Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych macierzy A, B ∈ Km,nmacierze A ∗ BT i AT ∗ B sa kwadratowe oraz֒ trace(A ∗ BT

GAL (I INF) Zadania domowe 2

termin: 03.11.2009 Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow

1. Dla jakich warto´sci n grupa macierzy permutacji formatu n × n z dzia laniem mno˙zenia macierzy jest przemienna?

2. ´Slademmacierzy kwadratowej A = (ai,j) ∈ K^n,nnazywamy sume jej element´_֒ ow na g l´ownej diagonali, tzn.

trace(A) =

n

X

j=1

aj,j.

Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych macierzy A, B ∈ K^m,nmacierze A ∗ B^T i A^T ∗ B sa kwadratowe oraz_֒ trace(A ∗ B^T) = trace(A^T ∗ B).

3. Dla macierzy kwadratowej A = (ai,j) ∈ C^n,n, gdzie an,1= 1, ai,i+1= 1, 1 ≤ i ≤ n − 1, oraz ai,j= 0 dla pozosta lych i, j, oblicz A^k dla k = 1, 2, . . ..

4. Dla danych naturalnych n0, n1, . . . , nk, niech macierze A⁽ⁱ⁾=

a⁽ⁱ⁾_ji

−1,ji



∈K^ni−1,ni, 1 ≤ i ≤ k.

Wyka˙z, ˙ze je´sli A = (aj0,jk) ∈ K^n0,nk jest iloczynem, A= A⁽¹⁾∗ A⁽²⁾∗ · · · ∗ A^(k), to

aj0,jk =

n1

X

j1=1 n2

X

j2=1

· · ·

nk

−1

X

jk−1

a⁽¹⁾_j0,j1a⁽²⁾_j1,j2· · · a^(k)_jk

−1,jk

5. Wyka˙z, ˙ze macierz

A=

 a b c d



∈K^2,2 jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy ad − bc 6= 0. W´owczas

A⁻¹= 1 ad − bc

 d −b

−c a

 .

6. Wyka˙z, ˙ze macierz tr´ojkatna jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jej elementy na_֒ g l´ownej diagonali sa niezerowe._֒

7. Wyka˙z, ˙ze macierz odwrotna T⁻¹ do tr´ojkatnej g´_֒ ornej (dolnej) T , je´sli istnieje, jest te˙z tr´ojkatna_֒ g´orna (dolna).

8. Napisz algorytm wyznaczania wsp´o lczynnik´ow macierzy odwrotnej do danej macierzy tr´ojkatnej_֒ g´ornej.

1