Miejsce na naklejk Ċ

Miejsce na naklejk Ċ

MFA-R1_1P-082

EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII

POZIOM ROZSZERZONY

Czas pracy 150 minut

Instrukcja dla zdającego

1. SprawdĨ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron (zadania 1 –5). Ewentualny brak zgáoĞ przewodniczącemu zespoáu nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania i odpowiedzi zapisz w miejscu na to przeznaczonym przy kaĪdym zadaniu.

3. W rozwiązaniach zadaĔ rachunkowych przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku oraz pamiĊtaj o jednostkach.

4. Pisz czytelnie. UĪywaj dáugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.

5. Nie uĪywaj korektora, a báĊdne zapisy wyraĨnie przekreĞl.

6. PamiĊtaj, Īe zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.

7. Podczas egzaminu moĪesz korzystaü z karty wybranych wzorów i staáych fizycznych, linijki oraz kalkulatora.

8. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datĊ urodzenia i PESEL.

Nie wpisuj Īadnych znaków w czĊĞci przeznaczonej dla egzaminatora.

ĩyczymy powodzenia!

MAJ ROK 2008

Za rozwiązanie wszystkich zadaĔ

moĪna otrzymaü áącznie 60 punktów

Wypeánia zdający przed rozpoczĊciem pracy

PESEL ZDAJĄCEGO KOD

ZDAJĄCEGO

Rozwiązanie zadaĔ naleĪy zapisaü w wyznaczonych miejscach pod treĞcią zadania.

Zadanie 1. Beczka (12 pkt)

Do hurtowni chemicznej przywieziono transport blaszanych beczek z gipsem. W celu wyáadowania beczek z samochodu poáoĪono pochylniĊ, tworząc w ten sposób równiĊ pochyáą. WysokoĞü, z jakiej beczki staczaáy siĊ swobodnie bez poĞlizgu wynosiáa 100 cm.

Beczki byáy ĞciĞle wypeánione gipsem, który nie mógá siĊ przemieszczaü, i miaáy ksztaát walca o Ğrednicy 40 cm. Masa gipsu wynosiáa 100 kg.

W obliczeniach przyjmij wartoĞü przyspieszenia ziemskiego równą 10 m/s², a beczkĊ potraktuj jak jednorodny walec. MasĊ blachy, z której wykonano beczkĊ pomiĔ.

Moment bezwáadnoĞci walca, obracającego siĊ wokóá osi prostopadáej do podstawy walca i przechodzącej przez jej Ğrodek, jest równy ²

2 1mr I .

Zadanie 1.1 (2 pkt)

Uzupeánij rysunek o pozostaáe siáy dziaáające na beczkĊ podczas jej swobodnego staczania.

Zapisz ich nazwy.

Zadanie 1.2 (2 pkt)

Oblicz wartoĞü siáy nacisku beczki na równiĊ podczas staczania, jeĪeli kąt nachylenia pochylni do poziomu wynosi 30^o.

Į = 30^o _Į = 60^o sin _Į 0,50 0,87 cos _Į 0,87 0,50 tg _Į 0,58 1,73

cos

g

F

D F

ⁱ F

˜ m g

ctg _Į 1,73 0,58

Si áa nacisku F

˜ ˜ m g cos D

2

100kg 10 m 0,87

˜ s ˜ F

870 N

| F

R G

áa reakcji G

F

áa tarcia

F_g

JG R

F

JJG

Zadanie 1.3 (4 pkt)

WykaĪ, Īe wartoĞü prĊdkoĞci liniowej beczki po stoczeniu siĊ z pochylni jest równa 3,65 m s .

