Wyznaczanie gęstości ciała stałego

Wyznaczanie gęstości ciała stałego

I. Cel ćwiczenia: poznanie podstawowych zagadnień związanych z opracowaniem wyników pomiarów: niepewność pomiaru, zapis wyniku wraz z niepewnością, zaokrą- glanie wyników.

II. Przyrządy: waga elektroniczna, waga laboratoryjna szalkowa, suwmiarka, śruba mikro- metryczna, metalowy prostopadłościan i wydrążony walec.

III. Literatura: [1] B

.

Żółtowski, Wprowadzenie do zajęć laboratoryjnych z fizyki, skrypt, (suwmiarka, śruba mikrometryczna), Łódź 2002,

[2] A. Zawadzki, H. Hofmokl, Laboratorium fizyczne (zapis wyników, za- okrąglanie wyników), PWN Warszawa 1968,

[3] E. Dębowska, Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiarów (wersja skrócona), kawe.wfis.uni.lodz.pl/kfd/pdf/MNONPs.pdf

IV. Wprowadzenie

Gęstość jakiejś substancji definiujemy jako stosunek jej masy do zajmowanej przez nią objętości.

W przypadku substancji jednorodnej wielkość próbki może być wybrana dowolnie. Jeśli znamy masę ciała i objętość to

V

= m

ρ (1)

Jednostką gęstości w układzie SI jest kilogram na metr sześcienny [kg/m³].

Gęstość ciał stałych można wyznaczyć przez ważenie próbek o znanej objętości.

Rys. 1 Bryły będące obiektem pomiarów: a) prostopadłościan, b) walec a

b

c

a)

h

D d

R r

b)

W ćwiczeniu wyznaczymy gęstości substancji (metalu), z których wykonane są przedmioty: walce z otworem wewnętrznym i krótkie pręty o kwadratowym lub prostokątnym przekroju porzecznym (rys.1). Dla tych brył objętość V wyznaczamy ze wzorów

dla prostopadłościanu: V = abc (2)

dla walca:

4 ) d D ( ) h r R ( h h r h R V

2 2 2

2 2

2 −π =π − =π −

π

= (3)

Stąd wynikają wzory na gęstość dla rozważanych brył:

prostopadłościan

bc m

= a

ρ (4)

walec ^{ρ= πh}

(

^D42m−d2

)

⁽⁵⁾

V. Przeprowadzenie pomiarów

Opis przyrządów

Masę prostopadłościanu i walca wyznaczamy za pomocą wagi elektronicznej i laboratoryjnej.

Długości krawędzi i średnic mierzymy za pomocą suwmiarki i śruby mikrometrycznej.

Suwmiarka

Przeznaczenie: obiekty o rozmiarach 1·10^-3 m . 5·10^-2 m; dokładność pomiaru do 5·10^-5 m.

Przedstawiona na rys.2 suwmiarka składa się z dwóch elementów z podziałkami. Jeden z nich z główną podziałką milimetrową (a także często calo- wą) jest nieruchomy, drugi z podziałką tzw. noniusza jest ruchomy. Oba zakończone są prostopadłymi szczękami, przy czym szczęki noniusza są ruchome.

Mniejsze szczęki służą do pomiarów wewnętrznych, np. średnic otworów. Dodatkowo w niektórych wy- konaniach ruchomy element wyposażony jest w wy- suwający się ze stopki suwmiarki trzpień. Służy on do pomiarów głębokości otworów a wartość wysuwu odczytywana jest tak samo jak w przypadku wyko- rzystania szczęk.

Przed przystąpieniem do pomiaru należy sprawdzić tzw. zero skali. Przy dokładnie zsuniętych szczę- kach początkowa kreska noniusza powinna dokładnie pokrywać się z zerową kreską skali głównej.

Jeśli tak nie jest to należy określić, która kreska podziałki noniusza jest dokładnie przedłużeniem jed- nej z kresek skali głównej. Odpowiadająca jej wartość (patrz niżej: wykorzystanie noniusza) jest błę- dem zera skali, który musi być uwzględniony w dalszych pomiarach przez wprowadzenie stałej po- prawki.

Mierzony obiekt umieszczamy między szczękami i, zwolniwszy hamulec cierny, dosuwamy ru- chomą szczękę do krawędzi obiektu, pamiętając o nie odkształcaniu przedmiotu!

