Definicja funkcji pierwotnej czyli ca lki nieoznaczonej

(1)

Operacja odwrotna do r´ o˙zniczkowania nazywana jest ca lkowaniem. Dana funkcja traktowana jest jako pochodna pewnej funkcji, kt´ ora

trzeba znale´z´c. Zaczniemy od definicji.

Definicja funkcji pierwotnej czyli ca lki nieoznaczonej

Niech G ⊂ IR be

dzie suma

pewnej rodziny parami roz la

cznych przedzia l´ ow. Je˙zeli f : G −→ IR jest funkcja

na zbiorze G , to ka˙zda funkcje

F : G −→ IR , dla której równo´sć F

⁰

(x) = f (x) ma miejsce dla ka˙zdego x ∈ G nazywamy funkcja

pierwotna

lub ca lka

nieoznaczona

funkcji f . Stosujemy oznaczenie F (x) = R f(x)dx .

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli F jest funkcja

pierwotna

funkcji f , to dla ka˙zdej liczby rzeczywistej C funkcja F + C te˙z jest funkcja

pierwotna

funkcji f . Zachodzi

Twierdzenie o jednoznaczno´ sci funkcji pierwotnej

Je´sli P jest przedzia lem, f : P −→ IR funkcja

a F

1

i F

2

jej funkcjami pierwotnymi, to istnieje liczba C ∈ IR , taka ˙ze dla ka˙zdego x ∈ P zachodzi r´owno´s´c F

²

(x) = F

1

(x) + C .

Teza wynika natychmiast z tego, ˙ze pochodna

funkcji F

2

− F

¹

jest funkcja to˙zsamo´sciowo r´ owna 0 , wie

c funkcja F

2

− F

1

jest sta la.

Podkre´sli´c od razu wypada, ˙ze je´sli dziedzina nie jest przedzia lem, to teza przestaje by´c prawdzi- wa. Funkcja ln |x| jest funkcja

pierwotna

funkcji

¹_x

. Niech F

1

(x) = ln |x| . Niech F

2

(x) = 1 + ln x dla x > 0 i F

2

(x) = ln(−x) dla x < 0 . Jasne jest, ˙ze F

2⁰

(x) =

¹_x

dla ka˙zdego x 6= 0 , wie

c F

2

jest funkcja

pierwotna

funkcji ln , podobnie jak F

1

. Funkcja F

2

− F

1

przyjmuje jednak dwie warto´sci, mianowicie 0 dla x < 0 oraz 1 dla x > 0 . Nie jest wie

c sta la, chocia˙z jest sta la na ka˙zdym przedziale zawartym w dziedzinie funkcji f . Czasami taka

funkcje

nazywamy lokalnie sta la

. W dalszym cia

gu be

dziemy, zgodnie z przyje

tym zwyczajem, pisa´c

Z

f (x)dx = F (x) + C ,

je´sli F jest jaka

´s funkcja

pierwotna

funkcji f , przy czym C oznacza´c tu be

dzie zawsze funkcje

lokalnie sta la

, czyli funkcje

, kt´ ora jest sta la na ka˙zdym przedziale zawartym w dziedzinie funkcji f .

Przyk lady 1. R

dx = x + C . 2. R e

^x

dx = e

^x

+ C . 3. R cos xdx = sin x + C . 4. R sin xdx = − cos x + C . 5. R

₁

x

dx = ln |x| + C .

6. R x

^a

dx =

_a+1¹

x

^a+1

+ C dla a 6= −1 i ka˙zdego x , dla kt´orego funkcja x

^a

jest okre´slona (je´sli

a > 0 jest liczba

wymierna

postaci

_2m+1^k

, k, m –ca lkowite, to dziedzina

tej funkcji jest IR , je´sli

a < 0 jest liczba

wymierna

postaci

_2m+1^k

, k, m –ca lkowite, to dziedzina

jest zbi´ or wszystkich

liczb rzeczywistych z wyja

tkiem 0 , je´sli a > 0 jest liczba

rzeczywista

innej postaci to dziedzina

(2)

jest [0, ∞) , w przypadku a < 0 , kt´ore nie jest postaci

2m+1^k

, k, m –ca lkowite, dziedzina

jest (0, ∞) ).

7. R

₁

1+x²

dx = arctg x + C .