2 2

2 2

˜ ˜

˜ ˜ ^I Z  ^m X

m g h gdzie: X Z ˜ oraz r ¹

I 2 mr Zatem po podstawieniu:

2 2 2

4 2

m r m

m g h ˜ ˜ ˜ Z  ˜ X 3

˜ X 4 g h 2 3

X ^{g h} ˜

10m/s 1m

2 3

X ^˜ X ^3,65m/s

Zadanie 1.4 (2 pkt)

Oblicz, korzystając ze związku pomiĊdzy energią i pracą, zasiĊg toczenia siĊ beczki po poziomej trawiastej powierzchni. Przyjmij, Īe podczas toczenia siĊ beczki po trawie dziaáa na nią staáa siáa oporu o wartoĞci 50 N, a wartoĞü prĊdkoĞci liniowej beczki po stoczeniu siĊ z pochylni jest równa 3,65 m

s .

˜ ˜ ˜

F s m g h , gdzie F oznacza si áĊ oporu Zatem:

˜ ˜ m g h

s F

100kg 10m/s 1m

50N

˜ ˜

s ĺ s 20 m

Zadanie 1.5 (2 pkt)

WykaĪ, Īe zmiana zawartoĞci beczki z gipsu na cement (o innej niĪ gips masie), równieĪ ĞciĞle wypeániający beczkĊ, nie spowoduje zmiany wartoĞci przyspieszenia kątowego, z jakim obraca siĊ beczka wokóá osi prostopadáej do podstawy beczki i przechodzącej przez jej Ğrodek.

Moment si áy M G

jest funkcj ą ciĊĪaru beczki i jest wprost proporcjonalny do masy (M ~ m).

Moment bezw áadnoĞci walca I jest wprost proporcjonalny do masy (I ~ m).

Poniewa Ī M

H I zatem warto Ğü przyspieszenia kątowego H ^{nie zale} Īy od masy.

Nr zadania 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Maks. liczba pkt 2 2 4 2 2

Wypeánia

Zadanie 2. Temperatura odczuwalna (12 pkt)

Przebywanie w mroĨne dni na otwartej przestrzeni moĪe powodowaü szybką utratĊ ciepáa z organizmu, szczególnie z nieosáoniĊtych czĊĞci ciaáa. JeĪeli dodatkowo wieje wiatr, wycháodzenie nastĊpuje szybciej, tak jak gdyby panowaáa niĪsza niĪ w rzeczywistoĞci temperatura, zwana dalej temperaturą odczuwalną. W poniĪszej tabeli przedstawiono wartoĞci rzeczywistych oraz odczuwalnych temperatur dla róĪnych wartoĞci prĊdkoĞci wiatru.

PrĊdkoĞü wiatru

w km/h Rzeczywista temperatura w ^oC

– 10 – 15 – 20 – 25 – 30 – 35 – 40 – 45 Temperatura odczuwalna w ^oC

10 – 15 – 20 – 25 – 30 – 35 – 40 – 45 – 50 20 – 20 – 25 – 35 – 40 – 45 – 50 – 55 – 60 30 – 25 – 30 – 40 – 45 – 50 – 60 – 65 – 70 40 – 30 – 35 – 45 – 50 – 60 – 65 – 70 – 75 50 – 35 – 40 – 50 – 55 – 65 – 70 – 75 – 80

Na podstawie: http://www.if.pw.edu.pl/~meteo/meteoopis.htm oraz www.r-p-r.co.uk

Zadanie 2.1 (1 pkt)

Odczytaj z tabeli i zapisz, jaką temperaturĊ bĊdą odczuwaü w bezwietrzny dzieĔ uczestniczy kuligu jadącego z prĊdkoĞcią o wartoĞci 20 km/h (co jest równowaĪne wiatrowi wiejącemu z prĊdkoĞcią o wartoĞci 20 km/h), jeĪeli rzeczywista temperatura powietrza wynosi ^– 15^oC.

W opisanej sytuacji temperatura odczuwalna wynosi – 25

C.

Informacja do zadania 2.2 i 2.3

Za niebezpieczną temperaturĊ dla odkrytych czĊĞci ludzkiego ciaáa uwaĪa siĊ temperaturĊ odczuwalną równą ^–60^oC i niĪszą.

