dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Matematyka; S-I 0 .lic. 20 kwietnia 2016

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Matematyka; S-I ⁰ .lic. 20 kwietnia 2016

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr. 1

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych infor- macji. Kryteria zbie»no±¢ dla caªek niewªa±ciwych nale»y zna¢.

Przydatne wzory:

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh

x dx = tgh x + c

11. R ₁

sinh

x dx = − ctgh x + c

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R ₁

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R ₁

√

a

−x

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

+x

dx = ¹ _a arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

√

x

+a dx = ln  x + √

x ² + a 

 + c a ∈ R

20. R ₁

a

−x

dx = _2a ¹ ln   ^a+x _a−x

 + c a > 0, |x| 6= a

21. R f

(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

23. R sin ⁿ xdx = − ¹ _n cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R cos ⁿ xdx = ¹ _n sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R tg ⁿ xdx = _n−1 ¹ tg ⁿ⁻¹ x − R tg ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 26. R ctg ⁿ xdx = _n−1 ⁻¹ ctg ⁿ⁻¹ x − R ctg ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 27. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

28. R _dx

(x

+1)

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

)

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

(1+x

)

dx n ≥ 2

27. R √

a ² − x ² dx = ^a ₂

arcsin _|a| ^x + ^x ₂ √

a ² − x ² + c

Obliczanie caªki uªamków prostych drugiego rodzaju

Z Ax + B

(ax ² + bx + c) ⁿ dx, (4 = b ² − 4ac < 0).

Powy»sz¡ caªk¦ przedstawiamy w postaci:

Z Ax + B

(ax ² + bx + c) ⁿ dx = C

Z 2ax + b

(ax ² + bx + c) ⁿ dx +

Z D

(ax ² + bx + c) ⁿ dx.

Pierwsz¡ caªk¦ liczymy stosuj¡c podstawienie ax ² + bx + c = t, a drug¡ sprowadzamy do postaci kanonicznej

Z D

[a(x − p) ² + q] ⁿ dx, 

p = − b

2a , q = − 4 4a



;

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Matematyka; S-I ⁰ .lic. 20 kwietnia 2016

nast¦pnie wykonuj¡c podstawienie x − p = p| ^q _a | · t , mamy

Z D

(t ² + 1) ⁿ dt.

T¡ caªk¦ (dla n ≥ 2) liczymy stosuj¡c wzór indukcyjny 28.

Caªkowanie caªek niewymiernych:

2a. Caªk¦ postaci R ^√ _ax

^dx +bx+c sprowadzamy do R √ ^dx

a(x−p)

+q i dokonujemy podstawienia x − p = q

1

|a| t.

2b. Caªk¦ postaci R √

ax ² + bx + cdx sprowadzamy do R pa(x − p) ² + qdx i dokonujemy podstawienia x−p = q ₁

|a| t, a nast¦pnie stosujemy wzory ze strony 1

3 Caªk¦ postaci R ^√ _ax ^W

+bx+c ^(x) dx, gdzie W n (x) jest wielomianem stopnia n, przedstawiamy jako:

Z W n (x)

√ ax ² + bx + c dx = (A n−1 x ⁿ⁻¹ + . . . A 1 x + A 0 ) p

ax ² + bx + c + λ

Z dx

√ ax ² + bx + c , w celu wyliczenia A n−1 , . . . , A 1 , A 0 , λ obustronnie ró»niczkujemy, mno»ymy przez √

ax ² + bx + c i otrzymujemy równanie wielomianowe.

4. Caªk¦ postaci R P (x) √

ax ² + bx + c dx poprzez pomno»eni i podzielenie funkcji podcaªkowej przez √

ax ² + bx + c przeksztaªcamy do postaci R ^(ax

+bx+c)P (x)

√ ax

+bx+c dx. Nast¦pnie stosujemy algorytm z punktu 3.

5. Caªk¦ postaci R ^dx

(x−k)

√

dx

+ex+f poprzez podstawienie x − k = ¹ _t przeksztaªcamy do postaci R ^√ _at ^t

+bt+c dt, a wi¦c caªki z podpunktu 3.

6. Caªki typu R W (x, √

ax ² + bx + c)dx , gdzie W jest funkcj¡ wymiern¡ sprowadzamy najpierw do postaci kano- nicznej i stosujemy podstawienia:

a) R W (t, √

A ² − t ² )dt stosujemy podstawienie: t = A sin w lub t = A tgh w;

b) R W (t, √

A ² + t ² )dt stosujemy podstawienie: t = A tg w lub t = A sinh w;

c) R W (t, √

t ² − A ² )dt stosujemy podstawienie: t = _{cos w} ^A lub t = A cosh w.

7. Podstawienia Eulera

a) pierwsze podstawienie Eulera, gdy a > 0 : √

ax ² + bx + c = − √ ax + t;

b) drugie podstawienie Eulera, gdyc > 0 : √

ax ² + bx + c = xt + √ c;

c) trzecie podstawienie Eulera, gdy wyró»nik ∆ > 0 √

ax ² + bx + c = pa(x − x ₁ )(x − x ₂ ) = t(x − x ₁ ), gdzie x 1 , x ² to pierwiastki trójmianu ax ² + bx + c.