Odczyt wartości

a) Najpierw należy ustalić dokładność noniusza, tzn. wartość odpowiadającą najmniejszej podziałce noniusza. Jeśli noniusz podzielony jest na 10 części to jest to 0,1 mm, jeśli na 20 (rys.3), to jest to 0,05mm.

b) Z podziałki głównej odczytujemy wartość bezpośrednio przed punktem zerowym noniusza. Będzie to całkowita liczba mm odczytu (14 na rysunku 3, podziałka milimetrowa).

podziałka mm nieruchoma

szczęki duże

noniusz ruchomy skali milimetrowej szczęki małe

Rys. 2 Suwmiarka

c) Na podziałce noniusza znajdujemy kreskę, która jest dokładnie przedłużeniem jednej z kresek po- działki głównej. Jej wartość liczbową (jest to 14 kreska na rysunku 3, górna podziałka) należy pomnożyć przez dokładność noniusza:

(14 kreska××××0.05 mm = 0,70 mm)

d) Wynik ostateczny powstaje przez dodanie tych dwóch wartości:

(14 mm + 0,70 mm = 14,70 mm)

Maksymalna dokładność pomiaru: odpowiednik 1 podziałki noniusza (0,1 lub 0,05 mm)

Śruba mikrometryczna.

Przeznaczenie: pomiar obiektów o rozmiarach 1·10^-5 m ÷ 1·10^-2 m; dokładność do 0,01 mm = 1·10^-5 m.

Przez obrót bębna precyzyjnie wykonana śruba przesuwa ruchome wrzeciono w kierunku nieru- chomego kowadełka. Mierzony przedmiot umieszczamy pomiędzy kowadełkiem a wrzecionem. Przez obrót bębna pokrętłem sprzęgiełka przesuwamy wrzeciono w kierunku ściany przedmiotu. Bęben wy- posażony jest w sprzęgło cierne, który ogranicza siłę docisku powierzchni przyrządu do przedmiotu i dodatkowo zapobiega uszkodzeniom samej śruby. Dlatego też bęben należy obracać przy pomocy umieszczonej na końcu pokrętki sprzęgiełka.

kowadełko wrzeciono tuleja z podziałką

bęben z podziałką

zacisk wrzeciona pokrętka sprzęgiełka

Rys. 4 Elementy śruby mikrometrycznej Rys. 3 Przykładowy widok skali suwmiarki podczas pomiaru

skala noniusza

odczyt: 14 kresek = 0,70 mm skala liniowa

podziałki głównej odczyt: 14 kresek

= 14 mm

m

Przyrząd wyposażony jest w dwie skale: liniową na tulei wrzeciona i obrotową na bębnie. Jeden pełen obrót bębna odpowiada przesunięciu o 0,5mm i wówczas krawędź bębna odsłania kolejną dział- kę na nieruchomej skali wrzeciona (kreski podziałki umieszczone są naprzemianlegle, co 0,5 mm).

Skala na bębnie podzielona jest na 50 części, co daje 0,01 mm na elementarną działkę tej skali.

Przed przystąpieniem do pomiaru należy sprawdzić zero skali. Przy dokładnie przylegających powierzchniach wrzecio- na i kowadełka (posługujemy się wyłącz- nie pokrętką sprzęgła!) zerowa kreska bębna powinna dokładnie pokrywać się z linią środkową (wzdłuż osi śruby) po- działki nieruchomej. Jeśli tak nie jest to należy określić wartość błędu zera skali, który musi być uwzględniony w dalszych pomiarach przez wprowadzenie stałej poprawki.

Aby prawidłowo odczytać wartości nale- ży (patrz rys. 5.):

a) Policzyć liczbę odsłoniętych przez krawędź bębna kresek nieruchomej skali liniowej (19 kresek na rysunku). Odsłonięcie jednej kreski odpowiada pełnemu obrotowi bębna co oznacza przesuw o 0,5 mm. Tak więc odczyt będzie:

19 kresek ×××× 0,5mm = 9,5mm.

Jest to pierwszy składnik ostatecznego wyniku.

b) Określić, która kreska podziałki bębna pokrywa się z linią środkową na tulei wrzeciona (15 na ry- sunku). Jedna kreska tej podziałki odpowiada przesuwowi o 0,01mm, a zatem odczyt wartości da- je: 15 kresek ×××× 0,01 mm = 0,15 mm

i jest to drugi składnik ostatecznego wyniku.

c) Dodać te dwie wartości:

9,5 mm + 0,15 mm = 9,65 mm.

Jest to końcowy wynik odczytu.

Maksymalna dokładność pomiaru: najczęściej 0,01 mm

Przeprowadzenie pomiarów

1. Wyznacz masę prostopadłościanu i walca za pomocą wagi elektronicznej i klasycznej wagi labora- toryjnej szalkowej. Zapisz wyniki pomiarów oraz niepewności wyznaczenia masy.

