Pierwsze Zawody Indywidualne:

1

Ob´ oz przygotowawczy do zawod´ ow mi edzynarodowych

Zwardo´ n, 2.06.1997 — 15.06.1997.

Pierwsze Zawody Indywidualne:

1. Dane sa liczby ca lkowite a_, 1, a2, . . . , a2n. Dowie´s´c, ˙ze mo˙zna znale´z´c takie liczby naturalne m, k1, k2, . . . , km,

˙ze:

n < m6 2n, 16 k1< k2< k3< . . . < km6 2n oraz n | a^k1+ ak₂+ ak₃+ . . . + ak_m. 2. W pewnej klasie zadano to samo pytanie nauczycielowi i uczniom. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze nauczyciel

odpowie prawid lowo wynosi p. Ucze´n odpowie prawid lowo z prawdopodobie´nstwem d, gdy jest dziewczynka_, i z prawdopodobie´nstwem 1 − d, gdy jest ch lopcem. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze losowo wybrany ucze´n odpowie tak samo jak nauczyciel wynosi ¹₂. Jaka jest proporcja liczby ch lopc´ow do liczby dziewczynek w tej klasie?

3. Przekatne czworok_, ata wypuk lego ABCD przecinaj_, a si_, e w punkcie P, wysoko´_, sci tr´ojkat´_,ow P AB i P CD, poprowadzone z punktu P sa r´_, owne oraz wysoko´sci tr´ojkat´_,ow P BC i P DA poprowadzone z punktu P sa_, r´owne. Wykaza´c, ˙ze czworokat ABCD jest r´_, ownoleg lobokiem.

4. Niech n> 3 bedzie tak_, a liczb_, a naturaln_, a, ˙ze r´_, ownanie

x²₁+ x²₂+ . . . + x²_n = x₁x₂. . . x_n (♠) ma co najmniej jedno rozwiazanie w liczbach ca lkowitych dodatnich x_{, 1}, x₂, . . . , x_n. Dowie´s´c, ˙ze w´owczas r´ownanie (♠) ma niesko´nczenie wiele rozwiaza´, n w liczbach ca lkowitych dodatnich.

5. Dla jakich liczb naturalnych n> 2 nier´owno´s´c

x²₁x²₂+ x²₂x₃²+ . . . + x²_n−1x²_n+ x²_nx²₁6 x1x³₂+ x2x³₃+ . . . + x_n−1x³_n+ xnx³₁ (♣) zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x1, x2, . . . , xn? Dla jakich n dowolne liczby rzeczywiste dodatnie y₁, y₂, . . . , y_n posiadaja permutacj_, e x_{, 1}, x₂, . . . , x_n spe lniajac_, a nier´_, owno´s´c (♣)?

6. Udowodni´c, ˙ze w dowolnym sze´sciokacie wypuk lym o polu 1 istnieje przek_, atna odcinaj_, aca tr´_, ojkat o polu nie_, wiekszym ni˙z_, ¹₆.

Drugie Zawody Indywidualne:

1. Znale´z´c wszystkie funkcje ciag le f :_, R → R o warto´sciach nieujemnych spe lniajace dla x, y ∈ R nast, epuj, ace_, r´owno´sci:

f (x)f (y) = f (x + y) + f (x − y) f (x + 3) + 5f (x + 1) = 5f (x + 2) + f (x).

2. Znale´z´c wielomian W (x) o nastepuj_, acej w lasno´_, sci: dla dowolnego n liczba sposob´ow, na kt´ore mo˙zna wyp laci´c n z lotych [polskich (nowych)] przy pomocy monet o nomina lach 1, 2 i 5 PLN, jest r´owna [W (n)].

Uwaga: [x] oznacza cze´_,s´c ca lkowita liczby rzeczywistej x._,

3. Punkt P nie nale˙zy do sfery s, okrag o jest w sferze s zawarty. Prowadzimy wszystkie proste przechodz_, ace_, przez P i punkty na okregu o. Wykaza´_, c, ˙ze drugie punkty przeciecia tych prostych ze sfer_, a s le˙z_, a na okr_, egu._, 4. Dane sa liczby naturalne m i n takie, ˙ze m_, 6 n oraz m jest dzielnikiem pewnej potegi liczby n. Pokaza´_, c, ˙ze

m^mm jest dzielnikiem nⁿⁿ.

