–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria i Gospodarka Wodna
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Logika i zbiory
1. Logika i zbiory
1.
Elementy logiki.
Zdaniem logicznym nazywamy zdanie, któremu możemy przypisać wartość logiczną prawdy (za- zwyczaj oznaczanej „1”) lub fałszu (oznaczanej „0”).
Na zdaniach logicznych p, q możemy określić operacje logiczne: negacja (∼ p), alternatywa (p ∨ q), koniunkcja (p ∧ q), implikacja (p ⇒ q). Definiujemy te operacje, podając wartość logiczną zdań będących rezultatem operacji dla wszystkich możliwych wartości logicznych zdań p oraz q. Poniższe tabele określają omawiane wartości logiczne:
p ∼ p
1 0
0 1
p q p ∨ q p ∧ q p ⇒ q
1 1 1 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 1
0 0 0 0 1
Dwa zdania nazywamy równoważnymi, jeżeli mają tę samą wartość logiczną.
Twierdzenie
Niech p, q, r będą zdaniami logicznymi. Wtedy:
a) (p ∨ q) jest równoważne (q ∨ p) (przemienność alternatywy), b) (p ∧ q) jest równoważne (q ∧ p) (przemienność koniunkcji), c) (p ∨ q) ∨ r jest równoważne p ∨ (q ∨ r) (łączność alternatywy), d) (p ∧ q) ∧ r jest równoważne p ∧ (q ∧ r) (łączność koniunkcji),
e) (p ∨ q) ∧ r jest równoważne (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) (rozdzielność koniunkcji względem alternatywy), f) (p ∧ q) ∨ r jest równoważne (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) (rozdzielność alternatywy względem koniunkcji), g) (∼ (p∨q)) jest równoważne (∼ p ∧ ∼ q) (zaprzeczenie alternatywy, pierwsze prawo de Morgana), h) (∼ (p ∧ q)) jest równoważne (∼ p ∨ ∼ q) (zaprzeczenie koniunkcji, drugie prawo de Morgana),
i) ∼ (p ∧ ∼ p) jest zawsze prawdziwe (prawo wyłączonego środka), j) ∼ (∼ p) jest równoważne p (prawo podwójnego zaprzeczenia), k) ∼ (p =⇒ q) jest równoważne (p ∧ ∼ q) (zaprzeczenie implikacji),
l) (p =⇒ q) jest równoważne (∼ q =⇒ ∼ p) (prawo kontrapozycji), m) (p =⇒ q) jest równoważne (∼ p ∨ q) (postać normalna implikacji),
n) (p jest równoważne q) jest równoważne [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p )].
Kwantyfikatory
Symbol ∀ nazywamy dużym kwantyfikatorem i czytamy „dla każdego”. Intuicyjnie można powie- dzieć, że ∀ jest uogólnieniem koniunkcji.
Symbol ∃ nazywamy małym kwantyfikatorem i czytamy „istnieje”. Nawiązuje on do alternatywy.
Zapis „∀
x∈AW (x)” czytamy: „dla każdego x należącego do zbioru A zdanie W (x) jest prawdziwe”, natomiast zapis „∃
x∈AW (x)” czytamy: „istnieje x należące do zbioru A takie, że zdanie W (x) jest prawdziwe”.
1
Logika i zbiory
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów.
a) ∼ ∀
x∈AW (x) jest równoważne ∃
x∈A∼ (W (x)).
b) ∼ ∃
x∈AW (x) jest równoważne ∀
x∈A∼ (W (x)).
2.
Zbiory.
Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (lub zbiór B zawiera zbiór A) i piszemy A ⊂ B, jeżeli dla dowolnego a zachodzi implikacja: jeśli x ∈ A, to x ∈ B, tzn.
∀
xx ∈ A =⇒ x ∈ B
.
Zbiory A i B są równe, jeśli A ⊂ B oraz B ⊂ A. Wówczas piszemy A = B.
Jeśli mamy dane dwa zbiory A, B, to określamy ich sumę (∪), iloczyn (∩) i różnicę (\):
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}, A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}, A \ B = {x : x ∈ A ∧ x / ∈ B}.