Tabela 1 Rodzaj wagi ×10⁻³kg ×10⁻³kg ∆m ×10⁻³kg ∆dm ×10⁻³kg

waga elektroniczna 0,05

waga laboratoryjna

Niepewność wyznaczenia masy ∆m wagą elektroniczną przyjmij 0,05g.

Niepewność wyznaczenia masy wagą laboratoryjną oszacuj przez ustalenie najmniejszej masy od- ważnika powodującej zauważalne wychylenie wskazówki nieobciążonej wagi po położeniu tej ma-

skala liniowa tulei wrzeciona odczyt: 19 kresek = 9,5 mm

skala obrotowa bębna odczyt: 15 kresek = 0,15 mm

Rys. 5 Odczyt wartości ze skal śruby mikrometrycznej

m

sy na szalce wagi.

2. Zmierz suwmiarką średnice D i d walca (zewnętrzną i wewnętrzną) oraz wysokość h walca. Dla prostopadłościanu wysokość c zmierz suwmiarką, a rozmiary jego poprzecznego przekroju a i b śrubą mikrometryczną. Wyniki zapisz w tabelach

prostopadłościan Tabela 2

Lp a

m 10⁻³

×

a m 10⁻³

×

b m 10⁻³

×

b m 10⁻³

×

c m 10⁻³

×

c m 10⁻³

× 1

2 3

∆da = ∆db = 0,01×10^-3 m; ∆dc = 0,05×10^-3 m

walec Tabela 3

Lp D

m 10⁻³

×

D m 10⁻³

×

d m 10⁻³

×

d m 10⁻³

×

h m 10⁻³

×

h m 10⁻³

× 1

2 3

∆_dD = ∆_dd = ∆_dh = 0,05×10^-3 m

Symbol d przy znaku ∆ oznacza niepewność wzorcowania ∆_dx równą wartości działki elementarnej stosowanego przyrządu (suwmiarki , śruby mikrometrycznej).

VI. Opracowanie

1. Oblicz gęstość ρ substancji (metalu), z których wykonano prostopadłościan i wydrążony walec.

Wstaw zmierzone dla prostopadłościanu wartości m, a, b i c do wzoru (4), a zmierzone dla walca wartości m, D, d i h do wzoru (5).

2. Niepewności standardowe złożone ∆ρ = uc(ρ) dla prostopadłościanu i walca wydrążonego wyzna- cza się wykorzystując wzór (12) (Uzupełnienie Ocena niepewności pomiarów str. 10).

W naszym przypadku y = ρ , K = 4, a niepewności standardowe typu B mają oznaczenia:

dla prostopadłościanu: u(x1) = u(m) = ∆m, u(x2) = u(a) = ∆a, u(x3) = u(b) = ∆b, u(x4) = u(c) = ∆c.

dla walca wydrążonego: u(x1) = u(m) = ∆m, u(x2) = u(h) = ∆h, u(x3) = u(D) = ∆D, u(x4) = u(d) = ∆d.

Dla tych oznaczeń stosowne wzory na niepewności standardowe złożone mają postać (wyprowa- dzenie w Uzupełnieniu str. 12):

dla prostopadłościanu:

2 2

2 2

c c

c b

b m

) m (

u 



 

 + ∆



 

 + ∆



 

 + ∆



 

 ρ  ∆

= ρ

∆

=

ρ a

a (6)

dla walca wydrążonego:

2 2 2 2 2 2 2 2

c D d

d d 2 d

D D D 2 h

h m

) m (

u 



 





− + ∆



 





− + ∆



 

 + ∆



 

 ρ  ∆

= ρ

∆

=

ρ . (7)

Dla masy wyznaczonej wagą elektroniczną niepewność standardowa typu B wynosi u(m) = ∆m = 0,05×10^-3 kg

Dla masy wyznaczonej wagą laboratoryjną szalkową niepewność standardowa typu B wynosi u(m) = ∆m =

3

dm

∆

Niepewności pomiarowe mierzone suwmiarką i śrubą mikrometryczną są niepewnościami wzor- cowania ∆_dx równymi wartości działki elementarnej stosowanego przyrządu:

∆a = ∆b = 3

da

∆ = 5,8×10^-6 m, ∆c = 3

dc

∆ = 2,9×10^-5 m,

∆D = ∆d = ∆h = 3

dd

∆ = 2,9×10^-5 m.

