dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2, Matematyka; S-I 0 .lic. 31 maja 2018

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2, Matematyka; S-I ⁰ .lic. 31 maja 2018

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr. 2

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych infor- macji.

Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c) ⁰ = 0 c ∈ R

2. (x ^α ) ⁰ = αx ^α−1 ( ^α ) ⁰ = α ^α−1 ·  ⁰ α ∈ R \ {0}

3. ( √

ⁿ

x) ⁰ = ¹

n

ⁿ

√ x

ⁿ⁻¹

 √

n

  ⁰

= ^

⁰

n

ⁿ

√



ⁿ⁻¹

n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x) ⁰ = cos x (sin ) ⁰ = (cos ) ·  ⁰

5. (cos x) ⁰ = − sin x (cos ) ⁰ = (− sin ) ·  ⁰

6. (tg x) ⁰ = _cos ¹

2

x (tg ) ⁰ = _cos ^

2⁰

 x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x) ⁰ = − _sin ¹

2

x (ctg ) ⁰ = − _sin ^

2⁰

 x 6= kπ, k ∈ N 8. (a ^x ) ⁰ = a ^x · ln a (a ^ ) ⁰ = a ^ · ln a ·  ⁰ a > 0 9. (e ^x ) ⁰ = e ^x (e ^ ) ⁰ = e ^ ·  ⁰

10. (ln x) ⁰ = _x ¹ (ln ) ⁰ = ^

⁰

 x > 0

11. (log _a x) ⁰ = _{x ln a} ¹ (log _a ) ⁰ = ^

⁰

 ln a a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x) ⁰ = ^{√ 1}

1−x

²

(arcsin ) ⁰ = ^{√ }

⁰

1−

²

|x| < 1 13. (arccos x) ⁰ = ^{√ −1}

1−x

²

(arccos ) ⁰ = ^{√ −}

⁰

1−

²

|x| < 1 14. (arctg x) ⁰ = _1+x ¹

2

(arctg ) ⁰ = ^

⁰

1+

²

15. (arcctg x) ⁰ = _1+x ⁻¹

2

(arcctg ) ⁰ = _1+ ^−

⁰2

Tabela caªek:

Lp. Wzór Uwagi

1. R 0dx = c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh

²

x dx = tgh x + c

11. R ₁

sinh

²

x dx = − ctgh x + c

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R 1

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R 1

cos

²

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin

²

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R √ 1

a

²

−x

²

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

²

+x

²

dx = ¹ _a arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R √ 1

x

²

+a dx = ln  x + √

x ² + a 

 + c a ∈ R

20. R 1

a

²

−x

²

dx = _2a ¹ ln   

a+x a−x

 

 + c a > 0, |x| 6= a

21. R f

⁰

(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

22. R 1

ax+b dx = _a ¹ ln |ax + b| + c

23. R sin ⁿ xdx = − _n ¹ cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2, Matematyka; S-I ⁰ .lic. 31 maja 2018

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n = 0, b) lim

n→∞

1

n

^α

= 0, α > 0 c) lim

n→∞ n ^α = +∞, α > 0 d) lim

n→∞ a ⁿ = 0, |a| < 1 e) lim

n→∞ a ⁿ = ∞, a > 1 f ) lim

n→∞

√

n

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

√

n

n = 1 h) lim

n→∞

n

^α

a

ⁿ

= 0, α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

log

_a

n

n = 0, n > 1 j) lim

n→∞

n

ⁿ

n! = ∞ k) lim

n→∞ a ⁿ = ∞, a > 1 l) lim

n→∞ a ⁿ = 0, |a| < 1 m) lim

n→∞ (1 + ¹ _n ) ⁿ = e n) lim

n→∞ (1 − _n ¹ ) ⁿ = e ⁻¹ o) lim

n→∞ (1 + _n ^a ) ⁿ = e ^a p) lim

n→∞ (1 + _a ¹

n

) ^a

ⁿ

= e o ile (a n ) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (±∞).

Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, b) lim

x→0 tg x

x = 1, α > 0 c) lim

x→0 a

^x

−1

x = ln a, a > 0 d) lim

x→0

log

_a

(1+x)

x = log _a e, 0 < a 6= 1 e) lim

x→±∞ 1 + ^a _x
^x

= e ^a , a ∈ R f ) lim

x→0 (1 + x)

^1x

= e g) lim

x→0

(1+x)

^a

−1

x = a, a ∈ R h) lim

x→0 arcsin x

x = 1 i) lim

x→0 arctg x

x = 1 Szeregi Fouriera:

a ₀ 2 +

∞

X

n=1

h a _n cos  nπ l x 

+ b _n sin  nπ l x i

, (1)

gdzie

a _n = 1 l

l

Z

−l

f (x) cos  nπ l x 

dx, n = 0, 1, 2, ... (2)

b n = 1 l

l

Z

−l

f (x) sin  nπ l x 

dx, n = 1, 2, 3, ... (3)

Pochodne cz¡stkowe:

∂f

∂x (x ₀ , y ₀ ) := lim

t→0

f (x ₀ + t, y ₀ ) − f (x ₀ , y ₀ )

t .

∂f

∂y (x 0 , y 0 ) := lim

t→0

f (x 0 , y 0 + t) − f (x 0 , y 0 )

t .