Te wzory nale˙zy zapamie

ta´c. Jasne jest, ˙ze nie ka˙zda funkcja ma funkcje

pierwotna

. Niech f (x) = 0 dla x ≤ 0 i niech f(x) = 1 dla x > 0 . Je´sli F jest funkcja

pierwotna

funkcji f , to dla x ≤ 0 mamy F

⁰

(x) = 0 , wie

c funkcja F jest sta la na p´ o lprostej (−∞, 0] . Dla x > 0 mamy F

⁰

(x) = 1 , wie

c musi istnie´c sta la liczba c , taka ˙ze F (x) = x + c dla ka˙zdego x > 0 . Poniewa˙z F ma by´c funkcja

r´ o˙zniczkowalna

w ka˙zdym punkcie, w szczeg´ olno´sci w punkcie 0 , wie

c musi by´c F (x) = c dla x ≤ 0 oraz F (x) = x + c dla x > 0 . Niestety tak zdefiniowana funkcja nie ma pochodnej w punkcie 0 : lewostronna pochodna to 0 , a prawostronna to 1 . Jest to ilustracja og´ olnego zjawiska. Mo˙zna udowodni´c, ˙ze je´sli funkcja ma funkcje

pierwotna

, czyli jest pochodna

pewnej funkcji, to na ka˙zdym przedziale przys luguje jej w lasno´sć przyjmowania warto´sci po´srednich, czyli w lasno´sć Darboux. Nie przeprowadzimy dowodu, choć jest latwy, bo potrzebny jest on w zasadzie tylko matematykom, zreszta

jest to warunek konieczny, ale nie jest on niestety dostateczny. Mo˙zna natomiast udowodni´c

Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji cia

g lej

Je´sli f : P −→ IR funkcja

cia

g la

na przedziale P , to f ma na nim funkcje

pierwotna

.

Dow´ od. (szkic) Za l´ o˙zmy najpierw, ˙ze funkcja f jest dodatnia. Niech x

0

∈ P i niech x ≥ x

0

. Niech F (x) oznacza pole obszaru ograniczonego z do lu odcinkiem [x

0

, x] , z g´ ory wykresem funk- cji f , z lewej strony prosta

pionowa

przechodza

ca

przez punkt (x

0

, 0) , z prawej strony – prosta

pionowa

przechodza

ca

przez punkt (x, 0) . W przypadku x < x

0

zamiast pola analogicznego ob- szaru rozwa˙zamy liczbe

ujemna

, kt´ orej warto´scia

bezwzgle

dna

jest odpowiednie pole. Wyka˙zemy,

˙ze F

⁰

(x) = f (x) w przypadku x > x

0

pozostawiaja

c rozwa˙zenie drugiego przypadku, ca lkowicie analogicznego, czytelnikom. Za l´ o˙zmy, ˙ze h > 0 jest tak ma la

liczba

dodatnia

, ˙ze x + h ∈ P . W tej sytuacji F (x + h) − F (x) jest polem obszaru ograniczonego z do lu odcinkiem [x, x + h] , z g´ory – wykresem funkcji f , z lewej strony – prosta

pionowa

przechodza

ca

przez (x, 0) , z prawej strony – prosta

pionowa

przechodza

ca

przez (x + h, 0) . Z rysunku i ze znanego wzoru na pole prostoka

ta wida´c, ˙ze

inf{f(t): x ≤ t ≤ x + h} ≤ F (x + h) − F (x)

h ≤ sup{f(t): x ≤ t ≤ x + h}

– obszar opisany przed chwila

zawiera prostoka

t o wysoko´sci inf{f(t): x ≤ t ≤ x+h} i podstawie h i jest zawarty w prostoka

cie o wysoko´sci sup{f(t): x ≤ t ≤ x + h} i podstawie h . Z cia

g lo´sci funk- cji f wynika, ˙ze lim

h→0⁺

inf{f(t): x ≤ t ≤ x + h} = f(x) = lim

h→0⁺

sup{f(t): x ≤ t ≤ x + h} . Sta

d i z twierdzenia o trzech funkcjach wynika od razu, ˙ze lim

h→0⁺

F (x+h)−F (x)

h

= f (x) . Minimalna modyfi- kacja tego rozumowania pokazuje, ˙ze r´ ownie˙z lim

h→0⁻

F (x+h)−F (x)

h

= f (x) . Je´sli funkcja f przyjmuje

(3)

r´ ownie˙z warto´sci ujemne, lub tylko ujemne, to mo˙zna do niej doda´c liczbe

dodatnia

tak du˙za

, by warto´sci nowej funkcji w punktach x

0

, x i x + h oraz wszystkich le˙za

cych mie

dzy nimi by ly dodat- nie. Mo˙zna to zrobi´c, bo funkcja cia

g la na przedziale domknie

tym jest ograniczona – rozpatrujemy by´c mo˙ze tylko cze

´s´c dziedziny, ale tak wolno poste

powa´c, bo interesuja

nas jedynie warto´sci przyj- mowane przez nia

w okolicach x . Na tym zako´ nczymy szkicowanie dowodu.