Zadanie 2.2 (2 pkt)

Podaj, przy jakich wartoĞciach prĊdkoĞci wiatru rzeczywista temperatura powietrza równa –30^oC jest niebezpieczna dla odkrytych czĊĞci ciaáa stojącego czáowieka.

W sytuacji opisanej w zadaniu temperatura powietrza b Ċdzie niebezpieczna dla odkrytych cz ĊĞci ludzkiego ciaáa przy prĊdkoĞci wiatru wynoszącej 40 km/h lub wi Ċcej.

Zadanie 2.3 (2 pkt)

Analizując tabelĊ i ^wykonując oraz zapisując konieczne obliczenia, oszacuj minimalną wartoĞü prĊdkoĞci wiatru w temperaturze rzeczywistej równej ^–40^oC, przy której odczuwalna temperatura zaczyna byü niebezpieczna dla stojącego czáowieka.

Z tabeli wynika, Īe dla temperatury rzeczywistej równej – 40

C temperatura odczuwalna staje si Ċ niebezpieczna dla stojącego czáowieka przy prĊdkoĞciach wiatru o warto Ğci pomiĊdzy 20km/h a 30 km/h. WartoĞü tej prĊdkoĞci moĪna oszacowa ü, np.: 20km/h 30km/h

25km/h

X ^ 2

Zadanie 2.4 (5 pkt)

Naszkicuj w jednym ukáadzie wspóárzĊdnych wykresy zaleĪnoĞci temperatury odczuwalnej od wartoĞci prĊdkoĞci wiatru dla temperatury rzeczywistej ^–15^oC oraz –40^oC. Oznacz oba wykresy.

Zadanie 2.5 (2 pkt)

Przy braku wiatru temperatura odczuwalna moĪe byü nieco wyĪsza niĪ rzeczywista, jeĞli czáowiek nie wykonuje Īadnych ruchów. WyjaĞnij tĊ pozorną sprzecznoĞü. UwzglĊdnij fakt, Īe ludzkie ciaáo emituje ciepáo.

Cia áo ludzkie emituje do otoczenia ciepáo, ogrzewając otaczające czáowieka powietrze.

Je Ğli nie ma wiatru lub czáowiek nie wykonuje Īadnych ruchów temperatura odczuwalna jest wy Īsza niĪ rzeczywista, gdyĪ w bezpoĞrednim otoczeniu cz áowieka temperatura powietrza jest wyĪsza.

Nr zadania 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Maks. liczba pkt 1 2 2 5 2

Wypeánia

to, ^oC

–10 –20 –30 –40 –50 –60 –70 –80

t = – 15^oC

t = – 40^oC

Zadanie 3. Soczewki (12 pkt) Zadanie 3.1 (2 pkt)

Na rysunku poniĪej przedstawiono Ğwiecący przedmiot ^A-B i soczewkĊ skupiającą, której dolną czĊĞü zasáoniĊto nieprzezroczystą przesáoną. Uzupeánij rysunek, rysując bieg promieni pozwalający na peáną konstrukcjĊ obrazu A^’-B^’.

Zadanie 3.2 (4 pkt)

WykaĪ, wykonując odpowiednie obliczenia, Īe przy staáej odlegáoĞci przedmiotu i ekranu l = x + y, speániającej warunek ^l > 4 f, istnieją dwa róĪne poáoĪenia soczewki pozwalające uzyskaü ostre obrazy.

1 1 1

f  oraz l x y x y  ĺ x l y  zatem po podstawieniu:

1 1 1

f l y  y

 ĺ

1 l

f l  ˜ y y Po przekszta áceniu otrzymujĊ:

2

0

y   ˜ ly l f

Równanie kwadratowe ma dwa ró Īne rozwiązania (y

oraz y

) , gdy ' > 0.

