4 Zadania z wykładów

• f[] - oznaczenia rozszerzenia przedziałowego funkcji

• Jeżeli mamy kilka równoważnych zapisów matematycznych, to funkcję przedziałową należy wyznaczyć z wyrażenia, w którym x występuję namniejszą liczbę razy

• é[x]ê = min {|x| : x ∈ [x]}

• |[x]| = max {|x| : x ∈ [x]}

• [x]² =^èé[x]ê², |[x]|^2é Rozwiązanie:

f_[]⁽¹⁾([x]) = 1

2 −^è−¹₂,³₂^é+ 1

2 +^è−¹₂,³₂^é = 1 è1

2,⁵₂^é+ 1 è3

2,⁷₂^é

=⁵2 5, 2

6 +⁵2

7,2 3 6

=⁵24 30,8

3

6 (16)

f_[]⁽²⁾([x]) = 4

4 −^è−¹₂,³₂^é·^è−¹₂,³₂^é = 4 4 −^è−³₄,⁹₄^é

= 4

è7

4,¹⁹₄^é = [4, 4] ·⁵ 4 19,4

7 6

=⁵16 19,16

7

6 (17)

f_[]⁽³⁾([x]) = 4 4 −^è−¹₂,³₂^é2

= 4

4 −^è0,⁹₄^é

= 4

è7

4, 4^é = [4, 4] ·⁵1 4,4

7 6

=⁵1,16 7

6 (18)

Wartość funkcji przedziałowej odpowiada wartości jej rozszerzenia przedziałowego danego równaniem (18).

3.2 W arytmetyce przedziałowej dla dowolnych przedziałów [x], [y] i [z]

prawdziwe jest zawieranie

[x] · ([y] + [z]) ⊆ [x] · [y] + [x] · [z]

Podaj przykład takich przedziałów [x], [y] i [z], aby w powyższej zależ- ności przedział lewostronny był całkowicie zawarty w przedziale pra- wostronnym.

2007p, 2008, 2009, 2011 Ważne! Końce przedziałów nie mogą być so- bie równe (ani jeden)!

Wstęp:

[a] = [a, a]

[a] + [b] = [a + b, a + b]

[a] · [b] =^èmin^îa · b, a · b, a · b, a · b^ï, max^îa · b, a · b, a · b, a · b^ïé [a]/[b] = [a] ·⁵1

b,1 b 6

, 0 /∈ [b]

Rozwiązanie:

Przyjmując:

[x] =⁵−1, −1 2 6

[y] = [1, 2]

[z] =⁵−1, −1 2 6

Otrzymujemy:

L = 5

−1, −1 2 6

· 3

[1, 2] +⁵−1, −1 2

64

=⁵−1, −1 2 6

· 5

0,3 2 6

=⁵−3 2, 0

6

P = 5

−1, −1 2 6

· [1, 2] + 5

−1, −1 2 6

· 5

−1, −1 2 6

=⁵−2, −1 2 6

+⁵1 4, 1

6

=⁵−7 4,1

2 6

Zatem:

L ⊆ P

3.3 Dane są dwa różne algorytmy obliczania różnicy kwadratów dwóch liczb: A1(a, b) = a²− b² oraz A2(a, b) = (a − b) · (a + b). Realizacja, którego z tych algorytmów na komputerze jest lepsza i dlaczego?

2005, 2009, 2011

Przy realizacji pierwszego z nich w arytmetyce zmiennoprzecinkowej otrzymujemy f l(a²− b²) = [(a · a)(1 + ε₁) − (b · b)(1 + ε₂)] (1 + ε₃) =

= (a²− b²) A

1 +(a²ε₁− b²ε₂) (a²− b²)

B

(1 + ε3) =

= (a²− b²)(1 + δ1) gdzie

δ1 = a²ε1− b²ε2

a²− b² (1 + ε3) + ε3,

a ε₁, ε₂, ε₃ są błędami wytworzonymi w poszczególnych działaniach arytmetycznych i zgodnie z zależnością |εi| 6 2^−t (i = 1, 2, 3). Jeśli a² jest odpowiednio bliskie b², a ε1 i ε2 mają przeciwne znaki, to błąd względny δ1 wyniku otrzymanego algorytmem A1 może być dowolnie duży. Nie jest tak w przypadku drugiego algorytmu, gdyż

f l((a − b)(a + b)) = ((a − b)(1 + ε1)(a + b)(1 + ε2))(1 + ε3) =

= (a²− b²)(1 + δ2) gdzie

|δ2| 6 |ε1| + |ε2| + |ε3|

i błąd względny δ₂jest zawsze nie większy od 3·2^−t. (Oszacowanie δ₂jest podane w pierwszym przybliżeniu tj. traktuje iloczyny kilku ε jako 0).

