dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic. 15 marca 2016

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I ⁰ .lic. 15 marca 2016

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

Caªkowanie funkcji niewymiernych.

Informacje pomocnicze:

I. Caªkowanie pewnych caªek niewymiernych:

1. Je»eli funkcja podcaªkowa jest iloczynem funkcji wymiernej oraz pewnej ilo±ci pot¦g postaci (ax + b)

^m1n1

, (ax + b)

^m2n2

, . . . lub ^ax+b _cx+d

_m1ⁿ¹

, ^ax+b _cx+d

_m2ⁿ²

, . . . gdzie n i , m i ∈ N s¡ wzgl¦dnie pierwsze to stosujemy odpowiednio podstawienia

M

√

ax + b = t lub

^M

r ax + b

cx + d = t (1)

gdzie M to najmniejsza wspólna wielokrotno±¢ m 1 , m ₂ , . . . 2a. Caªk¦ postaci R ^√ _ax

2

^dx +bx+c sprowadzamy do R √ ^dx

a(x−p)

²

+q i dokonujemy podstawienia x − p = q

1

|a| t, a nast¦pnie stosujemy wzory(wymiennie)

Z dx

√ x ² + a = ln |x + √

x ² + a| + c lub

Z 1

√ a ² − x ² dx = arcsin x

|a| + c.

2b. Caªk¦ postaci R √

ax ² + bx + c dx sprowadzamy do R pa(x − p) ² + q dx i dokonujemy podsta- wienia x − p = q

1

|a| t, a nast¦pnie stosujemy wzory(wymiennie) Z √

x ² + adx = 1 2 x √

x ² + a + a

2 ln |x + √

x ² + a| + c lub

Z √

a ² − x ² dx = a ²

2 arcsin x

|a| + x 2

√ a ² − x ² + c.

3. Caªk¦ postaci R ^√ _ax ^W

2ⁿ

+bx+c ^(x) dx, gdzie W n (x) jest wielomianem stopnia n, przedstawiamy jako:

Z W _n (x)

√ ax ² + bx + c dx = (A _n−1 x ⁿ⁻¹ + . . . A ₁ x + A ₀ ) √

ax ² + bx + c + λ

Z dx

√ ax ² + bx + c , w celu wyliczenia A n−1 , . . . , A ₁ , A ₀ , λ obustronnie ró»niczkujemy, mno»ymy przez √

ax ² + bx + c i otrzymujemy równanie wielomianowe.

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I ⁰ .lic. 15 marca 2016

Szczególny przypadek: caªk¦ postaci R ^√ _ax ^Ax+B

2

+bx+c dx obliczamy rozkªadaj¡c na dwie cz¦±ci i stosuj¡c wcze±niejsze metody

Z Ax + B

√ ax ² + bx + c dx = C ·

Z 2ax + b

√ ax ² + bx + c dx + D

Z 1

√ ax ² + bx + c dx

= 2C √

ax ² + bx + c + D

Z 1

√ ax ² + bx + c dx.

4. Caªk¦ postaci R P (x) √

ax ² + bx + c dx poprzez pomno»eni i podzielenie funkcji podcaªkowej przez √

ax ² + bx + c przeksztaªcamy do postaci R ^(ax √

²

+bx+c)P (x)

ax

²

+bx+c dx. Nast¦pnie stosujemy algo- rytm z punktu 3.

Szczególny przypadek: caªk¦ postaci R (Ax + B) √

ax ² + bx + cdx obliczamy rozkªadaj¡c dwie cz¦±ci i stosuj¡c wcze±niejsze metody:

Z

(Ax + B) √

ax ² + bx + cdx = C Z

(2ax + b) √

ax ² + bx + cdx + D Z √

ax ² + bx + cdx

= 2

3 C(ax ² + bx + c)

³²

+ D Z √

ax ² + bx + cdx.

5. Caªk¦ postaci R ^dx

(x−k)

ⁿ

√

dx

²

+ex+f poprzez podstawienie x − k = ¹ _t przeksztaªcamy do postaci R _t

ⁿ⁻¹

√

at

²

+bt+c dt, a wi¦c caªki z podpunktu 3.

II. Caªki typu R W (x, √

ax ² + bx + c)dx , gdzie W jest funkcj¡ wymiern¡

Wyra»enie pod pierwiastkiem (trójmian kwadratowy) sprowadzamy najpierw do postaci kanonicz- nej i dokonuj¡c odpowiednie podstawienie otrzymujemy jedn¡ z nast¦puj¡cych postaci: R W (t, √

A ² − t ² )dt , R W (t, √

A ² + t ² )dt, R W (t, √

t ² − A ² )dt. W przypadku:

a) R W (t, √

A ² − t ² )dt stosujemy podstawienie: t = A sin w lub t = A tgh w;

b) R W (t, √

A ² + t ² )dt stosujemy podstawienie: t = A tg w lub t = A sinh w;

c) R W (t, √

t ² − A ² )dt stosujemy podstawienie: t = _{cos w} ^A lub t = A cosh w.

III. Podstawienia Eulera

Do obliczania caªek typu R W (x, √

ax ² + bx + c)dx mo»na równie» zastosowa¢ tzw. podstawienia EULERA, jednak»e ze wzgl¦du na dosy¢ skomplikowane rachunki stosowane s¡ jako ostateczno±¢:

a) pierwsze podstawienie Eulera, gdy a>0

√

ax ² + bx + c = − √

ax + t.

St¡d mamy:

ax ² + bx + c = ax ² − 2 √

axt + t ² , ⇒ x(b + 2 √

at) = t ² − c ⇒ x = t ² − c b + 2 √

at .