2

4

l l f

'  ˜ zatem musi byü speániony warunek ^{l ˜   l 4 f  > 0,}

który sprowadza si Ċ do warunku  ^{l  4 f}  > 0, poniewa Ī zgodnie z treĞcią zadania l > 0.

Zatem l > 4 f

B’

A’

A

B

F F

Informacja do zadania 3.3 i 3.4

ZdolnoĞü skupiającą ukáadu dwóch soczewek umieszczonych obok siebie moĪna dokáadnie obliczaü ze wzoru

(1) Z Z₁Z₂ d˜Z₁˜Z₂ gdzie d – odlegáoĞü miĊdzy soczewkami.

Dla dwóch soczewek poáoĪonych blisko siebie moĪna zastosowaü uproszczony wzór

(2) Z Z₁Z₂

Zadanie 3.3 (2 pkt)

W pewnym doĞwiadczeniu uĪyto dwóch jednakowych soczewek o zdolnoĞciach skupiających równych 20 dioptrii kaĪda i umieszczonych w odlegáoĞci 10 cm od siebie.

WykaĪ, Īe jeĪeli na ukáad soczewek, wzdáuĪ gáównej osi optycznej, skierowano równolegáą wiązkĊ Ğwiatáa, to Ğrednica wiązki po przejĞciu przez ukáad soczewek nie ulegáa zmianie.

1 2 1 2

Z   ˜ ˜ Z Z d Z Z

Po podstawieniu danych liczbowych:

1 1 1 1

20 20 0,1m 20 20 m  m  ˜ m ˜ m Z

0 1

Z m , zatem uk áad soczewek nie zmienia biegu wiązki Ğwiatáa.

Zadanie 3.4 (4 pkt)

Dwie jednakowe soczewki o zdolnoĞciach skupiających 10 dioptrii kaĪda umieszczono w powietrzu w odlegáoĞci 1 cm od siebie.

Oszacuj bezwzglĊdną (ǻZ) i wzglĊdną (ǻZ/Z) róĪnicĊ, jaką uzyskamy, stosując do obliczenia zdolnoĞci skupiającej ukáadu soczewek uproszczony wzór (2) zamiast wzoru (1) w opisanej sytuacji.

Z Z Z c

'  , gdzie Z   ˜ ˜ oraz Z

Z

d Z Z

Z c  Z

Z

1 2 1 2

Z   ˜ ˜ Z Z d Z Z Z c  Z

Z

1 1 1 1

10 10 0,01m 10 10 m  m  ˜ m ˜ m

Z 1 1

10 10

m m

Z c  19 1

Z m

1 20 m Z c Ró Īnica bezwzglĊdna: Ró Īnica wzglĊdna:

1 1

19 20

m m

' Z 

1

1 m

' Z

1 1 m 19 1

m ' Z

Z 1 19 Z

' Z

Nr zadania 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Maks. liczba pkt 2 4 2 4

Wypeánia

Zadanie 4. ĩarówka (12 pkt)

Opór elektryczny wáókna pewnej Īarówki w temperaturze 0^oC wynosi 88,1 ȍ. ĩarówkĊ doáączono do Ĩródáa prądu przemiennego o napiĊciu skutecznym 230 V. Podczas Ğwiecenia przez ĪarówkĊ páynąá prąd o natĊĪeniu skutecznym 261 mA, a opór wáókna Īarówki wskutek wzrostu temperatury wzrósá ^dziesiĊciokrotnie.

Opór elektryczny wáókna zmienia siĊ wraz ze wzrostem temperatury zgodnie z zaleĪnoĞcią

0 1

R R  ˜'D T

Zadanie 4.1 (2 pkt)

Oblicz moc pobieraną przez Ğwiecącą ĪarówkĊ.

sk sk

P U ˜ I

230V 0, 261A ˜ P

| 60W P

Zadanie 4.2 (2 pkt)

Oblicz natĊĪenie skuteczne prądu w Īarówce podczas wáączania zasilania, gdy temperatura wáókna wynosi 0^oC.

sk sk

I U R 230V 88,1 : I

2,61A I

Zadanie 4.3 (2 pkt)

Oblicz przyrost temperatury wáókna Īarówki po wáączeniu Īarówki i rozgrzaniu siĊ wáókna.