5. Dla jakich liczb naturalnych n> 2 uk lad r´owna´n













4x²₁+ 8x²₂ = 33x₁x₂ 4x²₂+ 8x²₃ = 33x₂x₃ . . . . 4x²_n−1+ 8x²_n = 33x_n−1x_n

4x²_n+ 8x²₁ = 33xnx1

ma rozwiazanie w liczbach rzeczywistych dodatnich x_{, 1}, x₂, . . . , x_n?

6. W wypuk lym czworokacie ABCD punkt K jest ´_, srodkiem boku AB. Wiadomo, ˙ze <) CKD = 120^◦. Wykaza´c,

˙ze AB + 2AD + 2BC> 2CD.

2

Trzecie Zawody Indywidualne:

1. Niech P 6= Q bed, a takimi wielomianami o wsp´_, o lczynnikach rzeczywistych, ˙ze P (Q(x)) = Q(P (x)).

Pokaza´c, ˙ze wielomian P (x) − Q(x) jest dzielnikiem wielomianu P (P (x)) − Q(Q(x)).

2. W przestrzeni danych jest 513 punkt´ow, z kt´orych ˙zadne cztery nie sa wsp´_, o lp laszczyznowe. Ka˙zdy odcinek o ko´ncach w tych punktach pomalowano na jeden z 9 kolor´ow. Dowie´s´c, ˙ze istnieje lamana zamknieta z lo˙zona_, z nieparzystej liczby odcink´ow tego samego koloru.

3. Niech D bedzie punktem le˙z_, acym na boku BC tr´_, ojkata ABC. Niech E i F b_, ed_, a odpowiednio ´_, srodkami okreg´_, ow wpisanych w tr´ojkaty ABD i ACD. Dowie´_, s´c, ˙ze je´sli punkty B, C, E, F le˙za na jednym okr_, egu, to_,

AD + BD

AD + CD = AB

AC .

4. Czy cze´_,s´c wsp´olna zbioru punkt´ow (x, y, z) przestrzeni spe lniajacych r´_, ownanie x⁴ + y⁴ + z⁴ = 1 oraz p laszczyzny przechodzacej przez punkt (0, 0, 0) mo˙ze by´_, c (a) okregiem, (b) elips_, a nie b_, ed_, ac_, a okr_, egiem?_, 5. Niech n ≥ 2. Znale´z´c najwieksz, a warto´_, s´c wyra˙zenia

x1x2+ x2x3+ x3x4+ . . . + x_n−1xn+ xnx1,

gdzie x1, x2, x3, . . . , xnprzebiegaja wszystkie liczby rzeczywiste nieujemne takie, ˙ze x_, 1+x2+x3+. . .+xn= 1.

Wyznaczy´c wszystkie uk lady liczb x1, x2, x3, . . . , xn, dla kt´orych ta najwieksza warto´_, s´c jest osiagana._, 6. Czworokat ABCD jest wpisany w okr_, ag, proste AB i CD przecinaj_, a si_, e w punkcie P , proste AD i BC_,

przecinaja si_, e w punkcie R. Wykaza´_, c, ˙ze punkt przeciecia dwusiecznych k_, at´_,ow ARB i BP C jest wsp´o lliniowy ze ´srodkami przekatnych czworok_, ata ABCD._,

5 Latwych Zada´ n Probabilistycznych:

1. W fiolce znajduje sie d du˙zych tabletek i m ma lych. Du˙za tabletka zawiera dwa razy wi_, ecej leku ni˙z ma la._, Ka˙zdego dnia pacjent wybiera losowo jedna tabletk_, e._, Gdy trafi na du˙za, prze lamuje j_, a na p´_, o l i zjada po lowe, za´_, s druga po low_, e wk lada do fiolki. Prze lamana tabletka traktowana jest przez pacjenta jako ma la._, Oczekiwana liczba ma lych tabletek w fiolce w momencie, kiedy pacjent wylosowal ostatnia du˙z_, a tabletk_, e,_, wynosi W (d, m). Pokaza´c, ˙ze istnieja takie liczby rzeczywiste a_, d, bdniezale˙zne od m, ˙ze W (d, m) = mad+ bd. 2. Gwiazda ma r ramion, za´s na j-tym ramieniu ma nj > 1 punkt´ow (jeden z nich jest ko´ncowym punkte- m ramienia). Czasteczka startuje z centrum gwiazdy, wybiera losowo (z prawdopodobie´_, nstwem ¹_r) ramie,_, wykonuje jeden krok po ramieniu w kierunku ko´nca i je´sli go nie osiagnie, porusza si_, e po ramieniu losowo_, (z prawdopodobie´nstwem¹₂) od- lub do´srodkowo. Je´sli osiagnie koniec ramienia, podr´_, o˙z czasteczki si_, e ko´_, nczy, je´sli dotrze do centrum, wybiera losowo ramie i.t.d. Obliczy´_, c prawdopodobie´nstwo, ˙ze czasteczka dotrze do_, ko´nca j-tego ramienia.