8. Caªki dwumienne: caªki postaci R x ^m (a + bx ⁿ ) ^p , gdzie m, n, p s¡ liczbami wymiernymi. Wówczas a) gdy p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

√

x = t, gdzie N jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb wymiernych m, n;

b) gdy ^m+1 _n jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

√

a + bx ⁿ = t, gdzie N jest mianownikiem liczby p;

c) gdy ^m+1 _n + p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

q

a+bx

x

= t, gdzie N jest mianowni- kiem liczby p.

Caªkowanie pewnych wyra»e« trygonometrycznych:

1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg ^x ₂ . Wówczas mamy:

dx = 2

1 + t ² dt, sin x = 2t

1 + t ² , cos x = 1 − t ² 1 + t ² .

2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Matematyka; S-I ⁰ .lic. 20 kwietnia 2016

2. Caªk¦ R W (sin ² x, cos ² x sin x cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:

dx = 1

1 + t ² dt, sin ² x = t ²

1 + t ² , cos ² x = 1 1 + t ² . 3. Caªk¦ postaci R sin ^m x cos ⁿ xdx, n, m ∈ N liczmy:

a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;

b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.

4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzorów:

sin x sin y = 1

2 [cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y = 1

2 [cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1

2 [sin(x − y) + sin(x + y)].

Inne przydatne wzory trygonometryczne:

cos ² x = ^{1+cos 2x} ₂ , sin ² x = ^{1−cos 2x} ₂ , cos 2x = cos ² x − sin ² x, sin 2x = 2 sin x cos x.

Pole obszaru pªaskiego:

a) Je»eli krzywe y = f(x) oraz y = g(x) dla x ∈ [a, b] speªniaj¡ nierówno±¢ f(x) ≥ g(x) co oznacza, »e wykres funkcji f znajduje si¦ powy»ej wykresu funkcji g, to pole obszaru ograniczonego tymi krzywymi oraz prostymi x = a, x = b wyra»a si¦ wzorem: P = R ^b

a

[f (x) − g(x)]dx;

b) we wspóªrz¦dnych biegunowych r = f(ω), gdzie ω ∈ [α, β] wyra»a si¦ wzorem: P = ¹ ₂ R ^β

α

f ² (ω)dω;

c) we wspóªrz¦dnych parametrycznych:

( x = x(t),

y = y(t), wyra»a si¦ wzorem P =

t

R

t

|y(t)x ⁰ (t)|dt, gdzie funkcje x ⁰ (t), y(t) s¡ ci¡gªe, x(t) jest monotoniczna, a y(t) jest staªego znaku w przedziale [t 1 , t ₂ ].

Dªugo±¢ krzywej:

a) w postaci y = f(x) dla x ∈ [a, b] wyra»a si¦ wzorem: |Γ| =

b

R

a

p1 + (f ⁰ (x)) ² dx;

b) w postaci biegunowej r = f(ω) dla α ≤ ω ≤ β wyra»a si¦ wzorem: |Γ| =

β

R

α

q

r ² + _dω ^dr
2 dω;

c) w postaci parametrycznej:

( x = x(t),

y = y(t), gdzie t ∈ [t 1 , t 2 ] wyra»a si¦ wzorem: |Γ| =

t

R

t

px ⁰² (t) + y ⁰² (t)dt, gdzie funkcje x(t), y(t) ∈ C ¹ ([t 1 , t 2 ]) oraz x ⁰² (t) + y ⁰² (t) > 0 dla ka»dego t ∈ [t 1 , t 2 ].

Obj¦to±¢ bryªy obrotowej V powstaªej z:

a) obrotu wokóª osi Ox obszaru N : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) wyra»a si¦ wzorem: V = π

b

R

a

f ² (x)dx;

b) obrotu wokóª osi Oy obszaru N : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) wyra»a si¦ wzorem: V = 2π

b

R

a

xf (x)dx; ;

3

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Matematyka; S-I ⁰ .lic. 20 kwietnia 2016

c) obrotu wokóª osi Ox ªuku danej krzywej w postaci parametrycznej

( x = x(t),

y = y(t), gdzie t ∈ [t 1 , t 2 ] wyra»a si¦

wzorem: V = π

t

R

t

y ² (t)|x ⁰ (t)|dt, gdzie x ⁰ (t), y(t) ∈ C([a, b]), ponadto funkcja x(t) jest w tym przedziale stale monotoniczna (x ⁰ (t) jest staªego znaku), a funkcja y(t) przybiera warto±ci nieujemne.

Pole powierzchni bryªy obrotowej powstaªej z:

a) obrotu wokóª osi Ox wykresu funkcji f(x) dla a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem: P = 2π R ^b

a

f (x)p1 + (f ⁰ (x)) ² dx;

b) obrotu wokóª osi Oy wykresu funkcji f(x) dla 0 ≤ a ≤ x ≤ b, wyra»a si¦ wzorem: P = 2π R ^b

a

xp1 + (f ⁰ (x)) ² dx;

c) obrotu wokóª osi Ox ªuku danej krzywej w postaci parametrycznej

( x = x(t),

y = y(t), gdzie t ∈ [t 1 , t 2 ] wyra»a si¦

wzorem: P = 2π

t

R

t

|y(t)|px ⁰² (t) + y ⁰² (t)dt, gdzie x ⁰ (t), y ⁰ (t) ∈ C([a, b]).

4