Problemy harmonogramowania procesu lakierowania karoserii

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO MA TY KA z. 64

________ 1982 Nr kol. 736

Franciszek MARECKI Irena śLESIfślSKA

PROBLEMY HARMONOG RA MO WA NI A PROCESU LAKIEROWANIA KAROSERII

S t r e s z c z e n i e . W referacie przedstawiono raodel matematyczny i a l ­ go rytnTlipTymaTnago harmonogramowania procesu lakierowania karoserii samochodowych. Do rozwiązania problemu wy ko rz ys ta no metodę p r og ra­

mo wania wieloetapowego.

1. WPROWADZENIE

Produkcja karoserii samochodowych jest realizowana na wy dz ia le spawał- niczo-montażowym oraz lakierni. Elementy składowe karoserii (tz w. wy tl oc z­

ki) sę łęczone (spawane lub zgrzewane) w gniazdach te ch no logicznych.Z u w a­

gi na pr ze zbrojenia tych gniazd karoserie wytwarza się partiami różnych wersji. Wersja formalnie jest określonym zbiorem wytłoczak. Harmonogram produkcji wy działu sp aw alniczo-montażowego określa przedziały czasu (lub inaczej kolejność) realizacji we r3 ji karoserii.

Z wydz ia łu sp aw al ni czo-montażowego karoserie sę przekazywane (trahspor- tem podwieszanym) do lakierni. Na każdej zawieszce znajduje się Jedna ka­

roseria. Za sa dn ic zy m agregatem lakierni jest tunel. W tunelu tym ka ro se­

rie przesuwaję się na transporterze za stałę prędkością w trakcie proc e­

su lakierowania. Przy zmianie koloru, ze w z g l ęd ów te ch no lo gi cz ny ch .ok re ś­

lona liczba zawieszek jest pusta. Liczbo pustych miejsc jest zależna od

poprzedniego i 'następnego koloru. *

W ogólnym przypadku karoseria tej samej we rs ji sę lakierowano na róż­

ne kolory. Stęd w lakierni wyróżnia się tzw. odmiany kolorystyczne k a r o ­ serii. Odmianę kolorystyczna charakteryzuje we rs ja i kolor. N a le ży zw ró­

cić uwagę na fakt, że do lakierni podawane sę karoserie pa rtiami różnych wersji, o ustalonej kolejności. W ramach różnych w e rs ji mogę wy st ęp ow ać ta same kolory. Grupując odmiany kolorystyczne o identycznym kolorzo zmniejszamy liczbę pustych zawieszek w tunelu lakierni. Zatem celem h a r - nonogramowania procesu lakierowania karoserii 1ast maksymalizacja wy d a j ­ ności tunelu la ki er ni (czyli minimalizacja sumy pustych zawieszek).

w procesie lakierowania karoserii występuję charakterystyczne o g ra ni­

czenia logiczno. Deżeli kolejność wersji jest ustalona, to każda odmiana kolorystyczna wcześniejszej we rs ji poprzedza każdą odmianę kolorystyczna

84

kowego) znajdujący się pomiędzy wydziałem spawalniczo-raontaZowym a la ki er­

nię. Uwzględniajęc tzw. ekohomicznę długość serii karoserii taj samoj o d ­ miany kolorystycznej założymy, że w buforze może znajdować s i ę co najw y­

żej partia jednej odmiany kolorystycznej. W tym,przypadku ograniczenia pro­

c e su "lakierowania sę bardziej złożone (anizali typowa ograniczenia kolej- nośclowe). Sę to ograniczenia kolejnośclowe zmienne w czasia (uzależnione od zawartości magazynu buforowego).