Jak widzimy z porównania wartości δ1 i δ2 algorytm drugi jest znacznie lepszy.

3.4 Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć iloraz z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x + 1

2006

w(x) = x³− 2x²− 5x + 5 Wstęp:

w_n= an

wk= w_k+1· x + an, k = n − 1, n − 2, . . . , 0 w₀= w(k)

20

• w5(x) = 1

w₀ = 1

Ostatecznie znormalizowane pochodne wielomianu w(x) w punkcie x = 1 to -4, 5, 5 i 1.

3.8 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znor- malizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 1

2007p

w(x) = x⁴+ x³− 4x²− 3x + 3 Wstęp:

• wyznaczamy m pierwszych znormalizowanych pochodnych wielomianu

• pq = n + 1, gdzie p, q - liczby naturalne ^{dla p = 1 -}

minimalna liczba mnożeń

• s(j) = (n − j) mod q, j = 0, 1, . . . , n

• r(j) =

I 0 dla j mod q Ó= 0

q dla j mod q = 0 , j = 0, 1, . . . , n

• Ti⁻¹= an−i−1x^s(i+1), i = 0, 1, . . . , n − 1

• Tj^j = anx^s(0), j = 0, 1, . . . , m

• Ti^j = T_i−1^j−1+ T_i−1^j x^r(i−j), j = 0, 1, . . . , m; i = j + 1, j + 2, . . . , n

• Okazuje się, że Tn^j = ^w(j)_j!^(x)x^{jmod q}, zatem j-ta znormalizowana pochodna wyraża się wzorem _xj^Tmod q^nj , j = 1, 2, . . . , m

Rozwiązanie:

• n = 4

• pq = 5 ⇒ p = 1, q = 5

• s(j):

j s(j)

0 4

1 3

2 2

3 1

4 0

• r(j):

j r(j)

0 5

1 0

2 0

3 0

4 0

• Ti^j: Ponieważ x = 1

można pomi-

❛❛

❛❛❛

i j -1 0 1 2 3 4

0 1 1

1 -4 2 1

2 -3 -2 3 1

3 3 -5 1 4 1

4 -2 -4 5 5 1

Przykłady:

T₀⁻¹ = 1 · 1³ = 1 T₂² = 1 · 1⁴ = 1

T₂⁰ = T₁⁻¹+ T₁⁰ = −4 + 2 = −2 T₄³ = T₃²+ T₃³= 4 + 1 = 5

• Znormalizowane pochodne:

rząd wartość

1 -4

2 5

3 5

4 1

3.9 Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wartości wszystkich znor- malizowanych pochodnych wielomianu w(x) w punkcie x = 2

2006

w(x) = x³− 2x²− 5x + 5

• n = 3

• pq = 4 ⇒ p = 1, q = 4

• s(j):

j s(j)

0 3

1 2

2 1

3 0

• r(j):

j r(j)

0 4

1 0

2 0

3 0

• T_i^j:

elementy na prze- kątnej T_j^j są za- wsze takie same

❛❛

❛❛❛

i j -1 0 1 2 3

0 −2 · 2² = −8 1 · 2³= 8

1 −5 · 2¹ = −10 −8 + 8 · 2⁰ = 0 8

2 5 · 2⁰ = 5 −10 + 0 · 2⁰ = −10 0 + 8 · 2⁰= 8 8

3 5 − 10 · 2⁰= −5 −10 + 8 · 2⁰= −2 8 + 8 · 2⁰ = 16 8

24

3. Zamień kolumny macierzy W tak aby s znajdowała się na pozycji (1, 1).

4. Odejmij od każdego z pozostałych wierszy wiersz pierwszy pomnożony przez _w^wi,1

1,1, gdzie i to numer wiersza.

5. Nową macierzą W jest macierz W bez pierwszego wiersza i pierwszej kolumny.

6. Jeżeli otrzymałeś macierz zerową → STOP - brak jednoznacznego rozwiązania.

7. Jeżeli wykonałeś n iteracji utwórz z odrzuconych wierszy, kolumn i etykiet macierz kwadratową o rozmiarze n i przejdź do odczytywanie kolejnych zmiennych.

