Praca, potencjał i pojemno´s´c ∗
Maciej J. Mrowi´ nski 1 listopada 2010
Zadanie PPP 1
?
h
a
Wyznacz warto´s´c potencjału elektrycznego w punkcie oddalonym o h od cienkiego, jednorodnie naładowanego ładunkiem Q pier´scienia o promieniu a. Korzystaj˛ ac z tego potencjału oblicz warto´s´c nat˛e˙zenia pola elektrycznego w tym punkcie.
Odpowied´z: V (h) = p kQ
a
2+h
2, E(h) = kQ h ( a
2+h
2)
3/2Zadanie PPP 2
?
h
a
Wyznacz warto´s´c potencjału elektrycznego w punkcie oddalonym o h od cienkiego, jednorodnie naładowanego dysku o promieniu a. G˛esto´s´c powierzchniowa ładunku wynosi σ. Korzystaj˛ac z tego potencjału oblicz warto´s´c nat˛e˙zenia pola elektrycznego w tym punkcie.
Odpowied´z: V (h) = 2πkσ p
a 2 + h 2 − h
, E (h) = 2πkσ
1 − p h
a
2+h
2∗
Skompilowane z wielu ´zródeł. Tylko do u˙zytku na zaj˛eciach.
Wyznacz warto´s´c potencjału elektrycznego w funkcji odległo´sci od ´srodka jednorod- nie naładowanej kuli o promieniu a. Ładunek kuli wynosi Q.
Odpowied´z: V (r ) = kQ r dla r ∈]a, ∞[, V (r ) = kQ 2a h 3 − r
a
2 i
dla r ∈ [0, a]
Zadanie PPP 4
?
Wyznacz, nie korzystaj˛ ac z prawa Gaussa, warto´s´c potencjału elektrycznego we- wn˛ atrz naładowanej jednorodnie ładunkiem Q sfery o promieniu a.
Odpowied´z: V (r ) = kQ a
Zadanie PPP 5
?
Wyznacz energi˛e potencjaln˛ a sfery o promieniu a jednorodnie naładowanej ładun- kiem Q.
Odpowied´z: U = 1 2 kQ a
2Zadanie PPP 6
?
Wyznacz energi˛e potencjaln˛ a kuli o promieniu a jednorodnie naładowanej ładun- kiem Q.
Odpowied´z: U = 3 5 kQ a
2Zadanie PPP 7
?
Przewodz˛ ac˛ a sfer˛e o promieniu a umieszczono w przewodz˛ acej sferze o promieniu b (a < b). Obie sfery poł˛aczone s˛aprzewodem. Jaki ładunek zgromadzi si˛e na ka˙zdej ze sfer, je˙zeli sumaryczny ładunek na obu sferach to Q?
Odpowied´z: q a = 0, q b = Q
Zadanie PPP 8
??
Pomi˛edzy równoległymi płytkami, które dzieli odległo´s´c d , znajduje si˛e równomier- nie obj˛eto´sciowo rozmieszczony ładunek. Wyznacz g˛esto´s´c obj˛eto´sciow˛ a tego ładun- ku, je˙zeli ró˙znica potencjałów mi˛edzy płytkami wynosi ∆V .
Odpowied´z: p = − 2∆V d
2" 0
Potencjał wewn˛ atrz naładowanej kuli zale˙zy w nast˛epuj˛ acy sposób od odległo´sci od jej ´srodka: V (r ) = ar 2 +b, gdzie a i b to stałe. Wyznacz g˛esto´s´c obj˛eto´sciow˛aładunku kuli.
Odpowied´z: p(r ) = −6" 0 a
Zadanie PPP 11
?
Wyznacz potencjał pola elektrycznego, je˙zeli nat˛e˙zenie pola wynosi E = a(y ˆx+ x ˆy), gdzie a to stała.
Odpowied´z: V (x, y, z) = −axy + C
Zadanie PPP 12
?
Wyznacz potencjał pola elektrycznego, je˙zeli nat˛e˙zenie pola wynosi E = 2axy ˆx + a(x 2 − y 2 )ˆy, gdzie a to stała.
Odpowied´z: V (x, y, z) = ay y
23 − x 2 + C Zadanie PPP 13
?
Wyznacz potencjał pola elektrycznego, je˙zeli nat˛e˙zenie pola wynosi E = ay ˆx+(ax + b z )ˆy + b y ˆy, gdzie a i b to stałe.
Odpowied´z: V (x, y, z) = −y(ax + b z) + C
Zadanie PPP 14
?
Potencjał pewnego pola elektrycznego ma nast˛epuj˛ ac˛ a posta´c: V = a(x 2 + y 2 ) + b z 2 . Wyznacz nat˛e˙zenie pola elektrycznego.
Odpowied´z: E = −2[ax,ay, b z]
Zadanie PPP 15
?