Oblicz wartości niepewności standardowych złożonych wg wzorów (6) i (7) dla prostopadłościanu i walca.

3. Zapisz wynik gęstości wraz z niepewnością dla każdego ciała wg jednej z zalecanych zasad (patrz Uzupełnienie Ocena niepewności pomiarów, tabela 4 str. 11):

ρ , uc(ρ) lub ρ(uc(ρ))kg/m³.

Liczbę cyfr znaczących wyniku dobieramy tak, aby ostatnia cyfra rezultatu (tu gęstości) i niepew- ności należały do tego samego rzędu. Niepewność podajemy z dokładnością do dwóch cyfr zna- czących (informacja o cyfrach znaczących i zaokrąglaniu wyników w Uzupełnieniu Zapis wyni- ków i Zaokrąglanie wyników, str, 7).

4. Na podstawie uzyskanych wyników doświadczalnych gęstości i tablic fizycznych spróbuj zidenty- fikować te materiały.

Uzupełnienie I. Zapis wyników

Zapis pomiarów i obliczonych wyników należy podawać w takiej postaci, która uwidacznia od razu stopień ich dokładności. O dokładności zapisu danej liczby świadczy ilość zawartych w nim miejsc znaczących. Miejscem znaczącym (lub cyfrą znaczącą) w zapisie dziesiętnym danej liczby są wszystkie jej cyfry bez początkowych zer. Zero jest cyfrą znaczącą tylko w przypadku, gdy znajduje się między dwoma cyframi nie będącymi zerami lub na dowolnym miejscu po cyfrze nie będącej ze- rem ale zawartej w liczbie z przecinkiem.

Przykłady:

1. 175 ma 3 cyfry znaczące, 2. 207 ma 3 cyfry znaczące, 3. 207,05 ma 5 cyfr znaczących 4. 20,025 ma 5 cyfr znaczących, 5. 0,00430 ma 3 cyfry znaczące,

W liczbach całkowitych, (czyli mających tylko część całkowitą, bez dziesiętnej) status zer koń- cowych określony jest przez znaczenie liczby. Można to zmienić zapisując je w jednej z postaci wy- kładniczych. Wtedy liczba przedstawiona jest, jako iloczyn liczby z częścią dziesiętną (i cyframi po przecinku dziesiętnym) i całkowitej potęgi liczby dziesięć. Wtedy ostatnia cyfra po przecinku jest ostatnią cyfrą znaczącą.

Przykłady:

1. 1200 ma 2 cyfry znaczące, jeżeli nie ma zastrzeżenia, że ostatnie dwa zera są znaczące.

2. 12,00·10² lub 1,200·10³ ma 4 cyfry znaczące; w zapisie tym zaznaczono, że dwa ostatnie zera liczby 1200 są znaczące.

Ogólna reguła zapisywania wyników jest więc następująca:

Jeśli wynik jest liczbą z przecinkiem, ostatnia jego cyfra po przecinku jest jeszcze miejscem zna- czącym, niezależnie od tego, czy jest zerem. Zer będących miejscami znaczącymi nie należy opusz- czać.

Jeśli wynik jest liczbą bez przecinka, ostatnia jego cyfra, o ile nie jest zerem, przedstawia miejsce znaczące. W przypadku gdy ostatnia cyfra jest zerem, należy wynik przedstawić jako liczbę z prze- cinkiem położonym bądź po ostatniej cyfrze nie będącej zerem, bądź też lepiej po pierwszej cyfrze i do otrzymanej w ten sposób liczby dopisać ze znakiem mnożenia 10 z odpowiednim wykładnikiem potęgowym.

II. Zaokrąglanie wyników

Obowiązuje następująca ogólna zasada zaokrąglania liczb przez skreślenie dalszych miejsc dzie- siętnych.

a) Ostatnia cyfra powstała po opuszczeniu cyfr końcowych nie ulega zmianie, jeżeli następująca po niej cyfra jest mniejsza od 5.

b) Ostatnią cyfrę powiększa się o 1, jeżeli następująca po niej cyfra opuszczona jest większa od 5 lub wynosi 5 i następują po niej cyfry, z których przynajmniej jedna jest większa od 0.

c) Jeżeli pierwsza cyfra, którą się opuszcza, jest 5 i następują po niej cyfry będące wyłącznie zerami, ostatnia cyfra zaokrąglanego wyniku powinna być parzysta.