Twierdzenie
Jeśli A, B, C są dowolnymi zbiorami, to:
a) A ∪ B = B ∪ A (przemienność sumy zbiorów), b) A ∩ B = B ∩ A (przemienność iloczynu zbiorów), c) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (łączność sumy zbiorów), d) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (łączność iloczynu zbiorów),
e) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (rozdzielność sumy zbiorów względem iloczynu zbiorów), f) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (rozdzielność iloczynu zbiorów względem sumy zbiorów), g) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)(pierwsze prawo de Morgana dla zbiorów),
h) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) (drugie prawo de Morgana dla zbiorów).
Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A i B, to zbiór uporządkowanych par (x, y), w którym x ∈ A oraz y ∈ B. Symbolicznie można to zapisać w postaci:
A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.
3.
Wzory skróconego mnożenia.
(a + b)
2= a
2+ 2ab + b
2(a − b)
2= a
2− 2ab + b
2a
2− b
2= (a + b)(a − b)
(a + b)
3= a
3+ 3a
2b + 3ab
2+ b
3(a − b)
3= a
3− 3a
2b + 3ab
2− b
3a
3− b
3= (a − b)(a
2+ ab + b
2) a
3+ b
3= (a + b)(a
2− ab + b
2)
2
Logika i zbiory
Zadania
Sprawdzić, czy poniższe zdanie jest tautologią.
1. [(p ∨ q)∧ ∼ p] =⇒ q.
2. [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)] =⇒ (p ∨ q).
3. [(p ∧ q) ∨ (p ∨ q)] ⇐⇒ q.
4. [(p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ⇐⇒ q.
5. (p ∨ q) =⇒ [∼ p∧ ∼ q].
6. [p ∨ (q∧ ∼ p)] =⇒ q.
7. [(p =⇒ q) ∧ p] =⇒ q.
8. (∼ p =⇒ q) =⇒∼ q ∧ p.
9. ∼ (p ∧ q) ⇐⇒∼ p∨ ∼ q.
10. ∼ (p =⇒ q) =⇒ (p ∧ q).
11. ∼ (p ∧ q∧ ∼ r) ⇐⇒ [∼ p∨ ∼ q ∨ r].
Obliczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A oraz narysuj A × B, B × A, 12. A = (−∞, 2], B = (0, 3].
13. A = {−1, 1} ∪ (2, 3), B = [1, 2).
14. A = (0, 2], B = [1, 2) ∪ {0}.
Dla danych zbiorów A = [−3, 1), B = [0, 5], C = (2, 4] zaznaczyć w R
2zbiór:
15. (A × B) ∩ (A × C).
16. (A ∩ B) × C.
17. B × (C \ A).
18. (A ∪ B) × C.
19. (B \ A) × C.
20. A × (B ∩ C).
Dla zbiorów A = [3, 7), B = (−2, 4], C = [0, +∞) wyznaczyć zbiory:
21. A ∪ B.
22. A ∩ C.
23. A \ C.
24. A ∩ B.
25. B \ C.
26. (A ∪ B) ∩ C.
27. (A ∩ B) ∩ C.
28. C \ (A ∩ B).
Wyznacz zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, jeśli:
29. A = (−∞, 1), B = (4, +∞). 30. A = [1, 5], B = (−3, 2).
Uprościć wyrażenie:
31. (x
3+ 8) − 2(x + 1)
2.
32. (2x + 3)(2x − 3) − (x − 2)
3. 33. a(a + b)
2− (a − b)
3− b(a − b)
2. 34.
a−3a−
3+a3−
a(1−a)9−a2.
35. (
a−1a+ 2) ·
1−a6a−42. 36.
xx22+y−y22−
2x−2yx+y+ 1.
37.
x23x+2−2x+1−
x26−1+
x23x−2+2x+1.
Usunąć niewymierność z mianownika:
38.
√√3−35+2√2. 39.
√3 55+1
.
40.
2−32√3−3√2.
41.
√√3+23−2−
1−164√6.
42.
7+41√3+
7−41√3. 43.
√127−√
3
+ 2( √ 7 − √
3).
3
