Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
6. Zmienne losowe - zadania na ćwiczenia
Ćw. 6.1 Z partii zawierającej 100 wyrobów, z których 10 jest wybrakowanych, losujemy kolejno 5 wyrobów do sprawdzenia (bez zwracania). Znaleźć rozkład zmiennej lo- sowej określającej liczbę braków w wylosowanej próbce.
Ćw. 6.2 Niech X oznacza liczbę orłów w trzech rzutach monetą.
a) Wyznacz rozkład, dystrybuantę (wzór i wykres) zmiennej losowej X.
b) Oblicz P(X ≤ 1), P(X > 2), P(X = 1, 5), P(X = 1), P (2 ≤ X ≤ 3), P(X < 3).
Ćw. 6.3 Wyznacz rozkład zmiennej losowej, której dystrybuanta wyraża się następują- cym wzorem:
F (t) =
0, t < −1, 0.2, −1 ≤ t < 12, 0.4, 12 ≤ t < 3, 1, t ≥ 3.
i oblicz jej trzeci moment absolutny oraz trzeci absolutny moment centralny.
Ćw. 6.4 Niech X będzie zmienną losową określającą ilość sukcesów w schemacie Berno- ullego. Obliczyć EX, V ar(X).
Ćw. 6.5 Niech X ∼ P oiss(λ). Oblicz a) P(X = 2),
b) wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = eX.
Ćw. 6.6 Pokaż, że zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym posiada tzw. własność braku pamięci (własność Markowa), tzn.
P(X > t + s|X > t) = P(X > s), dla t, s ∈ N ∪ {0}.
Ćw. 6.7 Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają rozkład geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1. Niech Z = min(X, X − Y ). Znaleźć P(Z = −1).
Ćw. 6.8 Zmienne losowe X, Y są niezależne o tym samym rozkładzie Poiss(λ), λ > 0.
Niech Z = X − Y . Oblicz E(Z3).
Ćw. 6.9 Dobierz stałe A i B tak, aby funkcja określona dla x ∈ R wzorem F (x) = A + Barctgx, była dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznacz gęstość X.
Ćw. 6.10 Niech X będzie zmienną losową o gęstości f (t) = 0; t /∈ [−2, 2]
a(4 − t2); t ∈ [−2, 2].
a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres f .
b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Oblicz E(X), V ar(X) i medianę.
1
Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
d) Wyznacz E(3X + 2)2.
e) Oblicz prawdopodobieństwo, że X > 1 lub X < −1.
f) Zinterpretuj P (X < −1) na wykresie gęstości i dystrybuanty.
Ćw. 6.11 Niech X ma rozkład N (1, 2). Oblicz P(X < 0), P(X < 1), P(X > −1), P(|X| > 1).
Ćw. 6.12 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład normalny N (0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y są niezależne?
Ćw. 6.13 Wiedząc, że X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 i P(X < 2) = 34, znajdź
a) dystrybuantę zmiennej losowej E(λ), b) λ;
c) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej e−X.
2
Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
6. Zmienne losowe - zadania domowe
Zad. 6.1 W pudełku znajdują się trzy ponumerowane od 1 do 3 żetony. Gracz losuje trzykrotnie żeton bez zwracania. Zdobywa tyle punktów, w ilu przypadkach numer żetonu zgadza się z numerem losowania. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja liczby zdobytych punktów?
Zad. 6.2 Na loterii jest m1 losów o wygranej k1, m2 losów o wygranej k2, . . . , mn losów o wygranej kn. Łącznie jest N losów. Wartość oczekiwana wygranej na jeden los jest równa połowie ceny losu. Obliczyć cenę losu.
Zad. 6.3 W urnie znajduje się 2n kul białych i 1 czarna. Losujemy n razy po 1 kuli ze zwracaniem. Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja liczby wyciągniętych kul czarnych? Co się dzieje z wartością oczekiwaną, gdy n wzrasta do nieskończoności?
Zad. 6.4 Rzucono po 10 razy dwiema fałszywymi monetami dającymi orła z prawdopo- dobieństwem p1 i p2 odpowiednio. Wiadomo, że wartość oczekiwana łącznej liczby wyrzuconych orłów wynosi 10, zaś wariancja 409. Znaleźć p1 i p2.
Zad. 6.5 Pierwszy gracz rzuca 3 razy monetą, drugi dwa razy. Wygrana gracza pierw- szego jest równa różnicy ilości orłów, które wyrzucił i ilości orłów u gracza drugiego.
Obliczyć wartość oczekiwaną wygranej gracza pierwszego.
Zad. 6.6 Losujemy niezależnie dwie liczby ze zbioru {1,2,3,4}. Niech X będzie zmienną losową określającą wartość bezwzględną ich różnicy. Wyznacz dystrybuantę X, oblicz jej wartość oczekiwaną i wariancję.
Zad. 6.7 Na polowanie udało się 5 myśliwych. Nagle ukazało się stado 6 kaczek. Każdy z myśliwych szybko wycelował w jedną kaczkę i oddał strzał. Przyjmijmy, że myśliwi są znakomitymi strzelcami, a więc strzał każdego z nich był celny. Załóżmy także, że śrut ze strzelby myśliwego trafia tylko do jednej kaczki oraz że kaczka zostaje upolowana wtw. gdy trafił do niej co najmniej jeden z myśliwych. Znaleźć wartość oczekiwaną liczby kaczek, które przeżyją polowanie.
Zad. 6.8 Wiadomo, że E(X + Y ) = a, E(X − Y ) = b, V ar(X − Y ) = V ar(X + Y ).
Oblicz E(XY ).
Zad. 6.9 Niech X ma rozkład N (2, 4). Oblicz P(X < 1, 5), P(X > −2), P(|X| < 1).
Zad. 6.10 Zmienna losowa X ma gęstość f (t) = λ(1 − t2) · 1[−1,1](t). Wyznacz parametr λ oraz oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej (X + 1)2.
Zad. 6.11 Znaleźć wartość oczekiwaną pola prostokąta, którego obwód jest równy 20, a jeden bok jest zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym na [1, 10].
Zad. 6.12 Znajdź wartość oczekiwaną pola trójkąta, którego wysokość jest dwa razy krótsza niż podstawa będąca zmienną losową X o rozkładzie U [1, 4].
Zad. 6.13 Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej ln X, jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [-1,3).
3
Rachunek prawdopodobieństwa (2mef, lato 2012/2013)
Zad. 6.14 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = 4β3 x1(0,3)(x). Wyznacz parametr β oraz oblicz wartość oczekiwaną zmiennej (X − 2)2.
Zad. 6.15 Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
f (x) = ax(x − 3)
1
(0,3)(x).a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres gęstości.
b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Oblicz E(X), V ar(X) i medianę.
d) Wyznacz E(3 − X)3.
e) Oblicz prawdopodobieństwo, że X > 2 lub X < 1.
f) Zinterpretuj P (X < 1) na wykresie gęstości i dystrybuanty.
4