Dow´ od istnienia funkcji pierwotnej ma wyja´sni´c zwia

zek ca lki z polem. w istocie rzeczy pierwsze wzory na pola figur bardziej skomplikowanych uzyskano ju˙z w staro˙zytno´sci (ko lo, parabola, po- wierzchnia kuli itd.). Istotny poste

p uzyskany zosta l dzie

ki Archimedesowi. Jednak jego pomys lowe rozumowania d lugo musia ly czeka´c na kontynuator´ ow. W praktyce naste

pne powa˙zne osiagnie

cia w tej dziedzinie uzyskano dopiero dzie

ki zauwa˙zeniu zwia

zku liczenia p´ ol, obje

to´sci z r´ o˙zniczkowaniem.

Rezultaty Archimedesa i jego wsp´ o lczesnych sta ly sie

teraz banalnymi zadaniami, z kt´ orymi radzi sobie wielu student´ ow, cho´c wielu z nich mia loby istotne trudno´sci ze zrozumieniem tego, co pisa l Archimedes (nawet po przet lumaczeniu na polski lub inny je

zyk dla nich zrozumia ly).

Warto te˙z wyra´znie stwierdzi´c, ˙ze cho´c wiemy, ˙ze funkcje cia

g le maja

funkcje pierwotne, to jed- nak nie zawsze daje sie

je wyrazi´c za pomoca

funkcji, kt´ orymi do tej pory operujemy, wiele z nich to tzw. funkcje nieelementarne. Wa˙zny przyk lad to e

^−x²

. Jej funkcji pierwotnej nie mo˙zna wyrazi´c za pomoca

wielomian´ ow, sinusa, kosinusa, funkcji wyk ladniczej, funkcji odwrotnych do wymienionych, je´sli dopu´scimy dzia lania arytmetyczne i sk ladanie funkcji. Tego typu twierdzenia uda lo sie

wykaza´c w drugiej po lowie XIX wieku. Ich dowody, a nawet dok ladniejsze om´ owienie, daleko wykraczaja

poza program nauczania matematyki w wy˙zszych uczelniach, z wyja

tkiem niekt´ orych wydzia l´ ow matema- tyki. Wspominamy jednak o tych twierdzeniach, bo funkcja e

^−x²

jest jedna

z cze

´sciej u˙zywanych w statystyce. Z przyczyn podanych przed chwila

stworzono tablice jej ca lek, mo˙zna wybiera´c funkcje

pierwotna

tak, by jej granica

przy x −→ −∞ by la liczba 0 . Druga przyczyna to ostrze˙zenie, ˙ze problemy wygla

daja

ce na elementarne czasem sa

nierozwia

zywalne. Jest wiele innych funkcji tego typu, np.

^{sin x}_x

, sin x

²

, √

Ax

⁴

+ Bx

³

+ Cx

²

+ Dx + E przy za lo˙zeniu, ˙ze wyra˙zenie pod pierwiast- kiem jest wielomianem stopnia > 2 i to nie szczeg´ olnie dobranym ( x

⁴

+ 2x

²

+ 1 nie powoduje

˙zadnych k lopot´ ow, bo pierwiastek to tylko dekoracja!). Cze

sto te˙z pozornie ma la zmiana zmienia zasadniczo trudno´s´c problemu, kt´ ory trzeba rozwia

za´c: ca lka z funkcji e

^−x²

jest nieelementarna, natomiast R xe

^−x²

dx = −

¹₂

e

^−x²

+ C !

Wniosek z dowodu twierdzenia o istnieniu pochodnej funkcji cia

g lej

Je´sli funkcja f jest cia

g la i nieujemna na przedziale [a, b] , F jest funkcja

pierwotna

funkcji f , to pole obszaru A = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} , tzw. „pole pod wykresem funkcji f ”, r´owne jest

F (b) − F (a) .