Problematyka harraonogremcwania procesu produkcji karoserii samochodo- wych była przedmiotem prac [¿j i [2] . W pracach tych przedstawiono modele ogólne wydziału spawalniczo-montażowego i lakierni. Szczegółów? analizę procesu spawalniczo-montażowego i lakierowania karoserii (na przykładzie FSM Tychy) przedstawiono w [3] i [4]. W niniejszym referacie zostanie po­

kazany model matematyczny i algorytm harmonograraowania procesu l a k i e r o ­ wania. Z formalnego punktu widzenia jest to probiera realizacji zadaó (2 o- graniczeniami logicznymi) na jednym agregacie. Ponieważ jest to problem NP-zupełny - w sen3ia złożoności obliczeniowej - dlatego proponowany al­

gorytm ma złożoność wykładniczę. \

2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU - MODEL MATEMATYCZNY

Załóżmy, że dany jest zbiór wersji karoserii, które powstaję na w y ­ dziale spawalniczo-montażowymt

gdzie 1

w r - r-ta wersja, R - liczba wersji.

Poszczególne w e rs je napływaj? przed tunel lakierni w określonej ko lejno­

ści, w znanych chwilach czasu.

Dany jesę zbiór kolorów, na które karoserie mogę być malowane:

( 1 )

(2)

g d z i e :

ck - k-ty kolor, K - liczba kolorów.

Problemy harmonog ra mo wa nl a procesu lakierowania karoserii 85

Załóżmy, że dane są czasy potrzebne na zmianę koloru w tunelu lakierni:

T “ i?-* J

_

g d z i e :

- czas zmiany koloru 3£-tego na k-ty.

Niechaj przypo rz ąd ko wa ni e kolorów do w e rs ji przedstawia macierz:

A =

[arJ

g d z i e :

1 : gdy w we rs ji w r wyst ęp uj e malowanie na kolor c^

O \: w przypadku przeciwnym

Z każdą w e r s j ą zw iązana jest zatem pewna liczba odmian kolorystycznych N r, określona następująco:

k - K '

N r - 2 a rk (5)

k«l

I n te rpretując zadania jako odniany kolorystyczne, mo że my zdefiniować zbiór zadań lakierni:

\ n J(n-l,N)

(6)

g d z i e :

u - n-te zadanie, n

N - liczba zadań.

Ogólna liczba zada ń wynosi:

I

r-R

N - 2 N r (7)

r»l

Zadania nu me ru je my tak, by z numeru zadania U>n wy ni ka ła we rsja ka rose­

rii i od mi an a kolorystyczna. Zatem:

86 F. Marecki, X. Slesińska

j»r-l j = r

V (2 N j < 2 V ^ " "r 1

1 ^ r ^ R d„n d =r>

(8)

j»0 j=0

przy czyn: = symbol odpowiadniości , N = O.

Numer koloru c^ dla zadania <*?n wyznaczamy z warunku:

1 < r < R

V

j=r-l C 2

J=0

J=*r

( 2 Nj < n £ 2 N j } A (a = n ■ 2 N j y A r=0

j=r-l 2 3»o

i=3

A ( 3 => 2 a ri^ ^ ^ 2 a ri “ 3 “ 1)

i=l i=l

(3 = C|< )A(ton = ck ) (9)

Załóżmy, że czasy reallzacji^zadań dane sę wektorem:

e =

W

g d z i e :

$ - czas realizacji zadania cO

Dla każdego zadania określone sę terminy najwcześniejszego rozpoczęcia r e a l i z a c j i :

M * n ] ( 1 1 )

g d z i e :

- termin najwcześniejszego rozpoczęcia zadania w

n n

oraz terminy najpóźniejszego zakończenia zadań:

*-fk]

g d z i e :

V n - termin najpóźniejszego zakończenia u?n .

Ponadto założymy, że w buforze przed tunelem lakierni może być po zo­

stawione co najwyżej jedno zadanie, jeżeli czas realizacji tego zadania spełnia warunek:

i5,_ < & ₍₁₃₎

Problemy harmonograraowania procasu lakierowania karoserii 07

gdzie ^

•\P^ - dopuszczalny czas realizacji zadania, które może być pozostawio-

• ne w buforze.