Przykłady:

1. 235,4 zaokrąglone do 3 cyfr znaczących daje 235 2. 235,7 zaokrąglone do 3 cyfr znaczących daje 236

3. 237,50 zaokrąglone do 3 cyfr znaczących daje 238 (7 była cyfrą nieparzystą)

III. Ocena niepewności pomiarów

l. Wprowadzenie

W roku 1995, po wielu latach pracy, uzgodniono międzynarodowe normy dotyczące niepewności w pomiarach. Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) opublikowała odpowiedni „Prze- wodnik"[1]. Po dokonaniu przekładu na język polski [3] i przyjęciu odpowiedniej ustawy, do podjęcia której zobowiązują Polskę umowy międzynarodowe, stosowanie norm ISO w zakresie obliczania i podawania w publikacjach niepewności pomiarów stanie się obowiązkiem podobnym do obowiązku stosowania układu SI.

Oto niektóre definicje ogólnych terminów metrologicznych:

Błąd pomiaru −−−− różnica między wynikiem pomiaru a wartością wielkości mierzonej (wartością praw- dziwą). Bywa też nazywany błędem bezwzględnym pomiaru.

Błąd względny −−−− stosunek błędu pomiaru do wartości wielkości mierzonej.

Błąd przypadkowy −−−− różnica między wynikiem pomiaru a średnią arytmetyczną nieskończonej licz- by wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalno- ści. Błąd przypadkowy jest wynikiem nieprzewidywalnych czasowych lub przestrzennych zmian czynników przypadkowych wpływających na pomiar; daje on przyczynek zwiększający rozrzut wyników.

Błąd systematyczny −−−− różnica między średnią arytmetyczną nieskończonej liczby pomiarów tej sa- mej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności, a wartością wielkości mie- rzonej. Błąd systematyczny jest również wynikiem czasowych lub przestrzennych zmian czyn- ników wpływających na pomiar, ale te czynniki można rozpoznać. Obowiązkiem eksperymenta- tora jest wprowadzenie poprawki kompensującej błąd systematyczny. Zatem prawdziwy błąd systematyczny wynika z nieidealności przyrządów pomiarowych i/lub mierzonych obiektów.

Przewodnik uważa go za zjawisko losowe, gdyż nie znamy a priori jego wielkości i znaku, tak samo jak w przypadku błędu przypadkowego. Można mu przypisać rozkład prawdopodobień- stwa − co jest zasadniczą nowością.

Niepewność pomiaru −−−− parametr związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, który można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej

2. Wyrażanie niepewności pomiaru −−−− nowe normy międzynarodowe

Pierwszą rzeczą podlegającą unormowaniu jest terminologia. Stosowane są następujące terminy o nowym znaczeniu:

1. ocena niepewności metodą typu A oparta na metodzie określania niepewności pomiaru drogą ana- lizy statystycznej serii wyników pomiarów;

2. ocena niepewności metodą typu B obliczana na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa przyję- tego przez eksperymentatora (prawdopodobieństwa subiektywnego);

3. niepewność standardowa wyniku pomiaru bezpośredniego wielkości X. Ważną nowością jest symbol niepewności standardowej, u (uncertainty), którego możemy używać na trzy sposoby: u, u(x), u(stężenie NaCl). Przewodnik nie wprowadził osobnego symbolu dla pojęcia niepewności względnej. Zgodnym z logiką symbolem jest ur (indeks r od ang. relative) zalecony do użytku w USA przez National Institute of Standards and Technology. Niepewność standardowa jest jedyną, uznaną przez Przewodnik, miarą niepewności;

4. złożona niepewność standardowa uc(y) (combined standard uncertainty) jest niepewnością wyni- ków pomiarów pośrednich y = f(x1, x2, x3,..., xk....xK), gdzie symbole x1, x2, x3,..., xk,...xK ozna- czają K wielkości mierzonych bezpośrednio. Jest ona obliczana (wyznaczana) z prawa przenosze- nia niepewności pomiaru;

5. niepewność rozszerzona U albo U(y) (expanded uncertainty), która jest miarą pewnego „przedziału ufności" otaczającego wynik pomiaru pośredniego. Oczekuje się, że w przedziale tym jest zawarta duża

część wartości, które w rozsądny sposób można przypisać wielkości mierzonej. Wartość U oblicza się podobnie jak granice przedziału ufności w metodach statystycznych, mnożąc złożoną niepewność stan- dardową przez bezwymiarowy współczynnik rozszerzenia k.

6. współczynnik rozszerzenia k (coverage factor), który jest mnożnikiem złożonej niepewności standar- dowej, stosowanym w celu uzyskania niepewności rozszerzonej.

