Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2015/16

Egzamin z wykªadu monogracznego

Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2015/16

Poj¦cia, terminologia i notacja:

Przyjmujemy zwykª¡ denicj¦ sygnatury algebraicznej Σ, domy±lnie Σ = hS, Ωi, i Σ-algebry A, domy±lnie przyjmuj¡c oznaczenia |A| = h|A|sis∈S oraz, dla ka»dej nazwy operacji f: s1× · · · × sn → s w Ω, fA: |A|_s1 × · · · × |A|_sn → |A|_s dla, odpowiednio, no±nika i operacji o nazwie f w Σ-algebrze A.

Kluczykami dla Σ-algebry A nazywamy dowoln¡ rodzin¦ k = hks ∈ |A|_si_s∈S elementów no±nika A, po jednym ka»dego rodzaju. Operacja f: s1× · · · × s_n→ s jest zamkni¦ta przez kluczyki k w algebrze A gdy fA(k_s1, . . . , k_sn) = k_s. Kluczykowa Σ-algebra to para hA, ki, gdzie A to Σ-algebra, k to kluczyki dla A takie, »e ka»da operacja w A, która jest zamkni¦ta przez kluczyki k, jest staªa (tzn. daje ten sam wynik dla wszystkich argumentów).

Niech KAlg(Σ) oznacza kategori¦ kluczykowych Σ-algebr ze zwyklymi Σ-homomorzmami mi¦dzy algebrami (homomorzmy te nie musz¡ zachowywa¢ kluczyków).

Dla kluczykowych Σ-algebr hA, ki, hB, gi, kluczykowy Σ-homomorzm h: hA, ki → hB, gi to Σ- homomorzm h: A → B, który zachowuje kluczyki, tzn. hs(ks) = gs dla s ∈ S. Niech KKAlg(Σ) oznacza kategori¦ kluczykowych Σ-algebr z kluczykowymi Σ-homomorzmami mi¦dzy nimi.

Dla dowolnego zbioru Σ-równo±ci Φ, KAlg(Σ, Φ) i KKAlg(Σ, Φ) to peªne podkategorie kategorii KAlg(Σ) i KKAlg(Σ), odpowiednio, wyznaczone przez algebry speªniaj¡ce Φ.

Dla dowolnej sygnatury Σ i zbioru Σ-równo±ci Φ, mamy funktory inkluzji JΣ: KKAlg(Σ) → KAlg(Σ) oraz JΣ,Φ: KKAlg(Σ, Φ) → KAlg(Σ, Φ).

Dla dowolnego morzmu sygnatur σ: Σ → Σ⁰, deniujemy funktor zapominaj¡cy Uσ: KAlg(Σ⁰) → KAlg(Σ), gdzie dla hA⁰, k⁰i ∈ |KAlg(Σ⁰)|, Uσ(hA⁰, k⁰i) = hA⁰ _σ, k⁰ _σi, |A⁰ σ|_s = |A⁰|_σ(s) dla s ∈ S, f_A⁰_σ = (σ(f ))A⁰ dla operacji f w Σ, (k⁰ σ)s = k⁰_σ(s) dla s ∈ S, przy oczywistym rozszerzeniu tych denicji na homomorzmy. Dalej, zauwa»my, »e Uσ przeksztaªca kluczykowe Σ⁰-homomorzmy na kluczykowe Σ-homomorzmy; niech Uσ^K: KKAlg(Σ⁰) → KKAlg(Σ) b¦dzie ograniczeniem Uσ

do podkategorii KKAlg(Σ⁰). W ko«cu, dla zbioru Σ⁰-równo±ci Φ⁰, niech Uσ,Φ⁰: KAlg(Σ⁰, Φ⁰) → KAlg(Σ) i U_σ,Φ^{K 0}: KKAlg(Σ⁰, Φ⁰) → KKAlg(Σ)b¦d¡ ograniczeniami tych funktorów do podkategorii KAlg(Σ⁰, Φ⁰) i KKAlg(Σ⁰, Φ⁰), odpowiednio.