\ Oznaczmy przez tn moment zakończenia realizacji zadania Dla op­

tymalizacji ha rmonogramowania przyjmiemy kryterium minimalizacji raaksymal- nago opóźnienia realizacji zadań:

A zatem dopuszczamy opóźnienie realizacji zadań. Harmonogram wi ni en ok re­

ślać przedział czasu realizacji każdego zadania.

3. ALGORYTM

Do rozwiązania problemu zostanie wy ko rz ys ta ny algorytm programowania wieloetapowego. Istota optymalizacji wi el oe ta po we j, po leg a na tym, ża pro­

ces znajdowania rozwiązań jest wi el oetapowym procesem decyzyjnym. Każda decyzja podejmowana na £-tyra etapie ( ? = 0,N) wiążó się z przydziałem Jednego zadania do realizacji. Stany etapu ^ - t e g o są wyznaczano na pod­

stawie' st anów etapu (*?-l)-ego. Początkowy stan procesu interpretuje sy­

tuację, gdy nie przydzielono do realizacji żadnego zadania. Stan y końc o­

we przedstawiają dopuszczalne warianty przydziału wszystkich zadaii.Z każ­

dym stanem związana jest jego wartość, w y ni ka ją ca z przyjętego kryterium optymalizacji.

3.1. Procedura generowania stanów

Generowanie st an ów jest procedurą pozwalającą wygenerować na podsta­

wie pewnego stanu etapu (£ -1 )-ego stany etapu y -tego.

Wprowadzamy następującą definicję stanu:

Oefinicla 1: Stanem procesu decyzyjnego jest wektor:

Q o max

l < n <,N (t - V )— min n n (14)

przy c z y m :

- numer etapu decyzyjnego, - numer stanu w ramach etapu, - liczba st an ów na «?-tyra etapie.

88 F. Marecki, X. Slesińska

Elementy wektora stanu określany następująco:

*n

t : -jeśli zadanie ta zostało

n n

przydzielone do realizacji, O : w przypadku przeciwnym

Stan poczętkowy P *,0 spełnia warunek:

p1 ' 0 » 0. (16)

l < n < N n

JLn natomiast w każdym stanie końcowy« P :

\ / p3*n > ° <1 7 >

l < . n < N

Z każdym stanem więżemy Jego wartość, zdefiniowań? następująco:

Definicja 2 : Wartości? stanu jest liczba V * ^ określona zależno­

ści?:

V t p ^ > o) (ł)] = $ > - nax - Y n ) (18)

W a r t o ś ć stanu p**'^ obliczany na podstawie wa rtości 3tanu bezpośrednio go poprzedzającego w sieci generacji, a więc:

V ^ ! . . .a xi V1 « - 1 ; ^ 1 ^ 1 » ^ ) (19)

gdzie:

- przyrost wartości w y n i k a j ę c y z przejścia od stanu 1

do M . [

1 9- 1 Procadura generowania stanów polega na uzupełnieniu stanu p #& o do- puezczalne zadanie cc>n , co prowadzi do stanu P ^ (1 <• !ln < L ^ ) . Uzupełnie­

nie stanu o zadanie «?n wi?ż e się ze zmian? odpowiedniej w s p ó ł r z ę d n ej ,co zapisujemy następujęco:

Problemy harmonograraowania procesu lakierowania karoserii 89

Wektor A P1 #7"l *JL r^2

71 posiada następująca współrzędne:

A p Jⁱ

t : u,= n

n r (21)

O : n

Zadania u?n Jest dla stanu P * * ,1.7-1 dopuszczalna, jeżeli spełnia wszyefr- kie ograniczania rozważanego problemu, a więc:

1) u>n nie może należeć do ętanu P1 '^“ 1 , tzn, :

P1 ' ? “ 1n , = 0 (22)

2) moment pojawienia się zadania przed tunelem lakierni - tf nie po-

»inien być późniejszy niż moment zakończenia realizacji ostatniego zada­

nia ze stanu p i’ * " 1

¥ L < rnax (23)

T n S l < j t < N r

wynika to z przyjętego założenia o ni ed op uszczalnych przestojach tunelut

c i :

3) zadanie U>n musi być możliwe do wykonania, co zapi sz em y w posta-

n C o ę1 ’^ - 1 (24)

g d z i e :

ofl'^ “ 1 - zbió r zadań, które mogę być w y ko na ne bezpośrednio za etanu P 1 ’? " 1 .

