Zadania domowe 6-10
(termin: 26 kwietnia 2019)
Zadanie 6. Stosuj ac (dos lownie) algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu g l´
,ownego w kolumnie dokonaj rozk ladu macierzy
A =
1 1 3 4
−1 0 3 −2
2 1 2 −3
1 2 −1 1
na iloczyn P A = L U , gdzie P jest macierz a permutacji, L macierz
,a tr´
,ojk atn
,a doln
,a z
,jedynkami na g l´ ownej przek atnej, a U macierz
,a tr´
,ojk atn
,a g´
,orn a.
,Zadanie 7.
Macierz
A =
2 6 −4
6 17 −17
−4 −17 −20
jest nieosobliwa i symetryczna, ale nie jest dodatnio okre´slona. Znajd´ z, je´sli istniej a, macierz
,tr´ ojk atn
,a doln
,a L z jedynkami na g l´
,ownej przek atnej oraz macierz diagonaln
,a D takie, ˙ze
,A = LDL
T. Czy taki rozk lad istnieje dla dowolnej nieosobliwej i symetrycznej macierzy A?
Zadanie 8.
Do nieosobliwej macierzy Hessenberga A = (a
i,j) ∈ R
n,n, tzn. takiej, ˙ze a
i,j= 0 dla i−j ≥ 2, zastosowano algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu g l´ ownego w kolumnie otrzymuj ac rozk lad tr´
,ojk atno-tr´
,ojk atny P A = L U , gdzie P jest macierz
,a permutacji, L =
,(l
i,j) macierz a tr´
,ojk atn
,a doln
,a z jedynkami na przek
,atnej i |l
, i,j| ≤ 1, a U = (u
i,j) macierz a
,tr´ ojk atn
,a g´
,orn a. Wyka˙z, ˙ze
,1≤i,j≤n
max |u
i,j| ≤ n max
1≤i,j≤n
|a
i,j|.
Zadanie 9.
Stosuj ac odbicia Householdera H
, i= I − ~ u
i~ u
Ti/γ
isprowad´ z macierz
A =
0 −2
0 0
−5 1
0 2
do postaci tr´ ojk atnej g´
,ornej R = H
2H
1A. Wska˙z wsp´ o lczynniki macierzy R oraz odpowied- nie wektory ~ u
ii liczby γ
i, i = 1, 2.
Nast epnie, korzystaj
,ac z rozk ladu, znajd´
,z min
~
x
k~b − A~ xk
22
dla ~b = [−4, 1, −3, 4]
T. Jaki wektor realizuje powy˙zsze minimum?
Zadanie 10.
Wyka˙z, ˙ze algorytm Hornera obliczania warto´sci w(ξ) wielomianu danego w postaci pot egowej,
,v
n:= a
n;
for j := n − 1 downto 0 do v
j:= v
j+1∗ x + a
j;
jest jednocze´snie algorytmem dzielenia tego wielomianu przez jednomian (x−ξ). Dok ladniej, je´sli w(x) = P
nj=0
a
jx
jto
w(x) =
nX
j=1