3. Potasowano n kartek z liczbami od 1 do n, a nastepnie utworzono z nich stosy wed lug nast_, epuj_, acej regu ly:_, pierwsza kartka jest poczatkiem pierwszego stosu; kolejna kartka nale˙zy do tego samego stosu dop´_, oki liczba na niej napisana jest mniejsza od liczby na poprzedniej kartce. Je˙zeli liczba z kolejnej kartki jest wieksza ni˙z_, jej poprzedniczka, kartka rozpoczyna nowy stos. Znale´z´c warto´s´c oczekiwana liczby stos´_, ow.

4. Niech p bedzie liczb_, a pierwsz_, a nieparzyst_, a. Wyznaczy´_, c liczbe podzbior´_, ow A zbioru {1, 2, . . . , 2p} takich, ˙ze:

(i ) A ma dok ladnie p element´ow,

(ii ) suma wszystkich element´ow zbioru A jest podzielna przez p.

5. W chwili t = 0 w wierzcho lkach tr´ojkata stoj_, a trzy osoby. Ka˙zda z nich stoi w innym wierzcho lku. W ko-_, lejnych chwilach t = 1, 2, . . . jednocze´snie ka˙zda z nich losowo (z prawdopodobie´nstwem ¹₂) przemieszcza sie_, do jednego z dw´och sasiednich wierzcho lk´_, ow. Jaka jest warto´s´c oczekiwana czasu, jaki up lynie a˙z wszystkie trzy osoby spotkaja si_, e w jednym z wierzcho lk´_, ow tr´ojkata?_,

Tuzin Tuzinkowych Zada´ n Geometrycznych:

1. Wysoko´s´c tr´ojkata prostok_, atnego ABC poprowadzona z wierzcho lka k_, ata prostego dzieli ten tr´_, ojkat na dwa_, tr´ojkaty o obwodach odpowiednio 2a i 2b. Znale´_, z´c obw´od tr´ojkata ABC._,

3

2. Okregi o_, 1 i o2 sa styczne wewn_, etrznie do okr_, egu o w punktach odpowiednio A i B. Promienie tych okr_, eg´_, ow sa mniejsze od promienia okr_, egu o. Prosta k jest styczna do okr_, eg´_, ow o1i o2 w punktach odpowiednio D i C;

okregi te le˙z_, a po jednej stronie prostej k. Wykaza´_, c, ˙ze na czworokacie ABCD mo˙zna opisa´_, c okrag._,

3. Okregi o_{, 1} i o₂ le˙za po jednej stronie prostej k i s_, a styczne do niej w r´_, o˙znych punktach odpowiednio A i B.

Okrag o jest styczny zewn_, etrznie do tych okr_, eg´_, ow i styczny do prostej k. Majac dane promienie okr_, eg´_, ow o1

i o2 oraz d lugo´s´c odcinka AB, znale´z´c promie´n okregu o._,

4. Czworo´scian ma trzy osie symetrii. Czy musi to by´c czworo´scian foremny?

5. Prowadzimy w czworo´scianie cztery proste lacz_, ace odpowiednio jego wierzcho lki ze ´_, srodkami okreg´_, ow wpisa- nych w przeciwleg le ´sciany. Wykaza´c, ˙ze je´sli dwie spo´sr´od tych prostych przecinaja si_, e, to i dwie pozosta le_, przecinaja si_, e._,

6. Prowadzimy w czworo´scianie wszystkie p laszczyzny wyznaczone odpowiednio przez ko´nce jednej krawedzi_, i ´srodek krawedzi do niej sko´_, snej. Na ile cze´_,sci te p laszczyzny rozcinaja czworo´_, scian?

