Elemnty logiki i teorii mnogości, 2015/2016 ćwiczenia 11.

Elemnty logiki i teorii mnogości, 2015/2016 ćwiczenia 11.

22 grudnia 2015

1. Udowodnij, stosując metodę przekątniową, że dla każdego nieskończonego ciągu⟨xn⟩ ∈ X^Nistnieje element z∈ X ∖ {xn∶ n ∈ N}, gdzie X jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru liczb nieparzystych.

2. Udowodnić, że następujące zbiory mają moc continuum:

ˆ (ℵ) A = {⟨x, y⟩ ∈ R²∶ x ∈ Q},

ˆ zbiór B wszystkich rosnących ciągów liczb naturalnych.

ˆ zbiór C wszystkich prostych w R²,

ˆ D = {A ⊆ Z∶ N ⊆ A}, 3. Znajdź moc zbioru:

ˆ (ℶ) A = {A ⊆ N∶ ∀n∈Nn²∈ A},

ˆ wszystkich funkcji niemalejących N na N,

ˆ D = {A ⊆ Q∶ N ⊆ A},

4. (ℷ) Udowodnij nie korzystając z pewnika wyboru, że ∣N∣ ≤ ∣X∣ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ∣Y ∣ = ∣X∣, takie że Y ⊆ X, X ≠ Y .

1