3. Obliczanie niepewności pomiarów bezpośrednich

Wielkość X mierzoną bezpośrednio traktujemy jako zmienną losową. Wykonywanie pomiarów bez- pośrednich jest odpowiednikiem losowania n−elementowej próbki {x1, x2, ....xn} z nieskończenie licz- nej populacji, którą stanowią wszystkie możliwe do wykonania pomiary. Zakładamy z reguły, że po- pulacja generalna ma rozkład normalny N(µ,σ ), gdzie µ oznacza wartość oczekiwaną, a σ - odchyle- nie standardowe. Za wynik pomiaru przyjmuje się wartość liczbową estymatora wartości oczekiwanej, czyli w praktyce średnią arytmetyczną wyników pomiarów

∑

=

= ⁿ

1 i

xi

n

x 1 . (8)

Niepewność standardowa: ocena metodą typu A

Niepewnością standardową wyniku x pomiaru wielkości X nazywamy odchylenie standardowe eks- perymentalne średniej arytmetycznej, które oblicza się ze wzoru:

( )

∑

=

− −

= ⁿ

1 i

x 2

) x 1 n ( n ) 1 x (

u . (9)

Niepewność standardowa: ocena metodą typu B

Niepewność standardową szacuje się metodą typu B w przypadku, gdy dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru albo gdy wyniki nie wykazują rozrzutu. Wówczas niepewność standardową ocenia się na podstawie wiedzy o danej wielkości lub o przedziale, w którym wartość rzeczywista powinna się mieścić. W przypadku wyników nie wykazujących rozrzutu przyczynkami niepewności pomiarów są:

a) niepewność wzorcowania ∆_dx równa wartości działki elementarnej stosowanego miernika. Przyj- muje się, że wartość ∆_dx jest równa połowie szerokości rozkładu jednostajnego a niepewność standardowa wynosi

3 ) x x (

u = ∆^d (estymator odchylenia standardowego w rozkładzie jednostaj- nym);

b) niepewność eksperymentatora ∆ spowodowana przyczynami znanymi eksperymentatorowi, _ex ale od niego niezależnymi. Eksperymentator korzysta ze swego doświadczenia i wiedzy w celu określenia niepewności ∆ oraz wynikającej stąd niepewności standardowej. Często niepewność _ex standardowa eksperymentatora jest szacowana również na podstawie rozkładu jednostajnego; wte-

dy 3

) x x (

u = ∆^e

c) niepewność tablicowa ∆ . Niepewnościami obarczone są również wyniki zaczerpnięte z literatu-_tx ry, tablic matematycznych lub kalkulatora. Jeśli nie jest podana wartość odchylenia standardowego eksperymentalnego (jeśli jest podana, wtedy niepewność u(x) jest równa temu odchyleniu) i brak jest jakiejkolwiek informacji o niepewności przyjmujemy, że niepewność ∆ jest równa 10 jed-_tx nostkom miejsca rozwinięcia dziesiętnego o najmniejszej wartości. Niepewność standardową obli- czamy wtedy ze wzoru

3 ) x x (

u ∆^t

= .

Jeśli uwzględnić wszystkie trzy wymienione wyżej niepewności, to niepewność standardowa wy- razi się wzorem

( ) ( ) ( )

3 x 3

x 3

) x x ( u

2 t 2 e 2

d + ∆ + ∆

= ∆ (10)

Jeśli obydwa typy niepewności A i B występują równocześnie, to należy posłużyć się następują- cym wzorem na niepewność standardową (całkowitą):

( )

3 ) x ( 3

) x ( 3

) x x (

) x 1 n ( n ) 1 x ( u ) x ( u ) x ( u

2 t 2 e 2 2 d

2 B 2

A

+ ∆ + ∆

+ ∆

− −

= +

=

∑

⁽¹¹⁾

4. Obliczanie niepewności pomiarów pośrednich

Najczęściej wykonuje się pomiary pośrednie i oblicza (wyznacza) wielkość mierzoną y, korzysta- jąc ze związku funkcyjnego

y= f(x₁, x₂, x_3,..., x_k...x_K)

gdzie symbole x₁, x₂, x_3,..., x_k...x_K oznaczają K wielkości mierzonych bezpośrednio. Zakłada się, że znane są wyniki pomiarów x₁,x₂,x₃,...x_k,...x_K tych wielkości oraz ich niepewności standardo- we u(x1), u(x2), u(x3),.... u(xk), .... u(xK). Wynik (końcowy) pomiaru oblicza się ze wzoru

(

^x₁^,x₂^,x₃^,...x_k^,...x_K

)

f

y = .