0

1  D ˜'

R R T

st ąd

0

'  D ˜

R R

T R

Po wybraniu w áaĞciwych danych i podstawieniu otrzymujĊ:

3 1

881 88,1 5 10 K

881

:  :

' T ˜ ˜ :

1800K ' T

gdzie: R ₀ – opór w temperaturze 0^oC,

Į – temperaturowy wspóáczynnik wzrostu oporu, dla wáókna tej Īarówki jest równy 5·10^-3 K^-1,

ǻ^T – przyrost temperatury wáókna Īarówki.

Zadanie 4.4 (2 pkt)

Do wáókna Ğwiecącej Īarówki zbliĪono biegun ^N silnego magnesu.

Zapisz, jak zachowa siĊ wáókno Īarówki po zbliĪeniu magnesu, gdy Īarówka jest zasilana napiĊciem przemiennym, a jak, gdy jest zasilana napiĊciem staáym.

Gdy do w áókna Ğwiecącej Īarówki, zasilanej napiĊciem przemiennym, zbliĪymy biegun silnego magnesu w áókno bĊdzie drgaü.

Gdy do w áókna Ğwiecącej Īarówki, zasilanej napiĊciem staáym, zbliĪymy biegun silnego magnesu w áókno odchyli siĊ.

Zadanie 4.5 (2 pkt)

Oblicz dáugoĞü drutu wolframowego, z którego wykonano wáókno Īarówki, jeĞli wiadomo, Īe pole powierzchni przekroju poprzecznego drutu wynosi 8·10 ^–11 m², a opór wáaĞciwy wolframu w temperaturze 0^oC jest równy 5_˜10 ^–8 _:˜m.

U l

R S

zatem ˜ U l R S

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymuj Ċ:

11 2 8

881 8 10 m 5 10 m





: ˜ ˜

˜ : ˜ l

0,14m

| l

Zadanie 4.6 (2 pkt)

WyjaĞnij, dlaczego temperaturowy wspóáczynnik wzrostu oporu Į dla metali ma wartoĞü dodatnią, a dla póáprzewodników ma wartoĞü ujemną.

Dla metali, w których wyst Ċpuje gaz elektronowy (duĪa liczba swobodnych elektronów) wzrost temperatury powoduje wzrost drga Ĕ sieci krystalicznej, co utrudnia przep áyw prądu elektrycznego (powoduje zwiĊkszenie oporu elektrycznego).

Dla pó áprzewodników wzrost temperatury równieĪ powoduje wzrost drgaĔ sieci krystalicznej, ale jednocze Ğnie powoduje zwiĊkszenie liczby noĞników (dziur lub elektronów), co poci ąga za sobą wzrost natĊĪenia prądu czyli zmniejszenie oporu.

Nr zadania 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

Maks. liczba pkt 2 2 2 2 2 2

Wypeánia

Zadanie 5. Asteroida Apophis (12 pkt)

AmerykaĔska agencja kosmiczna (NASA) przygotowuje plany umoĪliwiające lądowanie na asteroidzie. NASA chce sprawdziü, czy jest moĪliwa zmiana kursu takiego ciaáa w przypadku, gdyby zmierzaáo ono w kierunku Ziemi. Naszej planecie moĪe w 2029 roku zagroziü stosunkowo niewielka asteroida Apophis o masie 8·10¹⁰ kg. Astronomowie oceniają, Īe asteroida mija naszą planetĊ w niewielkiej odlegáoĞci raz na 1500 lat. Podczas jednego obiegu wokóá SáoĔca orbita Apophis dwukrotnie

przecina siĊ z orbitą Ziemi. NajbliĪsze zbliĪenie do Ziemi nastąpi w piątek 13 kwietnia 2029 roku.