1

Zadanie:

1. Które z poni»szych kategorii maj¡

P. produkty ka»dej rodziny obiektów (w szczególno±ci, obiekty ko«cowe) E. equalizatory ka»dej pary równolegªych morzmów

KP. koprodukty ka»dej rodziny obiektów (w szczególno±ci, obiekty pocz¡tkowe) KE. koequalizatory ka»dej pary równolegªych morzmów

dla ka»dej sygnatury Σ i, gdzie stosowne, zbioru Σ-równo±ci Φ? Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn¡.

(a) KAlg(Σ) (b) KAlg(Σ, Φ)

(c) KKAlg(Σ) (d) KKAlg(Σ, Φ)

2. Które z poni»szych funktorów maj¡ lewy sprz¦»ony dla ka»dej sygnatury Σ oraz, gdzie stosowne, dla ka»dego morzmu sygnatur σ: Σ → Σ⁰ i zbioru Σ⁰-równo±ci Φ⁰? Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn¡.

(a) Uσ: KAlg(Σ⁰) → KAlg(Σ) (b) Uσ,Φ: KAlg(Σ⁰, Φ⁰) → KAlg(Σ)

(c) Uσ^K: KKAlg(Σ⁰) → KKAlg(Σ) (d) Uσ,Φ^K : KKAlg(Σ⁰, Φ⁰) → KKAlg(Σ)

(e) JΣ: KKAlg(Σ) → KAlg(Σ)

(f) JΣ,Φ: KKAlg(Σ, Φ) → KAlg(Σ, Φ) Uwagi:

• Mo»na korzysta¢ z omawianych na wykªadzie konstrukcji i twierdze« bez powtarzania ich dowodów.

• Odpowiedzi na powy»sze pytania nie s¡ niezale»ne. Na przykªad, w oczywisty sposób s¡ powi¡- zane zadania 1.P.a i 1.P.b: dowód istnienia produktów w ka»dej kategorii KAlg(Σ, Φ) pokazy- waªby te» istnienie produktów w KAlg(Σ), a kontrprzykªad na istnienie produktów w katego- rii KAlg(Σ) byªby te» kontrprzykªadem na ich istnienie w KAlg(Σ, Φ). W takich przypad- kach wystarczy to po prostu wskaza¢, nie powtarzaj¡c argumentacji. Tak naprawd¦ jest tu wi¦c znacznie mniej pyta« ni» mogªoby si¦ wydawa¢ na pierwszy rzut oka. Z drugiej strony, taka konstrukcja zadania niekiedy umo»liwia odpowied¹ na pytanie ªatwiejsze (np. 1.P.a), bez odpowiadania na pytanie potencjalnie trudniejsze (np. 1.P.b). Mo»na przyj¡¢, »e odpowiedzi na pytania dotycz¡ce kategorii wyznaczonych przez sygnatury (bez zbiorów równo±ci) wystarcz¡

na ocen¦ pozytywn¡.

Szkic jednego z mo»liwych rozwi¡za«:

Dla dowolnej sygnatury Σ = hS, Ωi rozwa»my sygnatur¦ K(Σ) = hS, Ω ] {ks: s}_s∈Si, otrzyman¡ z Σ przez dodanie nowej staªej ks: s dla ka»dego s ∈ S. Niech dalej Ψ^KΣ b¦dzie zbiorem wszystkich równo±ci warunkowych postaci

∀{x1: s1, . . . , xn: sn}.f (ks1, . . . , ksn) = ks =⇒ f (x1, . . . , xn) = ks

dla wszystkich nazw operacji f: s1× · · · × s_n → s w Σ. Kategoria KKAlg(Σ, Φ) jest równowa»na (nawet izomorczna) z Alg(Σ, Φ ∪ Ψ^KΣ). Wraz z odpowiednimi wynikami dla quasi-rozmaito±ci (ka- tegorii zwykªych algebr deniowalnych równo±ciami warunkowymi) daje to natychmiast:

1.{P,E,KP,KE}.{c,d}: TAK oraz 2.{c,d}: TAK.