Przy obliczaniu niepewności standardowej pomiaru pośredniego należy rozróżnić nieskorelowane i skorelowane pomiary wielkości mierzonych bezpośrednio. W pomiarach nieskorelowanych (chodzi tu o korelację między wielkościami mierzonymi, której miarą są współczynniki korelacji) każdą wiel- kość mierzy się w innym, niezależnym doświadczeniu. Złożoną niepewność standardową u^c(y) po- średnich pomiarów nieskorelowanych oblicza się ze wzoru

∑

= 

 





∂

= ^K ∂

1 k

k 2 2

k

c u (x )

x ) f

y (

u (12)

Pomiary należy uznać za skorelowane zawsze wtedy, gdy dane wielkości są mierzone bezpo- średnio za pomocą jednego zestawu doświadczalnego, w jednym doświadczeniu. W praktyce oznacza to, że wszystkie pomiary elektryczne wykonywane w laboratoriach studenckich są pomiarami skore- lowanymi. Z uwagi na bardzo skomplikowane obliczenie złożonej niepewności standardowej wielko- ści mierzonej pośrednio o skorelowanych wielkościach wejściowych (mierzonych bezpośrednio) w pracowniach studenckich wygodniej jest postępować następująco. Wyniki yi oblicza się korzystając z kompletu wyników pomiarów bezpośrednich K wielkości x_k,i uzyskanych w i. pomiarze. Seria wy- ników yi, uzyskanych w n pomiarach, stanowi próbkę podobnie jak w pomiarach bezpośrednich.

Przyjmuje się, że wynikiem pomiaru pośredniego jest y a złożona niepewność standardowa wyniku wynosi

( )

∑

=

− −

= ⁿ

1 i

2 i

c y y

) 1 n ( n ) 1 y (

u (13)

5. Zapisywanie wyników

Przewodnik przyjmuje zasadę raportowania niepewności z dokładnością do dwu cyfr. Spośród dwu sposobów skrótowego zapisu wartości mierzonej i niepewności, utrwala się zasada, by zapis z uży-

ciem symbolu "±" stosować wyłącznie do niepewności rozszerzonej i innych przedziałów o wysokim poziomie ufności, natomiast zapis z użyciem nawiasów do niepewności standardowej. Przewodnik zaleca przedstawiać wyniki w taki sposób, by ich użytkownik miał możliwość powtórzenia obliczeń, a nawet pomiarów. Wyniki zaokrąglić według reguł dotychczas stosowanych i zapisać w jeden ze spo- sobów podanych w Tabeli 4.

Tabela 4. Najważniejsze elementy Międzynarodowej Normy Oceny Niepewności Pomiaru

5. Niepewność rozszerzona

Dla celów komercyjnych, przemysłowych, zdrowia i bezpieczeństwa zachodzi konieczność podania miary niepewności, która określa przedział otaczający wynik pomiaru zawierający dużą, z góry określoną, część wyników, jakie można przypisać wielkości mierzonej. Niepewność spełniającą powyższy warunek nazywa się niepewnością rozszerzoną i oznacza symbolem U(y) lub U. Definiuje się ją wzorem U(y) = k u^c(y), gdzie k nazywa się współczynnikiem rozszerzenia. Jest to umownie przyjęta liczba, wybrana tak, by w przedziale y ± U(y) znalazła się większość wyników pomiaru potrzebna do danych zastosowań, na przy- kład na I Pracowni do wnioskowania o zgodności z wartością tabelaryczną. W Przewodniku stwierdza się, że wartość k wynosi najczęściej 2.

Wielkość Symbol i sposób obliczania

Niepewność standardowa:

Ocena typu A

Statystyczna analiza serii pomiarów, w tym u(x) dla seri n rów-

noważnych pomiarów

∑ ( )

=

− −

= ⁿ

1 i

2

i x

) x 1 n ( n ) 1 x (

u ,

u(a), u(b) parametrów regresji prostej itp.