7. Punkty P , Q, R sa ´_,srodkami odpowiednio bok´ow BC, CA, AB tr´ojkata ABC, punkt S nale˙zy do wn_, etrza_, tr´ojkata P QR. Proste P S, QS, RS przecinaj_, a odcinki QR, RP , P Q odpowiednio w punktach K, L, M ._, Wykaza´c, ˙ze proste AK, BL, CM przecinaja si_, e w jednym punkcie._,

8. Czy istnieje taki czworo´scian foremny, ˙ze wsp´o lrzedne wszystkich jego wierzcho lk´_, ow sa ca lkowite?_,

9. Na p laszczy´znie dany jest czworokat wypuk ly oraz dwusieczne trzech jego k_, at´_, ow. Skonstruowa´c dwusieczna_, czwartego kata, u˙zywaj_, ac jedynie linijki._,

10. Na p laszczy´znie dany jest nier´ownoramienny tr´ojkat t oraz okr_, ag o, przechodz_, acy przez dwa wierzcho lki_, tr´ojkata t oraz przez ´_, srodek okregu wpisanego w t. Skonstruowa´_, c ´srodek okregu wpisanego w tr´_, ojkat t,_, u˙zywajac jedynie linijki (´_, srodek okregu o nie jest dany)._,

11. Wykaza´c, ˙ze w dwunastokacie foremnym A_, 1A2. . . A12 przekatne A_, 1A5, A3A8i A4A11 przecinaja si_, e w jed-_, nym punkcie.

12. Podstawa ostros lupa jest r´_, ownoleg lobok ABCD, S jest jego wierzcho lkiem, punkt A spodkiem wysoko´sci.

Okregi wpisane w ´_, sciany SBC i SDC sa styczne. Wykaza´_, c, ˙ze podstawa tego ostros lupa jest romb._,

Zadania Domowe:

1. (a) Dowie´s´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n> 2 zachodzi podzielno´s´c (n!)ⁿ⁺¹

(n²)! .

(b) Znale´z´c wszystkie liczby naturalne n> 2, dla kt´orych zachodzi podzielno´s´c (n!)ⁿ⁺²

(n²)! . (c) Znale´z´c taka liczb_, e naturaln_, a n_, > 2, ˙ze zachodzi podzielno´s´c

(n!)ⁿ⁺³ (n²)! . 2. Ciag liczbowy a_, 1, a2, . . . , an nazwiemy subarytmetycznym, je´sli

2a_k6 ak−1+ a_k+1 dla k = 2, 3, . . . , n − 1.

Ciag nazwiemy superarytmetycznym, je´_, sli

2ak> ak−1+ ak+1 dla k = 2, 3, . . . , n − 1.

Ciag nazwiemy wypuk lym, je´_, sli jest sub- lub superarytmetyczny. Dowie´s´c, ˙ze z ka˙zdego ciagu liczbowego_, 100 wyrazowego mo˙zna wybra´c podciag wypuk ly pi_, eciowyrazowy._,

3. Spo´sr´od tr´ojkat´_,ow o obwodzie 1 wybra´c taki, dla kt´orego suma aα + bβ + cγ jest najmniejsza, gdzie a, b, c, sa d lugo´_, sciami bok´ow tr´ojkata, a α, β, γ, s_, a miarami przeciwleg lych im k_, at´_,ow, wyra˙zonymi w radianach.

4. Ciag (x_{, n})^∞_n=1 ma te w lasno´_, s´c, ˙ze dla dowolnego tr´ojmianu kwadratowego P o wsp´o lczynnikach naturalnych

n→∞lim(x_n+ x_{P (n)}) = 0 . Czy lim

n→∞x_n= 0 ?

5. Pokaza´c, ˙ze ciag (x_, n)^∞_n=1spe lniajacy warunki: 0 < x_, 1< 1 oraz xn+1= xn+x²_n

n² dla n> 1 jest ograniczony.

4

6. W kole o promieniu 10 le˙za 372 punkty. Pokaza´_, c, ˙ze w pewnym pier´scieniu o promieniach 2 i 3 le˙zy co najmniej 12 spo´sr´od nich.

Pierwsze Zawody Dru˙zynowe:

1. Dowie´s´c, ˙ze liczba

Y64 n=8

3n + 31 n

4n − 19 n + 5



−

3n + 31 n + 5

3n + 1 n

!

jest sze´scianem liczby ca lkowitej.

Uwaga:

Ql n=k

an = ak· a^k+1· a^k+2· . . . · a^l .

