Dane s¡ wektory ~a b = (−3, 2)

Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 1

Wektory

1. Dane s¡ wektory ~a = (2, 3), ~b = (−3, 2). Przedstawi¢ te wektory w kartezja«skim ukªadzie wspóªrz¦dnych. Prosz¦ gracznie zbudowa¢ wektory: −~a, 2~b, ~a+~b oraz ~a−~b i algebraicznie obliczy¢ ich skªadowe.

2. Dane s¡ wektory ~a = (1, 2), ~b = (−3, 2),~c = (k − 2, m + 3). Dla jakich warto±ci liczb rzeczywistych k i m wektor ~a +~b + ~c jest wektorem zerowym?

3. Obliczy¢ dªugo±ci wektorów ~a = (2, 2, −2), ~b = (3, −4, 0), a nast¦pnie znale¹¢ jednostkowe wektory ~a0 oraz ~b0 takie, »e ~a0 k ~a, ~b0 k ~b.

4. Dane s¡ punkty A = (0, −1, 2), B = (−2, 1, 1), C = (1, 2, 3), D = (4, 2, −1). Obliczy¢

iloczyn skalarny wektorów −→

AB i −−→

CD oraz kosinus k¡ta mi¦dzy tymi wektorami.

5. Dane s¡ wektory ~b = (−a − 1, 3), ~c = (1, 3 + a). Dla jakiej warto±ci liczby rzeczywistej a, wektory ~b oraz ~c s¡ prostopadªe?

6. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora ~v, o którym wiadomo, »e jest równolegªy do pªaszczy- zny OXY i prostopadªy do wektora ~u = (3, −4, 5), a jego dªugo±¢ jest równa dªugo±ci wektora ~u.

Liczby rzeczywiste i dziaªania na nich 7. Obliczy¢:

 2 5 : 21

2



·

 41

5− 1 3 40



+ 1, 35 : 2, 7.

8. Dane s¡ liczby x i y. Obliczy¢ x − y, x · y, ^y_x. Otrzymane wyniki przedstawi¢ w postaci a + b√

c.

x = 2 −√

2, y = 1 + 2√ 2 9. Dla x < −2 upro±ci¢ wyra»enie: |x| + |x + 1| +√

x²+ 4x + 4.

10. Dane sa zbiory: A = (−5, 4], B = [−3, 2). Na osi liczbowej przedstawi¢ zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, oraz A⁰, gdzie A⁰ oznacza dopeªnienie zbioru A: A⁰ = R \ A.

11. Obliczy¢:

log¹

4 64; log¹

2 32; log^√2 2

4; log_0,25; log 2 + log 50; log₆125 log₆5 . 12. Obliczy¢:

36^log65; 2^{3+2 log27}; log 400 + log 20 − log 8.

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

13. Wykona¢ dziaªanie:

a

a − b − b

b − a− a(1 − a) b²− a² . 14. Rozªo»y¢ wielomiany na czynniki:

(a) x⁶+ 6x⁵− x⁴− 6x³ (b) 16x⁷− x³

15. Dla jakich warto±ci parametru k wielomian W (x) = x⁵+ 3x⁴+ 2x³ − 5x²+ 3x + k jest podzielny przez dwumian x − 2?

16. Zbudowa¢ wielomian stopnia trzeciego, którego pierwiastkami s¡ liczby: 0, 2, −3.

Zadania domowe

1. Dane s¡ wektory ~a = (−2, 5), ~b = (3, −2). Przedstawi¢ te wektory w kartezja«skim ukªadzie wspóªrz¦dnych. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektorów: −~a, 2~b, ~a + 2~b oraz 3~a − ~b metod¡ algebraiczn¡.

2. Dane s¡ punkty A = (0, 1, 2), B = (2, 1, 1), C = (3, −2, 1), D = (4, 2, −1). Obliczy¢

iloczyn skalarny wektorów −→

AB i −−→

CD oraz kosinus k¡ta mi¦dzy tymi wektorami.

3. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora ~v o dªugo±ci 1, prostopadªego jednocze±nie do wektora

~

u = (1, 2, 3) i wersora osi OY .

4. Usun¡¢ niewymierno±¢ z mianowników uªamków:

1 +√ 3 2√

3 , 1 +√ 3 2 −√

3, 6

√5 −√ 3

5. Dane sa zbiory: A = [−3, 5), B = [−2, 3). Na osi liczbowej przedstawi¢ zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, oraz (A ∪ B)⁰, A⁰ ∩ B⁰, gdzie A⁰ oznacza dopeªnienie zbioru A:

A⁰ = R \ A.

6. Obliczy¢:

log¹

2 8; log₅1; log^√₂4; log¹

3(9√

3); log 0, 1; log 50 − log 5.

7. Rozªo»y¢ na czynniki wielomiany:

(a) x⁵− 3x⁴− 2x³+ 6x² (b) 25x⁴− x²

(c) x³− 27

8. Dla jakich warto±ci parametru k wielomian W (x) = x⁵+ 3x⁴+ 2x³ − 5x²+ 3x + k jest podzielny przez dwumian x + 1?

9. Wykona¢ dziaªanie:

2

x²− 4 − 2 − x

x − 2+x(1 − x) 2 + x .

Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii

i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni