Podlaski Konkurs Matematyczny 2006 Zadania przygotowawcze - klasy pierwsze
Zadanie 1. Wyznaczy´c najmniejsza warto´, s´c wyra˙zenia ab
a2+ b2 +a2+ b2 ab , gdzie a, b sa dodatnimi liczbami rzeczywistymi., Zadanie 2. Dla danych liczb naturalnych n > k wyznaczy´c sume:,
1
k(k + 1)(k + 2)+ 1
(k + 1)(k + 2)(k + 3)+ · · · + 1
n(n + 1)(n + 2) . Zadanie 3. Liczby rzeczywiste a, b, c sa takie, ˙ze a + b + c = 0. Wykaza´, c, ˙ze
a3+ b3+ c3 = 3abc.
Zadanie 4. Czy istnieja liczby pierwsze p, q, r takie, ˙ze, p2+ q3 = r4 ?
Zadanie 5. Wszystkie cyfry liczby sze´sciocyfrowej a podzielnej przez 37 sa r´, o˙zne i ˙zadna z nich nie jest zerem. Wykaza´c, ˙ze przestawiajac cyfry liczby a mo˙zna utworzy´, c przynajmniej 23 inne liczby podzielne przez 37.
Zadanie 6. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 5n+ 2 · 3n−1+ 1 jest podzielna przez 8.
Zadanie 7. a) Jakie warunki powinny spe lnia´c liczby ca lkowite a i b aby liczby P (x) = x2+ ax + b by ly parzyste dla wszystkich warto´sci ca lkowitych x?
b) Jakie warunki powinny spe lnia´c liczby ca lkowite a i b aby liczby Q(x) = x3+ ax + b by ly podzielne przez 3 dla wszystkich warto´sci ca lkowitych x?
Zadanie 8. W tr´ojkat ABC wpisano okr, ag styczny do bok´, ow AB, BC, CA w punktach C1, A1, B1 odpowiednio. Wykaza´c, ˙ze je´sli odcinki AA1, BB1 i CC1 sa r´, ownej d lugo´sci, to tr´ojkat, ABC jest r´ownoboczny.
Zadanie 9. W danym tr´ojkacie dwa boki maj, a d lugo´, sci a i b, za´s wysoko´sci opuszczone na te boki maja, odpowiednio d lugo´sci ha i hb. Wykaza´c, ˙ze je´sli a > b, to
a + ha> b + hb.
Zadanie 10. Wykaza´c, ˙ze suma odleg lo´sci miedzy ´, srodkami przeciwleg lych bok´ow czworokata jest r´, owna po lowie jego obwodu wtedy i tylko wtedy, gdy czworokat jest r´, ownoleg lobokiem.
Zadanie 11. W tr´ojkacie T suma d lugo´, sci jego wysoko´sci jest r´owna 9r, gdzie r jest d lugo´scia promienia, okregu wpisanego w ten tr´, ojkat. Wykaza´, c, ˙ze T jest tr´ojkatem r´, ownobocznym.
Zadanie 12. W tr´ojkacie prostok, atnym wysoko´, s´c opuszczona na przeciwprostokatn, a ma d lugo´, s´c h, za´s dwusieczna kata prostego ma d lugo´, s´c m. Obliczy´c pole tego tr´ojkata.,
Zadanie 13. Suma dziesieciu liczb naturalnych a, 1, a2, . . . , a10 jest r´owna 1001. Wyznaczy´c mo˙zliwie najwieksz, a warto´, s´c najwiekszego wsp´, olnego dzielnika tych liczb.
Zadanie 14. Wierzcho lki wypuk lego czworokata C le˙z, a na r´, o˙znych bokach kwadratu 1 × 1. Wykaza´c, ˙ze obw´od czworokata C jest nie mniejszy ni˙z 2, √
2.
Zadanie 15. Kwadrat i tr´ojkat maj, a r´, owne pola. Kt´ora z tych figur ma wiekszy obw´, od?
1