Sposób określenia zbioru o ę l'^ ” 1 zo stanie pr ze dstawiony w następnym punk­

cie pracy.

Ogólna procedura generowania st an ów oa postać:

N / f n e c ę l ’? - 1 ) A f p l. ? " 1 a o) max P,1 '^"1 )

n 2. ^ ^

. pl^P" 1 (25)

Wektor A P określa za le żn oś ć (2 1), przy czym*

/

t + »<»* p^ - 1 + ? k (26)

F ie*K

90 F. Marecki. I. śl&slńska

gdzio:

9C - numor ostatniego zadania w stanie P

Po wygenerowaniu stanów etapu ostatniego wyznaczamy 3tan optymalny najmniejszej wa rtości (ze wz ględu na przyjęte kryterium):

( min V^*N = , N ) =#> (P^0 ’ = P°) (27)

gdzie :

P° - stan optymalny na N-tym etapie.

Ze stanu P° wyznac za my optymalny harmonogram realizacji zadań w postaci cięgu uporządkowanych N d w ó j e k : f

gdzie :

ę n - moment rozpoczęcia realizacji zadania w n ; tn - moment zakończenia realizacji u>n

oraz:

, V . Ctn - P°) A ( 9 n - tn - ^ n ) (29:

l^.n

3.2. Interpretacja zbioru oę ^

Zaodnie z (24) oznacza zbiór zadań, które można wy konać bez;

średnio ze stanu P . Z definicji (15) wynika, że w stanie . P **_ . .!

pośrednio

znany Jest podzbiór («¡J-l) zadań, które zo st ał y Już skierowane do tuneli lakierni. Wybór następnego zadania jest uzależniony od stanu magazynu bu-

1 0

torowego. Rozpoczynając generowanie ze stanu P ' rozważmy najpierw pi«!

wąze zadań należących do pierwszej wersji, ze wz gl ęd u na ustaloną l*

lejność wersji. Wyró żn im y tu dwa przypadki:

1) z pierwszą wereją zw iązano Jest Jedno zadanie ( N ^ l ) . W tym przypi- ku zbiór o? 1 ,0 będzie za wierał tylko jedno zadanie jeśli zadanie nie mieści się w buforze. W przeciwnym przypadku do zbioru of 1 '° nalei«:

będą również za dania odpowiadające następnej w e rs ji (drugiej )j

2) w pierwszej wersji występują co najmniej dwie odmiany kolorysty«®

( > 2). Wówczas do zbioru c^ 1 , 0 wc hodzą ws zy st ki e zadania o numerat' od 1 do N .

Problemy harmonogratnowanla procesu lakierowania karoserii 91

W ogólnym przypadku zasady tworzenia zbioru oę ^ dla dowolnego s t a­

nu P''"^?“ 1 można przedstawić następująco:

- zbiór otf *« 1 zd ef in iu je my w postaci sumy logicznej trzech rozłącznych z b i o r ó w :

(30)

Liczebność zbioru 1 Jest co najwyżej równa Jedności, tzn. :

| o i ^ _ 1 | < 1 (31)

Oo zbioru tego należą zadania przebywające w buforze. Zadanie la należy 1 17-1

do ^ # jeżeli jest spełniony wa runek :

3 3 [fPn'? _ 1 “ °) A ( i > n ) A (Pi'^"1> 0)] A ( r n < r i ) = S> (n6 ofj''?-1 )

(32) n i

g d z i e :

r - numer we rs ji w . n J n

Powyższy zapis oznacza, że pewne zadanie o numerze wcześn ie js zy m niz pozostałe zadania już zrealizowane znajduje się w buforze.