2. Niech P bedzie wielomianem dw´_, och zmiennych trzeciego stopnia takim, ˙ze P (x, y) = 0 dla siedmiu r´o˙znych punkt´ow (x, y) pewnego okregu. Pokaza´_, c, ˙ze w´owczas P (x, y) = 0 dla ka˙zdego punktu (x, y) tego okregu._, 3. Dowie´s´c, ˙ze istnieje taka liczba naturalna n, ˙ze n! w zapisie dziesietnym rozpoczyna si_, e cyframi 1997._, 4. Ciag (a_, n)^∞_n=1 liczb naturalnych spe lnia warunek: 4a²_n + a²_n+1 = 1 + 4anan+1. Dowie´s´c, ˙ze nie wszystkie

wyrazy ciagu (a_, n) sa liczbami pierwszymi._,

5. Niech A = {[αn] : n ∈ N} oraz B = {[α²n] : n ∈ N}, gdzie α = 1 +√

3. Dowie´s´c, ˙ze zbi´or A ∪ B nie zawiera

˙zadnej tr´ojki kolejnych liczb naturalnych.

6. Dla jakich liczb naturalnych n> 2 prawdziwe jest nastepuj_, ace twierdzenie: w´_, sr´od dowolnych n²os´ob, z kt´o- rych ka˙zda ma co najmniej jednego znajomego, znajduje sie n + 1 os´_, ob majacych t_, e sam_, a liczb_, e znajomych_, lub wsp´olnego znajomego.

Uwaga: Je´sli osoba A zna B, to B zna A. Nikt nie jest swoim znajomym.

7. Chomik Leonid ma pod ziemia 4 spi˙zarnie po lo˙zone w wierzcho lkach czworo´_, scianu foremnego o boku 1 metr.

Czy Leonid mo˙ze po laczy´_, c te spi˙zarnie siecia tuneli o l_, acznej d lugo´_, sci mniejszej ni˙z√

6 metr´ow?

8. Boki AB, BC, CD, DA czworokata ABCD opisanego na okr_, egu o ´_, srodku P sa do niego styczne odpowiednio_, w punktach K, L, M , N . Wykaza´c, ˙ze:

LN

KM = P B · P C + P A · P D P A · P B + P C · P D.

9. Dany jest taki pieciok_, at wypuk ly ABCDE, ˙ze istnieje punkt F le˙z_, acy na boku AB, spe lniaj_, acy warunki:_,

<) F CE = <) ADE oraz <) F EC = <) BDC. Wykaza´c, ˙ze zachodzi r´owno´s´c: <) BCD + <) DEA = 180^◦. 10. Punkt H jest ortocentrum nieprostokatnego tr´_, ojkata ABC. Prosta l, przechodz_, aca przez H, przecina proste_,

AB i AC odpowiednio w punktach D i E, nie bed_, acych wierzcho lkami tr´_, ojkata ABC. Niech P b_, edzie_, dowolnym takim punktem, ˙ze AP ⊥ l. Wykaza´c, ˙ze [P BD] : [P CE] = DH : HE, gdzie [ABC] oznacza pole tr´ojkata ABC._,

Drugie Zawody Dru˙zynowe:

1. Niech s_n bedzie sum_, a cyfr liczby n. Znale´_, z´c najmniejsza liczb_, e naturaln_, a k tak_, a, ˙ze_, X

n

n^k(−1)^sn6= 0 ,

gdzie sumowanie rozciaga si_, e na wszystkie liczby naturalne n_, 6 10¹⁹⁹⁷− 1, kt´ore w zapisie dziesietnym nie,

maja ani cyfry 2, ani 7._,

Uwaga: 0 nie jest liczba naturaln_, a._,

2. Dane sa liczby naturalne a_, 1, a2, a3, . . . , a1000 takie, ˙ze a1+ a2+ a3+ . . . + a1000 = 1997. Niech Pk bedzie_, liczba permutacji n_, 1, n2, n3, . . . , n1000zbioru {1, 2, 3, . . . , 1000} takich, ˙ze

k ∈ { an1, a_n1+a_n2, a_n1+a_n2+a_n3 , . . . , a_n1+a_n2+a_n3+...+a_n1000 }.

Dowie´s´c, ˙ze P999= P1000.

3. Punkt P le˙zy wewnatrz tr´_, ojkata ABC. Niech D, E, F b_, ed_, a odpowiednio rzutami prostok_, atnymi punktu P_, na proste BC, CA, AB. Niech O bedzie ´_, srodkiem okregu opisanego na tr´_, ojkacie DEF , za´_, s r jego promieniem.

Dowie´s´c, ˙ze:

pole (ABC)> 3rp

3r²− 3(OP )².