " " k *

oo dowodzi t e z y p r z e j ś o i a l n d u k o y jn e g o .

Dowód t w i e r d z e n i a . S t o s u j ą o wzory ( 1 1 ) , ( 1 7 ) o r a z le m a t 2 otrzymujemy k o l e j n o

S i 1 ’ " . . i - i ' - ' 1* '

i + x — - = i ♦ . . . . » T i t p . j j t k ,

n+p n+p n+p

oo końozy dowód t w i e r d z e n i a , 17* P rz y jm u ją o we wzorze ( 8 )

g i t ) -

ln t, tQ * 1

o r a z k o l e j n o n » 1 , 2 otrzymujemy

(cL-oę ) x - c(

■i x - «o

x ² (<*,-«.) + x(-oc * i CC-) + ^<t.

® * R2 C x » < W «_{* O 1 ^} 2' " —x ^ c t 2 + x ( - q , - T— -:— T i c( 0 ) + c(o•

, M (x)

O s t a t n i e wzory z a w i e r a j ą p r z y b l i ż e n i a P a d e ’go w«>-+ f u n k c j i e o b l i c z o n e w p u n k c ie x 0 ■ O d l a p < 2 , <ł < 2*

170 F r a n e i s z e k P r z y b y la k

Z w ią z k i między p r z y b l i ż e n l a m l Padego i f u n k o ja m i H1 i R2 p o d a j e t a b e l a .

0 1 2

0

1

2

R1 ( x , 0 , 1 > = 1

V X»1 *1 ł ”

R^ ( z , 1 ,0 ) ■ 1+x

^ ( * » 2 , 1 ) - § ± f

_2 R2 ( x , - 2 , - 1 , 0 )=1+x+ j —

R2 ( x , 6 , - 1 , 0 > - S g f i f i

“ 2 ! * , * - , ! , 1 1 “ p 1-X + f -

u , i z , 0 , 1 , 1 l" “ 5

2 6—4x+x 2 12-6x+xz

P r z y b l i ż e n i a Padego d l a in nyoh f a n k o j i nożna t a k ż e uzyakaó a t o a u j ą e meto­

dę podaną w n i n i e j s z e j p r a o y .

LITERATUR!

1* A.N. Chowańaki: P r i ł o ż e n i j e c i e p l n y c h d r o b l e j i i e h o b o b s z o z i e n l j k wo- p r o a a n p r i b l i ż i e n n o g o ' a n a l i z a , Moskwa 1956.

2« R . B a r t ł o m i e j s z y k , S t . Łanowy: A l g e b r a i e z n a e h a r a k t e r y z a e j a J e d n o p u n k - towyeh wymiernych metod i t e r a e y j n y e h } Matematyka S to so w a n a , S e r i a I I I Roczników PTM, Warszawa 1973.

HPHMJHiHMF OflHOIlyHKTHKX KTEPAUfcOHHhH METOflOB

K DOCTPOIHMD PAKKOHAJbHiff IIPOBJEKJHKH MOHOTOHHlffi 4>yHKUłtil

P e 3 o w e

B p a f io T e p a c c n a T p K B a e T c a o j h h n p o C T o k c n o c o f i H a x o x j e H H f l p a m io H a E & m a c n p n 6 a » i* e H B ii ( p y iu c m iii c a j i b H o k io u o T O H H K Z , c o c T o a n w i i b t o m , u t o o n p e j e J i e E B e o ó p a T H O H $ y H K i< B H TpaKTyeTcg k b k H a x o x j e H n e p e m e R w a y p a B H e H H s c n o M o n b m j a H H o r o o s i ł o n y K K T H o r o H T e p a U K O H H o r o u e T o j a .

3t o t c n o c o O n o r y w a e T c a , n o r b a y a c b ( p o p M y r a m i, K o r o p a e H a i o j H T c a b p a C o - T e [2 ] .

n o J i y ^ e H i i u e T 3 K h m o ó p a s o M p a n n o h b ji b r n ie n p n < 5a iix e H H H c o j e p a a T m h o t o w s - B e C T H U Z p a U H O H ajT B H Ł D C n p M 6 J lB X e H M ii K O H K p e T H Ł D C (p y H K p z t l , K O T O p U e J O cwx n o p n o r y w a m T C f l p a s H u u i i M e T o ja M w .

Z a s to s o w a n ie .lednopunktowyoh n e to d l t e r a o y j n y o h . . 171

THE APPLICATION OF ONE-STEP ITERATIVE METHODS TO THE CONSTRUCTION OF RATIONAL APPROXIMATIONS OF MONOTONIC FUNCTIONS

S u m m a r y

The p a p e r p x e s o u t s a a iB p le method o f f i n d i n g th e r a t i o n a l a p p r o x i m a - t l o n a o f a t r i o t l y monotonio f u n o t i o n a . I n t h i a method t h e e v a l u a t i o n o f th e i n v e r a e f u n o t i o n l a t r e a t e d aa t h e a o l u t i o n o f t h e e g u a tlo n e i t h th e a i d o f one - s t e p i t e r a t i v e m e thods. For t h i s purpose th e form ulae o f one p o i n t I t e r a t i v e f u n c t i o n s [2] have been u s e d . The r a t i o n a l a p p r o x i n a t i o n s o b t a i n e d i n t h i s way c o n t a i n many w ell-know n r a t i o n a l a p p r o x im a tio n s f o r o o n e r e t e f u n o t i o n a .