Dow´ od. W dowodzie twierdzenia o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji wskazali´smy funkcje

pierwotna

F funkcji f , dla kt´ orej wz´ or wypisany we wniosku ma miejsce. Ze wzgle

du na twierdzenie

(4)

o jednoznaczno´sci funkcji pierwotnej r´ o˙znica F (b) − F (a) nie zale˙zy od wyboru funkcji pierwotnej (r´ o˙zne funkcje pierwotne na przedziale r´ o˙znia sie

o sta la

).

Definicja ca lki oznaczonej Newtona

Ca lka

oznaczona

funkcji f : [a, b] −→ IR nazywamy liczbe

f (b) − F (a) , gdzie F oznacza funkcje

pierwotna

funkcji f . Stosujemy oznaczenie

Z

b

a

f (x)dx = F (b) − F (a) . Stosujemy te˙z inne oznaczenie: F (b) − F (a) = F (x)

b

a

, wie

c mo˙zna pisa´c R

b

a

f (x)dx = F (x)

b a

. Przyk lady

8. R

b

a

dx = b − a , bo pole prostoka

ta o podstawie b − a i wysoko´sci 1 r´owne jest b − a . 9. R

b

a

xdx =

^b²^−a₂ ²

, bo R xdx =

¹₂

x

²

+ C . To te˙z ˙zadna sensacja. Je´sli 0 ≤ a , to R

b

a

xdx to pole trapezu o podstawach a i b , kt´ orego wysoko´s´c r´ owna jest b − a , czyli

¹2

(b + a)(b − a) . Je´sli b ≤ 0 , to podstawy trapezu r´owne sa

|a| = −a oraz |b| = −b , a wysoko´s´c r´owna jest b-a, zatem ca lka jest liczba

przeciwna

do pola, wie

c r´ owna jest −

¹₂

− b + (−a)(b − a) =

^b²^−a2 ²

. Pozosta l jeszcze jeden przypadek: a < 0 < b . Mamy oczywi´scie R

b

a

xdx = R

0

a

xdx + R

b

0

xdx . Wobec tego tym razem ca lka r´ owna jest r´ o˙znicy p´ ol dw´ och tr´ ojka

t´ ow prostoka

tnych r´ ownoramiennych o ramionach |a| i b . Te pola to oczywi´scie

¹₂

b

²

i

¹₂

a

²

, ca lka r´ owna jest

¹₂

(b

²

− a

²

) .

10. R

a

0

x

²

dx =

^a₃³

, bo R x

²

dx =

¹₃

x

³

+ C . Wobec tego „pole pod parabola

” r´ owne jest

¹₃

pola pro- stoka

ta o wierzcho lkach (0, 0) , (a, 0) , a

²

, a , 0, a

²

. Wz´or ten znany by l ju˙z Archimedesowi, ale jego wyprowadzenie – nie znano jeszcze wtedy ca lek – by lo trudne.

Obliczanie ca lek jest na og´ o l dosy´c trudne, wymaga pomys lowo´sci. My podamy kilka prostych wzor´ ow i poka˙zemy jak mo˙zna je stosowa´c w prostych sytuacjach. Obecnie istnieja

liczne programy komputerowe, np. Mathematica, Maple, Derive, za pomoca

kt´ orych mo˙zna obliczyć wiele ca lek. Tym nie mniej warto znać podstawowe wzory i umieć stosować w prostych sytuacjach.

Twierdzenie o ca lce sumy dwu funkcji.

Za l´ o˙zmy, ˙ze funkcje f i g maja

funkcje pierwotne. Wtedy funkcje f ± g te˙z maja

funkcje pierwotne i zachodza

wzory

Z

f (x) ± g(x) dx = Z

f (x)dx ± Z

g(x)dx oraz

Z

b

a

f (x) ± g(x) dx = Z

b

a

f (x)dx ± Z

b

a

g(x)dx .

Pierwszy z tych wzor´ ow wynika od razu z tego, ˙ze pochodna sumy jest suma

pochodnych, r´ o˙znicy – r´ o˙znica

pochodnych. Wz´ or drugi wynika z pierwszego.

Twierdzenie o ca lce iloczynu funkcji przez liczbe

Je´sli funkcja f ma funkcje

pierwotna

, to dla ka˙zdej liczby rzeczywistej c funkcja cf ma funkcje

(5)

pierwotna

i zachodzi r´ owno´s´c

Z

cf (x)dx = c Z

f (x)dx .