Potencjał pewnego pola elektrycznego ma nast˛epuj˛ ac˛ a posta´c: V (r) = ar, gdzie a to stały wektor. Wyznacz nat˛e˙zenie pola elektrycznego.
Odpowied´z: E = −a
Wyznacz pojemno´s´c płaskiego kondensatora, którego okładki s˛ a oddalone o d od siebie i maj˛ a pole powierzchni A.
Odpowied´z: C =
"0d A
Zadanie PPP 17
?
Wyznacz pojemno´s´c kondensatora składaj˛ acego si˛e z dwóch walców o promieniach podstawy r a i r b ( r b > r a ). Załó˙z, ˙ze długo´s´c walców wynosi l a ich ´srodki pokrywaj˛ a si˛e.
Odpowied´z: C = l
2k ln
rbraZadanie PPP 18
?
Wyznacz pojemno´s´c kondensatora składaj˛ acego si˛e z dwóch sfer o promieniach r a i r b (r b > r a ). Załó˙z, ˙ze ´srodki sfer pokrywaj˛ a si˛e.
Odpowied´z: C = k 1
1 r
a− r 1
b
−1
Zadanie PPP 19
?
Wyznacz energi˛e potencjaln˛ a zgromadzon˛ a w płaskim kondensatorze, je˙zeli jest on naładowany ładunkiem Q a ró˙znica potencjałów elektrycznych mi˛edzy jego okład- kami wynosi ∆V .
Odpowied´z: U = 1 2 Q∆V
Zadanie PPP 20
?
Wyznacz warto´s´c siły, z jak˛ a okładki płaskiego kondensatora działaj˛ a na siebie. Załó˙z,
˙ze okładki maj˛a pole powierzchni A a zgromadzony na nich ładunek wynosi Q.
Odpowied´z: F = 2" Q
20
A
Obie okładki kondensatora płaskiego podł˛ aczono do spr˛e˙zyn (patrz rysunek). Przed podł˛ aczeniem baterii do obwodu układ znajdował si˛e w równowadze (siły działaj˛ ace na okładki równowa˙zyły si˛e), gdy okładki były rozsuni˛ete o d a kondensator miał pojemno´s´c C . Z podł˛ aczon˛ a bateri˛ a o ró˙znicy potencjałów ∆V układ znajduje si˛e w równowadze, gdy odległo´s´c pomi˛edzy okładkami wynosi d /2. Wyznacz ładunek zgromadzony na okładkach po podł˛ aczeniu baterii. Jaka jest stała spr˛e˙zysto´sci spr˛e-
˙zyn?
Odpowied´z: Q = 2C ∆V , k = 8C (∆V ) d
2 2Zadanie PPP 22
?
Dwie przewodz˛ ace kule o promieniach a i b podł˛ aczono do baterii. Wyznacz pojem- no´s´c utworzonego w ten sposób kondensatora, je˙zeli odległo´s´c pomi˛edzy ´srodkami kul wynosi d (d a i d b ).
Odpowied´z: C = k 1 1
a + b 1 − 2 d −1
Zadanie PPP 23
?
Wyznacz pojemno´s´c przypadaj˛ ac˛ a na jednostk˛e długo´s´c dla kondensatora składaj˛ ace- go si˛e z dwóch równoległych, niesko´ nczenie długich przewodów. Załó˙z, ˙ze przewody oddalone s˛ a od siebie o D a ich promienie wynosz˛ a d .
Odpowied´z: C L = 4k ln D
d − 1 −1
Zadanie PPP 24
?
Kondensator płaski o pojemno´sci C jest podł˛ aczony do baterii o ró˙znicy potencjałów
∆V . Jak˛aprac˛e W a nale˙zy wykona´c, aby podwoi´c odległo´s´c mi˛edzy okładkami kon- densatora przy wci˛ a˙z podł˛ aczonej baterii? Jak˛ a prac˛e W b wykonamy, je˙zeli wcze´sniej odł˛ aczymy bateri˛e?
Odpowied´z: W a = C(∆V ) 4
2, W b = C (∆V ) 2
2Pomi˛edzy odległymi o d okładkami kondensatora płaskiego umieszczono przewod- nik o grubo´sci a (a < d). Pole powierzchni okładek kondensatora wynosi A. Wy- znacz now˛ a pojemno´s´c kondensatora.
Odpowied´z: C = d −a A"
0Zadanie PPP 26
?
Pomi˛edzy odległymi o d okładkami kondensatora płaskiego umieszczono dielektryk o grubo´sci a (a < d) i wzgl˛ednej przenikalno´sci elektrycznej (stałej dielektrycznej)
" r . Pole powierzchni okładek kondensatora wynosi A. Wyznacz now˛ a pojemno´s´c kondensatora.
Odpowied´z: C = A" 0
d −
"3"
r−1
r