Wzór na przybli»one warto±ci:

f (x, y) ≈ f (x 0 , y 0 ) + ∂f

∂x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + ∂f

∂y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ), f (x, y, z) ≈ f (x 0 , y 0 , z 0 ) + ∂f

∂x (x 0 , y 0 , z 0 )(x − x 0 ) + ∂f

∂y (x 0 , y 0 , z 0 )(y − y 0 ) + ∂f

∂z (x 0 , y 0 , z 0 )(z − z 0 ).

Równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

∂f

∂x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + ∂f

∂y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) − z − z 0
= 0. (4) Równanie prostej normalnej:



 

 

x = x ₀ + ^∂f _∂x (x ₀ , y ₀ ) · t y = y 0 + ^∂f _∂y (x 0 , y 0 ) · t z = f (x ₀ , y ₀ ) − t,

t ∈ R

Gradient: gradf(x 0 , y 0 ) ^def = h

∂f

∂x (x 0 , y 0 ), ^∂f _∂y (x 0 , y 0 ) i . Pochodna kierunkowa:

∂f

∂~h (x ₀ , y ₀ ) ^def = lim

t→0

⁺

f (x ₀ + th ₁ , y ₀ + th ₂ ) − f (x ₀ , y ₀ ) t

lub ∂f

∂~ v (x ₀ , y ₀ ) = gradf(x 0 , y ₀ ) ◦ ~ v = ∂f

∂x (x ₀ , y ₀ )v ₁ + ∂f

∂y (x ₀ , y ₀ )v ₂

2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2, Matematyka; S-I ⁰ .lic. 31 maja 2018

lub ∂f

∂~ v (x ₀ , y ₀ ) = gradf(x 0 , y ₀ ) ◦ [cos α, cos β] = ∂f

∂x (x ₀ , y ₀ ) cos α + ∂f

∂y (x ₀ , y ₀ ) cos β.

Ró»niczkowlano±¢ funkcji dwóch zmiennych:

lim

(x,y)→(x

₀

,y

₀

)

f (x, y) − f (x 0 , y 0 ) − ^∂f _∂x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) − ^∂f _∂y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) p(x − x 0 ) ² + (y − y 0 ) ² = 0.

Pochodna funkcji uwikªanej F (x, y) = 0 :

dy dx = −

∂F

∂x

∂F

∂y

Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos ² α − sin ² α, c) sin ² α = ^{1−cos 2α} ₂ , d) cos ² α = ^{1+cos 2α} ₂ ,

e) sin α + sin β = 2 sin ^α+β ₂ cos ^α−β ₂ , f) sin α − sin β = 2 sin ^α−β ₂ cos ^α+β ₂ , g) cos α − cos β = −2 sin ^α+β ₂ sin ^α−β ₂ , h) cos α = sin ^π ₂ − α

i) a ² − b ² = (a − b)(a + b), j) a ³ − b ³ = (a − b)(a ² + ab + b ² ).

k) a ⁿ − b ⁿ = (a − b)(a ⁿ⁻¹ + a ⁿ⁻² b + . . . + a ^n−k b ^k−1 + . . . + ab ⁿ⁻² + b ⁿ⁻¹ ) l) a ⁿ + b ⁿ = (a + b)(a ⁿ⁻¹ − a ⁿ⁻² b + a ⁿ⁻³ b ² − a ⁿ⁻⁴ b ³ + . . .)

Przydatne nierówno±ci i to»samo±ci:

• ln x < x − 1 dla ka»dego x > 0;

• ln(x + 1) < x dla ka»dego x > −1;

• sin x ≤ x dla ka»dego x > 0;

• sin x ≥ _π ² x dla ka»dego x ∈ [0, ^π ₂ ].

• tg x > x dla ka»dego x ∈ (0, ^π ₂ );

• tg x ≤ _π ⁴ x dla ka»dego x ∈ [0, ^π ₄ ];

• | sin x| ≤ |x| dla ka»dego x ∈ R;

• (1 + x) ⁿ ≥ 1 + nx dla ka»dych x ∈ (−1, +∞) i n ∈ N;

• n ² < 2 ⁿ dla ka»dego n ≥ 5, n ∈ N;

• 2 ⁿ ≤ n! dla ka»dego n ≥ 4, n ∈ N;

• ²ⁿ _n
< 4 ⁿ dla ka»dego n ∈ N;

• ⁿ ₃
ⁿ

< n! < e ⁿ ₂
ⁿ dla ka»dego n ∈ N;

• n ⁿ⁺¹ > (n + 1) ⁿ dla ka»dego naturalnego n ≥ 3;

• 1 + _n ^1
n

≤ e < 3 dla ka»dego n ∈ N;

• |x ± y| ≤ |x| + |y| dla ka»dych x, y ∈ R;

• ||x| − |y|| ≤ |x − y| dla ka»dych x, y ∈ R;

• | √ x − √

y| ≤ p|x − y| dla ka»dych x, y ∈ R

•

n

P

k=1

sin(kx) = ^cos

¹²

^x−cos(n+ _{2 sin}

1 ¹²

^)x

2

x

•

n

P

k=1

cos(kx) = ^sin(n+ _{2 sin}

¹²

^)x−sin

1 ¹²

^x

2

x

3