8. Wróć do punktu 1.

Otrzymujemy macierz górnotrójkątną postaci:

















i1 i2 . . . in

q_1,1 q_1,2 . . . q_1,n 0 q_2,2 . . . q_2,n ... ... ... ...

0 0 . . . q_n,n

















=















 c₁ c₂ ...

c_n

















gdzie i1, i₂, . . . , i_n to zapamiętane przez nas indeksy zmiennych w oryginalnej macierzy, a c1, c2, . . . , cn to przekształcone wyrazy wolne. Wartości zmiennych odczytujemy w następu- jący sposób:

1. Z ostatniego wiersza wyznaczamy

x_in = c_n qn,n

2. W analogiczny sposób, znając już wartości xi+1, x_i+2, . . . , x_nobliczamy kolejne wartości xi

x_ia = ca−^qn_k=a+1(xik· qa,k) qa,a

1.9 Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio okre- ślona? Jak można zastosować jej rozkład A = LL^T do rozwiązania ukła- du równań liniowych Ax = b?

2006, 2007, 2007p, 2008, 2008p, 2009, 2010p, 2011, 2012

1.9.1 Definicja macierzy dodatnio określonej:

Zespoloną macierz A stopnia n nazywamy dodatnio określoną, gdy:

1. jest macierzą hermitowską, tj. A = A^H( ¯A^T) 2. x^HAx > 0 dla wszystkich wektorów x ∈ Cⁿ, x Ó= 0.

Dla rzeczywistej macierzy A stopnia n mamy uproszczone warunki:

A ≡ A^T ∧ ∀x ∈ Rⁿ: (x Ó≡ 0 ⇒ x^TAx > 0)

1.9.2 Jak można zastosować rozkład Choleskiego takiej macierzy do rozwiązania układu równań liniowych?

W metodzie Choleskiego rozwiązujemy dwa układy równań liniowych z macierzami trójkąt- nym. Rozkład rzeczywistej macierzy A na iloczyn LL^T wykonujemy na podstawie następu- jących wzorów:

l_k,k = ö õ õ õ ôa_k,k−

k−1

Ø

j=1

|l_k,j|², k = 1, 2, . . . , n,

l_i,k = a_i,k−^qk−1_j=1li,jl_k,j¯ lk,k¯

, i = k + 1, k + 2, . . . , n.

Dla macierzy rzeczywistej wzory upraszczają się:

l_k,k= ö õ õ õ ôa_k,k−

k−1

Ø

j=1

l²_k,j, k = 1, 2, . . . , n

l_i,k = ai,k −^qk−1_j=1li,jlk,j

l_k,k i = k + 1, k + 2, . . . , n

Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z przedstawienia macierzy A jako iloczyn LL^T, a następnie iterowania wierszami po kolejnych elementach macierzy L.

Żeby rozwiązać układ równań Ax = LL^Tx = b z taką macierzą wystarczy rozwiązać naj- pierw układ równań z macierzą dolnotrójkątną Ly = b, a następnie układ równań z macierzą górnotrójkątną L^Tx = y (liczby sprzężone zastępujemy odpowiednimi liczbami rzeczywisty- mi).

1.10 W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania ukła- dów równań liniowych? Jakie znasz metody i co możesz o nich po- wiedzieć?

2006, 2007, 2007p, 2008, 2008p, 2008zp, 2009, 2010p, 2011, 2011zp, 2012zp, 2012

Aby skonstruować metodę iteracyjną do rozwiązywania układów równań liniowych Ax = b wystarczy tak dobrać macierz M, by był spełniony warunek zbieżności ̺(M) < 1 i warunek zgodności ¯x = M ¯x + w, gdzie ¯x jest rozwiązaniem układu równań Ax = b. Teoretycznie wystarczy zatem wziąć dowolną macierz M taką, by ρ(M) < 1, a następnie obliczyć wektor w = (I − M )A⁻¹b wynikający z warunku zgodności. Ponieważ wymagałoby to obliczenia wyrażenia A⁻¹b, więc w praktyce postępujemy odwrotnie: przyjmujemy, że wektor w jest równy Nb, gdzie N jest pewną macierzą kwadratową. Z warunku zgodności mamy wówczas M = I − N A i w ten sposób otrzymujemy rodzinę metod iteracyjnych postaci:

x⁽ⁱ⁺¹⁾ = (I − NA)x⁽ⁱ⁾+ Nb

Znane metody opierają się na równości A = L + D + U, gdzie L jest macierzą dolnotrójkątną, D diagonalną, a U górnotrójkątną.

