Elementy logiki i teorii mnogości, 2015/2016 ćwiczenia 15.
19 stycznia 2016
1. Niech F∶ {0, 1}N→ N ∪ {ℵ0} będzie zdefiniowana następująco:
F(f) = ∣{n ∈ N∶ f(n) = 1}∣.
a) Rozstrzygnij czy F jest różnowartościowa oraz czy jest „na”?
b) Niech A= {f ∈ {0, 1}N∶ ∀n≥1f(n) = 0}. Oblicz F[A].
c) Oblicz P(F[A] ∪ {{∅}}).
d) Niech dla n∈ N, An= F−1[{n}]. Udowodnij, że ⋃n∈NAn= {{0, 1}N∶ ∃m∈N∀n>mf(n) = 0}.
e) Oblicz ∣ ⋃n∈NAn∣.
Wszytskie odpowiedzi uzasadnij!
2. Niech∼⊆ R2 będzie zadana następująco x∼ y wtedy i tylko wtedy, gdy ⌊∣x∣⌋ = ⌊∣y∣⌋.
a) Sprawdź, że∼ jest relacją równoważności.
b) Oblicz[0]∼ oraz [π]∼.
c) Oblicz moc zbioru ilorazowego.
d) Oblicz moc poszczególnych klas abstrakcji.
Wszytskie odpowiedzi uzasadnij!
3. Niech⊑ będzie relacją zadaną na liczbach całkowitych w następujący sposób, n, m ∈ Z to n ⊑ m wtedy i tylko wtedy, gdy n∣m.
a) Czy⊑ jest porządkiem częściowym na Z?
b) Narysuj diagram Hassego porządku {2, 3, 5, 6, 7, 30, 42}, ⊑. Znajdź elementy minimalne, maksymalne, największe i najmniejsze (o ile istnieją).
c) Znajdź (o ile istnieją) sup{6, 7} oraz inf{6, 7} w porządku {2, 3, 5, 6, 7, 30, 42}, ⊑.
d) Czy porządki N,≤ oraz {2n∶ n ∈ N}, ⊑ są izomorficzne?
e) Czy porządki N,≤ oraz {n ∈ N∶ n > 0}, ⊑ są izomorficzne?
Wszytskie odpowiedzi uzasadnij!
1