2

1.P.b: TAK. Dziaªa zwykªa konstrukcja produktu algebr, z produktowymi kluczykami. To daje te» 1.P.a: TAK.

1.E.a: NIE: Niech Σ1 = h{∗}, ∅i b¦dzie jednorodzajow¡ sygnatur¡, bez operacji. Zauwa»my, »e dla dowolnych kluczykowych Σ1-algebr, ka»da funkcja mi¦dzy ich no±nikami jest morzmem w KAlg(Σ1). Rozpatrzmy dwie wsz¦dzie ró»ne funkcje (tzn. takie, które dla ka»dego argumentu daj¡ ró»ne wyniki).

W KAlg(Σ1) nie istnieje ich equalizator, bo jego ¹ródªo musiaªoby (zawiera¢ kluczyk, zatem) mie¢

niepusty no±nik  wi¦c morzm z tego ¹ródªa nie wyrównywaªby rozwa»anych funkcji.

Z powy»szego tak»e 1.E.b: NIE.

1.KP.a: NIE: Rozpatrzmy dowoln¡ Σ1-algebr¦ kluczykow¡ hA, ki w KAlg(Σ1) (Σ1 jak wy»ej).

Wówczas k∗ ∈ |A|∗ 6= ∅ i dla dowolnej kluczykowej Σ1-algebry hB, gi takiej, »e no±nik |B|∗ jest przynajmniej dwuelementowy, mamy przynajmniej dwa ró»ne morzmy z hA, ki do hB, gi. Zatem w KAlg(Σ₁) nie istnieje algebra pocz¡tkowa.

Z powy»szego tak»e 1.KP.b: NIE.

1.KE.a: NIE. Niech Σ2 = h{∗}, {f, g: ∗ → ∗}i b¦dzie jednorodzajow¡ sygnatur¡, z dwiema operac- jami jednoargumentowymi. Niech A b¦dzie Σ2-algebr¡ o no±niku

|A|_∗ = {x₀, x_1,0, x_1,1, x_1,2, . . . , y₀, y_1,0, y_1,1, y_1,2, . . .}

z operacjami fA(x₀) = f_A(y₀) = f_A(y_1,i) = x₀, fA(x_1,i) = x_1,i+1, gA(y₀) = g_A(x₀) = g_A(x_1,i) = y₀, gA(y1,i) = y1,i+1, dla i ≥ 0. Rozpatrujemy Σ2-algebr¦ kluczykow¡ hA, ki z k∗ = x1,0.

Niech h: A → A bedzie Σ2-homomorzmem danym przez h(x0) = x₀, h(y0) = y₀, h(x1,i) = x_1,i+1, h(y_1,i) = y_1,i+1, dla i ≥ 0. Przypu±¢my, »e w KAlg(Σ2) istnieje koequalizator c: hA, ki → hB, gi dla id, h: hA, ki → ha, ki. Zauwa»my, »e wtedy c: A → B jest surjektywny oraz c(x1,i) = c(x_1,0) i c(y1,i) = c(y_1,0) dla i ≥ 0. Zatem no±nik |C| skªada si¦ z (niekoniecznie ró»nych) elementów c(x₀), c(x_1,0), c(y₀), c(y_1,0), przy czym fB(c(x₀)) = f_B(c(y₀)) = f_B(c(y_1,0)) = c(x₀), ale fB(c(x_1,0)) = c(x_1,0) oraz gB(c(y₀)) = g_B(c(x₀)) = g_B(c(x_1,0)) = c(y₀), ale gB(c(y_1,0)) = c(y_1,0).