2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I ⁰ .lic. 15 marca 2016

Zatem

dx = 2t(b + 2 √

at) − 2 √

a(t ² − c) (b + 2 √

at) ² dt oraz √

ax ² + bx + c = √

a c − t ² b + 2 √

at + t.

b) drugie podstawienie Eulera, gdy c>0

√

ax ² + bx + c = xt + √ c.

St¡d mamy:

ax ² + bx + c = x ² t ² + 2 √

cxt + c, ⇒ ax + b = xt ² + 2 √

ct ⇒ x = 2 √ ct − b a − t ² . Zatem

dx = 2 √

c(a − t ² ) + 2t(2 √ ct − b)

(a − t ² ) ² dt oraz √

ax ² + bx + c = 2 √

ct ² − bt a − t ² + √

c.

c) trzecie podstawienie Eulera, gdy wyró»nik ∆ > 0

√ ax ² + bx + c = p

a(x − x ₁ )(x − x ₂ ) = t(x − x ₁ ), gdzie x 1 , x ² to pierwiastki trójmianu ax ² + bx + c.

Z podstawienia mamy:

(x − x ₁ )t ² = a(x − x ₂ ), ⇒ x(t ² − a) = t ² x ₁ − ax ₂ ⇒ x = t ² x ₁ − ax ₂ t ² − a . Zatem

dx = 2ta(x ₂ − x ₁ )

(t ² − a) ² dt oraz √

ax ² + bx + c = t  t ² x ₁ − ax ₂ t ² − a − x ₁

 .

IV. Caªki dwumienne Caªki postaci R x ^m (a + bx ⁿ ) ^p , gdzie m, n, p s¡ liczbami wymiernymi nazy- wamy caªkami dwumiennymi. Caªki te na podstawie twierdzenia Czybyszewa mo»na obliczy¢ poprzez odpowiednie podstawienia w jednym z trzech przypadków:

a) gdy p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

N

√ x = t,

gdzie N jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb wymiernych m, n;

b) gdy ^m+1 _n jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

N

√

a + bx ⁿ = t, gdzie N jest mianownikiem liczby p;

c) gdy ^m+1 _n + p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

N

r a + bx ⁿ x ⁿ = t, gdzie N jest mianownikiem liczby p.

3

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I ⁰ .lic. 15 marca 2016

V. Wyprowadzenie u»ytecznych wzorów:

Przykªad 1. R ^√ _x ^dx

2

+a = ln |x + √

x ² + a| + c.

Z dx

√ x ² + a =    

√ x ² + a = t − x − tzw. podst. Eulera ⇒ x = ^t

²

_2t ^−a dx = ^t

²

_2t ^+a

2

dt

   

=

=

Z t

²

+a 2t

²

dt t − ^t

²

_2t ^−a =

Z t

²

+a 2t

²

dt

t

²

+a 2t

= Z 1

t dt = ln |t| + c = ln |x + √

x ² + a| + c;

Przykªad 2. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c.

Z √

x ² + adx =    

f = √

x ² + a g ⁰ = 1 f ⁰ = ^√ _x ^x

₂

_+a g = x

   

= x √

x ² + a −

Z x ²

√ x ² + a dx =

= x √

x ² + a −

Z x ² + a − a

√ x ² + a dx = x √

x ² + a − Z √

x ² + adx + a

Z dx

√ x ² + a =

= x √

x ² + a − Z √

x ² + adx + a ln |x + √

x ² + a|,

zatem Z √

x ² + adx = x √

x ² + a − Z √

x ² + adx + a ln |x + √

x ² + a|

wi¦c 2 R √

x ² + adx = x √

x ² + a + a ln |x + √

x ² + a|

i ostatecznie otrzymujemy oczekiwany wzór.

1. Oblicz caªki z funkcji niewymiernych:

1) R ₁

√ x+ √

³

x dx; 2) R ₁₊ ^√ _x

1− √

x dx; 3) R ₃₊ ^√

⁶

_2x+1

√

3

2x+1+ √

⁴

2x+1 dx;

4) R _x

²

₊ ^√ _1+x

√

3

1+x dx; 5) R ₁

x

q x−1

x+1 dx; 6) R x √

1 − 5xdx;

7) R x √

x − 4dx; 8) R _{√ 1}

2+3x−2x

²

dx; 9) R _{√ dx}

2x

²

+4x+3 ; 10) R _{√ dx}

3−2x−x

²

; 11) R _{√ dx}

4x

²

−27 ; 12) R √

1 − 4x ² dx;

13) R √

x ² − 2x − 1dx; 14) R √

−3x ² − 6x − 1dx; 15) R _x

√ −x

²

+4x+2 dx;

16) R _x

²

_+4x−3

√

x

²

−3x−4 dx; 17) R _4x

³

_+3x

²

_−2x+1

√

x

²

+2x−1 dx; 18) R 6x √

x ² + 2x + 2dx;

19) R 12x ² √

4 − x ² dx; 20) R _dx

(x−1)

²

√

10x−x

²

; 21) R _dx

(x+1)

³

√ x

²

+2x ; 22) R _dx

x− √

x

²

−x+1 ; 23) R _dx

x− √

x

²

−2x−1 ; 24) R _dx

(2x−1) √ x

²

−1 ; 25) R √ _dx

(x−1)

³

(x−2) ; 26) R

³

√ x

²

dx

√ x

³

(1+ √

⁶

x)

²

; 27) R x ³ (1 + 2x ² ) ⁻

³²

; 28) R √ ^√

³

xdx

√

3

x+1 ; 29) R

√

1+ √ x x

⁴

√

x

³

dx; 30) R ^√

³

_3x−x

³

x

⁶

dx.

4