1 ,V- 1

Mówimy, że zadanie w g należy do zbioru °ę2 o , jeżeli:

j=r-l J*r

3 V [(• raax P ^{^ -1} =» p. ¹ /^ " ¹ )A ( ^{2 2} N.JA

r L i < i < N 1 /* J=0 J j=0 J

j»r-l j=r

A ( 2 N < 2 V A ( p ^ _ 1 = 0 ) ] = s > ( 0 e o ^ ' ' ? “ 1 ) ( 3 3 )

j =0 J = 0

1 « _1 Na podstawie numeru zadania realizowanego jako ostatnie w stanie P '<•

ustalamy wersję, do Jakiej ono należy. Zadania tej wersji, które jeszcze nie zostały zrealizowane, należą do zbioru

O istnieniu niepustego zbioru mówimy wó wc za s, gd y zbiór of^ £

jest pu3ty, natomiast do zbioru « należy jedno zadanie, któro nic-

92 F. Marecki. I. Slesiń3ka

ści się w buforze. Istnieje wt e d y możliwość przydziału zada ń z następnej w kolejności wersji. Wa runek tan zapiszepy w postaci:

- 0) i) A ( - £ (34)

3.3. E l i m i n a d a stanów

Zasadniczą trudnością wy ko rz ys ta ni a programowania wi el oa t a p o w a g o w praktyce Jest duża zajętość pamięci operacyjnej dla zapisu s t an ów ' danego etapu. Z tego wz gl ęd u istotne znaczenie maję procedury po zw al aj ąc e wykryć, że pewien stan P * V ? Jest nioperspaktywiczny, tzn. nie pr owadzi do roz­

wiązania optymalnego.

W rozważanym problemie do eliminacji pewnych st an ów w y ko rz ys ta my regu­

łę dominacji. Regułę tę można stosować w odniesieniu do stanów a l te rn at yw­

nych.

D e f i n i d a ' 3 : Dwa stan y P i P ^2 są alternatywne, jeżeli spełniają w a r u n k i :

- i . i, — . ' - - i ' * ) » V [ p ^ Í?> 0) < H > ( p Í2;?> 0) ] a |( »ax pj1 ^ = p ^ A

¡i P r 1 1 0

( M * P^2 '^ » p / ,? )]=#>(P^1 '^ - p ^ A (35)

K i < N 1 V J

g d z i e :

m - symbol alternatywności.

Oznaczmy przez P najlepszy (lokalnie optymalny) st an ko ńcowy uz ys­

ki.'? &2’N A ?

kany za stanu P , natomiast przez P stan uz yskany z P

A ? A ?

D e f i n i d a 4 ; Stan P do minuje nad s t an em P , jeżeli jest sp eł ni o­

ny w a r u n e k :

(V * < ) = 5 > ( P ^ p e ) (36)

g d z i e :

M » - symbol dominacji 3tanów.

W algorytmie programowania wi eloetapowego zapamiętywane są st a n y tyl­

ko jednego etapu. 0 dominacji trzeba za de cy do wa ć n a ^ - t y m etapie, w trak­

cie generowania stanów.

Pr oblemy ha ra on ogramowania procesu la ki er ow an ia karoserii 93

Reguła dominacji opiera eię na na st ępującym twierdzeniu;

l e r d z e n i e ; St an P dominuje nad st an em P , jeżeli je3t ny w a r u n e k ;

\/-(p * st p ) a (v < v ) =^>(p ^* i->- p ⁾

Dowód tego. twierdzenia można przeprowadzić nie w p r o s t , zakładając, że im­

plikacja (37) ma przeciwny sens, tzn. P P ^ ł . 2 definicji 4 wynika, że będzie zachod zi ła zależność:

J f . N 1%, N

V1 > v 2 . (38)

K - y Niech Hq oznacza optymalny ha rm on og ra m realizowany od stanu P . H a r­

monogram ten może być realizowany od stanu P ^ ze wz gl ęd u na al t e r n a ­ tywność tych stanów. A zatem:

ijO

V - max|y''1 '1j A V ( H 0 )] (39)

^ ' N « ma żj y^2 '^ A V ( H )] (40)

g d z i e :

A V(H^) - przyrost wart oś ci stanu u z y s k a n y w w y n i k u za st os ow an ia H o Biorąc pod uwag« (36), (39) i (40) otrzymujemy;

H £ , N V 1 < V 2 ,

co Jest sprz ec zn e z założeniem (38).