Rozpatrzmy dalej dwie Σ2-algebry, Ax, Ay, gdzie

|A_x|∗ = {x, y₀, y₁} |A_y|∗ = {x₀, x₁, y}

f_Ax(x) = f_Ax(y₀) = f_Ax(y₁) = x, gAx(x) = g_Ax(y₀) = y₀, gAx(y₁) = y₁, oraz fAy(y) = f_Ay(x₀) = f_Ay(x₁) = y, gAy(y) = g_Ay(x₀) = x₀, gAy(x₁) = x₁. hAx, k^xi, gdzie k^x∗ = x, oraz hAy, k^yi, gdzie k^y∗ = y, s¡ algebrami kluczykowymi. Co wi¦cej, mamy Σ2-homomorzmy hx: A → A_x oraz hy: A → A_x takie,

»e hx(x₀) = h_x(x_1,i) = x, hx(y₀) = y₀ i hx(y_1,i) = y₁ oraz hy(y₀) = h_y(y_1,i) = y, hy(x₀) = x₀ i hy(x_1,i) = x₁ dla i ≥ 0, które speªniaj¡ id;hx = h;h_x oraz id;hy = h;h_y. Istniej¡ (jedyne) Σ2- homomorzmy cx: B → A_x oraz cy: B → A_y takie, »e c;cx = h_x oraz c;cy = h_y. Zatem w B wszystkie cztery elementy c(x0), c(x_1,0), c(y₀), c(y_1,0)sa wzajemnie ró»ne. Šatwo sprawdzi¢, ze w |B| nie istnieje kluczyk, przy którym B staje si¦ algebr¡ kluczykow¡  sprzeczno±¢, co ko«czy kontrprzykªad dla 1.KE.a.

Dalej, niech Σ∅ bedzie pust¡ sygnatur¡; rozpatrzmy (jedyny) morzm sygnatur ι: Σ∅ → Σ₁ (Σ1 jak wy»ej). Kategoria KAlg(Σ∅)jest kategori¡ ko«cow¡ (z jednym obiektem i jednym morzmem), zatem ma obiekt pocz¡tkowy. Gdyby Uι miaª lewy sprz¦»ony, to tak»e w kategorii KAlg(Σ1)istniaªby obiekt pocz¡tkowy  sprzeczno±¢ z kontrprzykªadem dla 1.KP.a. St¡d: 2.a: NIE, a z tego te» 2.b: NIE.

2.f: TAK: Niech hA, ki b¦dzie kluczykow¡ Σ-algebr¡ speªniaj¡ca równo±ci Φ. Niech g = h{?}is∈S

b¦dzie S-rodzajow¡ rodzin¡ zbiorów jednoelementowych, a FΣ,Φ(g) algebr¡ woln¡ w Alg(Σ, Φ) z 3

generatorami g. Niech A + FΣ,Φ(g) b¦dzie koproduktem algebr w Alg(Σ, Φ) z wªo»eniami ηA: A → (A + F_Σ,Φ(g)) oraz ι: FΣ,Φ(g) → (A + F_Σ,Φ(g)).

Wówczas hA + FΣ,Φ(g), ι(g)i z jedno±ci¡ ηA: A → (A + FΣ,Φ(g)) jest obiektem wolnym nad A wzgl¦- dem JΣ,Φ: KKAlg(Σ, Φ) → KAlg(Σ, Φ). Niech bowiem hB, k⁰i ∈ |KKAlg(Σ, Φ)| i h: A → B (czyli h: hA, ki → hB, k⁰i w KAlg(Σ, Φ)). Wówczas h^#: hA + FΣ,Φ(g)), ι(g)i → hB, ki to jedyny Σ-homomorzm h^#: (A + F_Σ,Φ(g)) → B taki, »e ηA;h^#= h i (ι;h^#)_s(?) = k⁰_s dla s ∈ S.

To daje te» 2.e: TAK. 2

4