metoda Jacobiego

N = D⁻¹ M_J = −D⁻¹(L + U)

Dx⁽ⁱ⁺¹⁾ = −(L + U)x⁽ⁱ⁾+ b, i = 0, 1, 2, . . . metoda Gaussa–Seidla

N = (D + L)⁻¹ MGS= −(D + L)⁻¹U

Dx⁽ⁱ⁺¹⁾ = −Lx⁽ⁱ⁺¹⁾− U x⁽ⁱ⁾+ b, i = 0, 1, 2, . . . 11

1.11 Opisać metodę połowienia służącą do określenia znajdowania pier- wiastka równania nieliniowego

2006

Załóżmy, że w przedziale [a, b] równanie f(x) = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek i na którego końcach funkcja ma przeciwna znaki tj. f(a)f(b) < 0. W celu znalezienia przybliżonej wartości pierwiastka, dzielimy przedział [a, b] na połowy punktem

x⁽¹⁾ = a + b 2 .

Jeżeli f(x⁽¹⁾) = 0, to punkt x⁽¹⁾ jest szukanym pierwiastkiem. Jeśli natomiast tak nie jest, to z dwóch przedziałów [a, x⁽¹⁾] i [x⁽¹⁾, b] wybieramy ten, na którego końcach funkcja ma przeciwne znaki. Przedział ten dzielimy na połowy punktem x⁽²⁾, badamy wartość funkcji w punkcie x⁽²⁾ i znaki funkcji na końcach przedziału itd.

Po pewnej liczbie kroków otrzymamy albo pierwiastek dokładny, albo ciąg przedziałów, ta- kich, że:

f (x⁽ⁱ⁾)f(x⁽ⁱ⁺¹⁾) < 0,

gdzie [x⁽ⁱ⁾, x⁽ⁱ⁺¹⁾] oznacza tu i-ty przedział, którego długość wynosi:

|x⁽ⁱ⁺¹⁾− x⁽ⁱ⁾| = 1

2ⁱ(b − a)

Można zauważyć, że lewe końce ciągu przedziałów tworzą ciąg niemalejący i ograniczony z góry, a prawe końce - ciąg nierosnący i ograniczony z dołu, więc wynika z tego, że istnieje ich wspólna granica, która jest szukanym pierwiastkiem

1.12 Opisać metodę regula-falsi służącą do wyznaczania pierwiastka rów- nania nieliniowego f(x) = 0.

2006, 2007, 2007p, 2008,

2009, 2011, 2012 Załóżmy, że w przedziale [a, b] równanie f(x) = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek, a funkcja f ma na końcach tego przedziału przeciwne znaki. Załóżmy ponadto, że f ∈ C²[a, b] (prze- strzeń funkcji ciągłych wraz z pochodnymi do rzędu drugiego) oraz że pochodne pierwszego i drugiego rzędu funkcji f mają stąły znak w tym przedziale. Przy takich założeniach funkcja może mieć jedną z czterech postaci:

Pierwsza pochod- na mówi nam o tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca, druga czy wklęsła czy tez wypukła

1. rosnąca + wklęsła 2. rosnąca + wypukła 3. malejąca + wklęsła 4. malejąca + wypukła

Pokażemy przykład f^′(x), f^′′(x) > 0 (w pozostałych przypadkach jest analogicznie). Przez punkty A(a, f(a)) oraz B(b, f(b)) poprowadzimy cięciwę o równaniu :

y − f (a) = f (b) − f (a)

b − a (x − a).

Stąd

x⁽¹⁾ = a − f (a)

f (b) − f (a)(b − a).

Teraz musimy przeanalizować wyniki. Jeśli f(x⁽¹⁾) = 0, to liczba x⁽¹⁾ jest szukanym pier-

rzędna - y

wiastkiem. Jeśli natomiast f(x⁽¹⁾) Ó= 0 to przez punkt C(x⁽¹⁾, f (x⁽¹⁾)) oraz ten z punktów A i B, którego rzędna ma przeciwny znak niż f(x⁽¹⁾) prowadzimy następną cięciwę itd.