Niepewność standardowa:

Ocena typu B

Naukowy osąd eksperymentatora, 3

) x x (

u = ∆ (gdy znana jest niepewność ∆x; wzorcowania ∆dx, eksperymentatora ∆ex, odczytu z tablic czy kalkulatora∆dx Złożona niepewność standardowa

∑

= 

 





∂

= ^K ∂

1 k

k 2 2

k

c u (x )

x ) f

y (

u (dla nieskorelowanych xk)

K – liczba wielkości mierzonych bezposrednio Współczynnik rozszerzenia 2≤k≤3

Niepewność rozszerzenia U(y) = ku_c(y)

Zalecany zapis niepewności Standardowa g = 9,781 m/s², u_c(g) = 0,076 m/s² g = 9,781(76) m/s²

rozszerzona g = 9,78 m/s², U(g) = 0,15 m/s² g = (9,78 ± 0,15) m/s²

(zasada podawania dwóch cyfr znaczących niepewności)

IV. Złożona niepewność standardowa u

c

(ρ ρρρ) pośrednich pomiarów nieskorelowa- nych dla przypadku pomiarów gęstości substancji − −−− wzory (4) i (5)

Wyprowadzimy wzory na niepewność standardową uc(ρ) dla pomiarów gęstości substancji w formie brył: prostopadłościanu i walca wydrążonego wykorzystując ogólną zależność (12).

Prostopadłościan

Gęstość w przypadku prostopadłościanu obliczamy z zależności:

bc m

= a ρ

Gęstość jest funkcją zmiennych m, a, b, c. Znajdujemy kolejno pochodne (cząstkowe) gęstości ρ ze względu na te zmienne. Mamy więc:

m m m bc 1 bc 1 bc

m m

= ρ

=

=

′



 



=

∂ ρ

∂

a a

a ;

a a a a

a a

−ρ

=

−

=



 

 −

=

′



 



=

∂ ρ

∂ 1

bc m 1

bc m bc

m

2 ;

b b 1 bc m b

1 c m bc

m

b ²

−ρ

=

−

=



 

 −

=

′



 



=

∂ ρ

∂

a a

a ;

c c 1 bc m c

1 b m bc

m

c ²

−ρ

=

−

=



 

 −

=

′



 



=

∂ ρ

∂

a a

a

Podstawiając do wzoru (12) (str.10) otrzymamy

( )

^{2 2 2 2 2 2 2 2}

c ( c)

) c b b ( (

) m m (

u  ∆



 

 + ρ

 ∆



 

 + ρ

 ∆



 

 + ρ

 ∆



 



=  ρ ρ

∆

=

ρ a)

a

Ostatecznie po wyłączeniu ρ przed pierwiastek zależność na niepewność standardową przyjmie po- stać:

2 2

2 2

c c

c b

b m

) m (

u 



 

 + ∆



 

 + ∆



 

 + ∆



 

 ρ  ∆

= ρ

∆

=

ρ a

a

Walec wydrążony

Gęstość w przypadku walca wydrążonego obliczamy z zależności:

) d D ( h

m 4

2 2 −

= π ρ

Gęstość jest w tym przypadku funkcją zmiennych m, h, D, d. Znajdujemy kolejno pochodne (cząst- kowe) gęstości ρ ze względu na te zmienne. Mamy więc:

(

^{D d}

)

^h

(

^{D4 d}

)

^h

(

^{D4 d}

)

^{mm m}

h m 4

m ^{2 2 2 2 2 2}

= ρ

−

= π

−

= π

′



 





−

= π

∂ ρ

∂

(

^{D d}

) (

^D4md

)

^{h1 h}

(

^{D4m d}

)

^{1h h}

h m 4

h ^{2 2 2 2 2 2 2}

−ρ

=



 

 −

−

= π



 

 −

−

= π

′



 





−

= π

∂ ρ

∂

(

^{2 2}

) (

D² d²

)

^{2 h}

(

^{D42m d2}

) (

^D22Dd2

) (

^D22Dd2

)

D 2 h

m 4 d

D h

m 4

D =−ρ −



 





− −

−

= π













− −

= π

′



 





−

= π

∂ ρ

∂

(

^{2 2}

) (

D² d²

)

^{2 h}

(

^{D42m d2}

) (

^D22dd2

) (

^D22dd2

)

d 2 h

m 4 d

D h

m 4

d =ρ −

 





−

−

= π











 π −

=

′



 





−

= π

∂ ρ

∂

Podstawiając do wzoru (12) (str.10) otrzymamy

( ) ( ) ( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

²

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

c d

d D

d D 2

d D

D h 2

m h ) m

(

u  ∆

 





− + ρ

 ∆



 





− + ρ

 ∆



 

 + ρ

 ∆



 



=  ρ ρ

∆

= ρ

Ostatecznie po wyłączeniu ρ przed pierwiastek zależność na niepewność standardową przyjmie po- stać:

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

2

c D d

d d 2 d

D D D 2 h

h m

) m (

u 

 





− + ∆



 





− + ∆



 

 + ∆



 

 ρ  ∆

= ρ

∆

= ρ