Astronomowie szacują, Īe wartoĞü prĊdkoĞci asteroidy wzglĊdem Ziemi w momencie potencjalnego zderzenia bĊdzie wynosiáa okoáo 13 km/s.

Na podstawie:

http://neo.jpl.nasa.gov/news/news146.html http://en.wikipedia.org/wiki/99942_Apophis

Zadanie 5.1 (1 pkt)

Oszacuj wartoĞü przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni asteroidy. W obliczeniach przyjmij, Īe asteroida jest jednorodną kulą.

2

˜ M m ˜

m a G

R

gdzie

2 R d

Po uproszczeniu i przekszta áceniu:

2

4 G M ˜

a d

2

11 10

2 2

4 6,67 10 N m 8 10 kg kg

390m



˜

˜ ˜ ˜ ˜

a

4 2

1, 4 10 m s

˜

a

Zadanie 5.2 (3 pkt)

Podaj, w którym poáoĪeniu (peryhelium czy aphelium) wartoĞü prĊdkoĞci obiegu asteroidy wokóá SáoĔca jest najmniejsza. OdpowiedĨ uzasadnij, odwoáując siĊ do odpowiedniego prawa i podając jego treĞü.

Warto Ğü prĊdkoĞci liniowej obiegu asteroidy wokóá SáoĔca jest najmniejsza w aphelium.

Wynika to z II prawa Keplera.

Promie Ĕ wodzący poprowadzony ze Ğrodka SáoĔca do Ğrodka asteroidy zakreĞla równe pola powierzchni w jednakowych odst Ċpach czasu.

Asteroida Apophis

ĝrednia odlegáoĞü od SáoĔca 0,922 AU MimoĞród orbity 0,191

Peryhelium 0,746 AU

Aphelium 1,098 AU

Nachylenie orbity wzglĊdem

ekliptyki 3,333°

ĝrednica asteroidy 390 m

Zadanie 5.3 (3 pkt)

Oszacuj okres obiegu asteroidy wokóá SáoĔca. Wynik podaj w dniach ziemskich.

Podczas obliczeĔ przyjmij, Īe asteroida porusza siĊ po orbicie koáowej, rok ziemski trwa 365 dni, a Ğrednia odlegáoĞü Ziemi od SáoĔca jest równa 1 AU (1 AU = 15·10¹⁰ m).

2 2

3 3

Z A

Z A

T T

R R

3 A

A Z

Z

T T R R

§ ·

¨ ¸

© ¹ 0,922

365 1

T

§ ·

¨ ¸

© ¹

323dni

| T

Zadanie 5.4 (2 pkt)

WykaĪ, Īe wartoĞü pierwszej prĊdkoĞci kosmicznej dla asteroidy Apophis wynosi okoáo 0,165 m/s.

G M

X R ^˜

^gdzie

2 R d

2

11 10

2

6,67 10 N m 8 10 kg kg

390m 2 X



˜

˜ ˜ ˜

0,165 m X s

Zadanie 5.5 (3 pkt)

Oblicz maksymalną energiĊ, jaka moĪe wydzieliü siĊ w momencie zderzenia asteroidy z powierzchnią Ziemi. WyraĨ tĊ energiĊ w megatonach (MT), przyjmując, Īe 1 MT § 4·10¹⁵ J.

Q E

2

2 Q m ˜ X

2

10 3

m

8 10 kg 13 10 s 2

§ ·

˜ ˜ ¨ © ˜ ¸ ¹ Q

676 10 J ˜

Q

1690 MT Q

Nr zadania 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Maks. liczba pkt 1 3 3 2 3

Wypeánia

BRUDNOPIS