Ty m samy m dowód zo st ał przeprowadzony.

4. UW A G I KOfiCOWE

. ’ V «4*%

R o zp at ry wa ny w referacie pr ob le m hs rm on cg ra mo wa ni a mo ntażu i la kiero­

wania k a ro se ri i samochodowych z o s t a ł pr ze d s t a w i o n y w postaci przepływu z a ­ dań przez system dwóch agrógatów połączonych szeregowo. Założono, że po­

między og nm ga ta mi istnieje bufor o pojemn oś ci Je dnego zadanża. Realizacja zadań na dr ugim.agregacie wy maga przszbrojoń. Z tego wz ględu problem har-

94 F. Marecki. X. Śliwińska

monograraowania zadań na drugim agregacie (problem komiwojażera) należy do klasy NP - zupełnych. Stąd harmonogramowanie optymalne zadań w rozpatry­

wanym systemie nie noże być rozwiązane za pomocą algorytmu o w i el om ia no­

wej złożoności obliczeniowej.

Do rozwiązania sformułowanego problemu zaproponowano algorytm pr og ra­

mowania wieloetapowego. Za pomocą tego algorytmu możno uzyskać rozwiąza­

nie optymalne lub heurystyczne, gdy ograniczony jest czas lub pamięć ope­

racyjna komputera. Rozwiązanie optymalne jest osiągalne, gdy liczba zadań jest wz gl ęd ni e mało lub liczba ograniczeń w z gl ęd ni e duża. Dla podwyższe­

nia efektywności algorytmu wprowadzono reguły eliminacji stanów nieper- spektywicznych. Ocena tych reguł będzie przedmiotem dalszych prac - po­

przez przeprowadzenie testów komputerowych.

LITERATURA

[1] ś L ES IŃ SK A I. , MARECKI F. : Algorytm harmonogranowania niezależnych za­

dań na dwóch szeregowych maszynach. ZN Pol. Sl. s. Automatyka (oddano do druku).

[2] SLESIŃSKA I., MARECKI F. : Al gorytm harraonogramowanią zależnych zadań na dwóch Szeregowych maszynach z magazynem buforowym. Z N Pol. Sl, s.

Automatyka (oddano do druku).

[33 Raport z pracy n-b nt. "Optymalizacja harmonogramowanla produkcji W y ­ działu Tłoczni w Zakładzie nr 2 w Tychach (etap IV) rozdział VI "Ste­

rowanie Lakiernię", ss. 310-354, Instytut Automatyki, Gliwice 1901.

[43 ZG ORZYK M. : Modelowanie cyfrowe lakierni samochodów małolitrażowych FIAT-126p. Praca dyplomowa, Instytut Automatyki, Gliwice 1980.

Recenzent: Prof, dr hab. inż. Zd zisław TRYBALSKI

Wpłynęło do Redakcji 15.05.1982 r.

UPOEJIEMN COCTABJIEHHH TPAi>HKOB OKPACKH KY30B0B

P e 3 u m e

B CTaTbe noKaaajia MaieMaiH'iecKaa KOAezb h azropHTM oniHMajibHoro! c o c ia B jte -

h h h rpa$HKOB n p o u ecca oicpacKH aBTOuodHJiBHHx icy30B0B. Uza pemeBHa 3aAaBH h c -

n ożb30B aao ueTOA MHoromaroBoro nporpauuHpoBaHHa.

THE PR OB LE M OF SCHEDU LI NG ÓF THE CA R-BODY LAQUERING PROCESS

S u m m a r y

We present tjie mathematical model and the algorithm of optimal sc hedu­

ling of the car-body laquering process. To solve thl3 problem,we used the multistage programming method.