Analogicznie dla drugiej zmiennej - zamieniamy wiersze







3 3 0

0 2 2

1

3 −1 1











 2 3 1







i odejmujemy drugi wiersz pomnożony przez −¹₂







3 3 0

0 2 2

1

3 −1 + ¹₂ · 2 1 +¹₂ · 2





=







3 3 0

0 2 2

1

3 −¹₂ 2











 2 3 1







Rozbijamy wynikową macierz na macierz dolnotrójkątną L i górnotrójkątną U.

L =







1 0 0

0 1 0

1

3 −¹₂ 1





, U =







3 3 0 0 2 2 0 0 2







W drugim etapie rozwiązujemy równania

LU x⁽ⁱ⁾ = e⁽ⁱ⁾, i = 1, 2, 3 Dla i = 1 równania te mają postać







1 0 0

0 1 0

1

3 −¹₂ 1





·







3 3 0 0 2 2 0 0 2





· x⁽¹⁾=







3 3 0 0 2 2 1 0 1





· x⁽¹⁾=





 1 0 0







Otrzymamy

x⁽¹⁾ =









1 6 1 6

−¹₆









, x⁽²⁾ =









−¹₄

1 4 1 4









, x⁽³⁾ =









1 2

−¹₂

1 2









Numer 1 w wektorze przestawień





 2 3 1







zajmuje trzecią pozycję, więc jako pierwszą kolumnę macierzy A⁻¹należy przyjąć x⁽³⁾. Numer 2 znajduje się na pierwszej pozycji, więc drugą kolumną macierzy A⁻¹ jest x⁽¹⁾. Wreszcie, numer 3 zajmuje drugą pozycję, zatem trzecią kolumną jest x⁽²⁾. Ostatecznie otrzymuje- my

A⁻¹ =









1

2 1

6 −¹₄

−¹₂ ¹₆ ¹₄

1

2 −¹₆ ¹₄









3.30 Znaleźć przybliżenie funkcji F (x) = sin(x) na przedziale [0,^π₂] wielo- mianem stopnia drugiego (wskazówka: przyjąć x0 = ^π₂ ). Jaki jest błąd aproksymacji?

2007p, 2008, 2008p, 2010p

Rozwiazanie:

Wzór Taylora

Wn(x) = F (x₀) +F^′(x₀)

1! (x − x₀) + F^′′(x₀)

2! (x − x₀)²+ ... +Fⁿ(x₀)

n! (x − x₀)ⁿ 45

W₂(x) = sinπ

2 + cosπ

2 · (x −π 2) − 1

2sinπ

2 · (x −π

2)²= 1 − 1

2· (x −π

2)² = 1 −1

2x²+πx 2 −π²

8 Ponieważ |F^′′′(x)| = | − cos x| þ 1 dla x ∈ [0,^π₂] i

|F (x) − W₂(x)| þ 1 3!(π

2)³ < 0, 646 Zatem maksymalny błąd aproksymacji jest nie większy od 0,646 .

4 Zadania z wykładów

4.1 Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange’a, który w punktach -2,1,2,4 przyjmuje wartości odpowiednio 3,1,-3,8. Jaka jest wartość tego wie- lomianu w punkcie x = 0?

EAN-6

Wstęp:

• Wyznaczamy funkcje pomocnicze:

li(x) =

n

Ù

j=0

jÓ=i

x − xj

xi− xj

, i = 0, 1, . . . , n

• Następnie wyznaczamy wielomian Ln: Ln(x) =

n

Ø

i=0

f (xi)li(x)

Rozwiązanie:

• Dane:

i 0 1 2 3

x_i -2 1 2 4

f (xi) 3 1 -3 8

• Funkcje pomocnicze:

l0(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 4)

(−2 − 1)(−2 − 2)(−2 − 4) = (x − 1)(x − 2)(x − 4)

−72

l₁(x) = (x + 2)(x − 2)(x − 4)

(1 + 2)(1 − 2)(1 − 4) = (x + 2)(x − 2)(x − 4) 9

l2(x) = (x + 2)(x − 1)(x − 4)

(2 + 2)(2 − 1)(2 − 4) = (x + 2)(x − 1)(x − 4)

−8

l3(x) = (x + 2)(x − 1)(x − 2)

(4 + 2)(4 − 1)(4 − 2) = (x + 2)(x − 1)(x − 2) 36