Dla ca lki oznaczonej

Z

b a

cf (x)dx = c Z

b

a

f (x)dx .

Wzory wynikaja

od razu z odpowiednich w lasno´sci pochodnej.

Z obliczaniem ca lki iloczynu jest o wiele gorzej, bo wz´ or na pochodna

iloczynu jest bardziej skomplikowany, zreszta

istnieja

funkcje (niecia

g le), kt´ ore maja funkcje pierwotne a ich iloczyn – nie.

Podamy teraz dwa twierdzenia, kt´ ore w niekt´ orych sytuacjach pozwalaja

upro´sci´c obliczanie ca lki z iloczyn´ ow bardzo szczeg´ olnej postaci.

Twierdzenie o ca lkowaniu przez cze

´ sci

Za l´ o˙zmy, ˙ze funkcje f i g maja

cia

g le pochodne. Wtedy zachodzi wz´ or:

Z

f

⁰

(x)g(x)dx = f (x)g(x) − Z

f (x)g

⁰

(x)dx .

Dla ca lki oznaczonej Z

b

a

f

⁰

(x)g(x)dx = f (x)g(x)

b a

−

Z

b a

f (x)g

⁰

(x)dx = f (b)g(b) − f(a)g(a) − Z

b

a

f (x)g

⁰

(x)dx .

Wz´ or ten jest natychmiastowa

konsekwencja

twierdzenia o pochodnej iloczynu.

Twierdzenie o ca lkowaniu przez podstawienie

Za l´ o˙zmy, ˙ze funkcje f i g

⁰

sa

cia

g le oraz ˙ze F jest funkcja

pierwotna

funkcji f . Wtedy Z

f (g(x))g

⁰

(x)dx = F (g(x)) + C

Dla ca lki oznaczonej Z

b

a

f (g(x))g

⁰

(x)dx = Z

g(b)

g(a)

F (y)dy = F (g(b)) − F (g(a)) . Ten wz´ or wynika natychmiast z twierdzenia o pochodnej z lo˙zenia dwu funkcji.

Ostatnie dwa twierdzenia w po la

czeniu z poprzednimi stanowia

dobra

podstawe

do znajdowania ca lek z licznych funkcji zdefiniowanych elementarnie. Zanim poka˙zemy, jak mo˙zna to robi´c, powiemy jakie oznaczenia sa

cze

sto stosowane.

Umowa w kwestii oznacze´ n

Zamiast pisa´c g

⁰

(x)dx be

dziemy pisa´c dg(x) ; je´sli y = g(x) , to piszemy dy = g

⁰

(x)dx = dg(x) .

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli funkcja g jest r´ o˙znowarto´sciowa, czyli ma funkcje

odwrotna

g

⁻¹

, to r´ owno´s´c

y = g(x) r´ ownowa˙zna jest r´ owno´sci x = g

⁻¹

(y) . Wtedy, zgodnie z przyje

ta

umowa

, mo˙zemy

(6)

napisa´c dx = d(g

⁻¹

)(y) = (g

⁻¹

)

⁰

(y)dy . Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej mamy g

⁻¹

0

(y) = g

⁻¹

0

g(x)

=

_g0¹(x)

. Wobec tego dx = d g

⁻¹

(y) =

_g₀¹_(x)

dy , co w ´swietle wzoru dy = dg(x) = g

⁰

(x)dx , wygla

da na zupe lnie oczywiste stwierdzenie. Jednak nale˙zy pamie

ta´c o tym, ˙ze symbole dx , dy nie oznaczaja

liczb, w og´ ole nie by ly przez nas zdefiniowane. Wyste

puja

jedynie w po la

czeniu z innymi. Wobec tego nie jest ca lkiem jasne, czy regu ly dzia la´ n na liczbach maja zastosowanie r´ ownie˙z w tym przypadku, a dok ladniej: kt´ ore regu ly pozostaja

w mocy. Okaza lo sie

, ˙ze wnioskowanie, je´sli dy = g

⁰

(x)dx , to dx =

_g0¹(x)

dy ma sens dzie

ki twierdzeniu o pochodnej funkcji odwrotnej! Przypomnie´c wypada, ˙ze opr´ ocz stosowanego przez nas oznaczenia pochodnej y

⁰

= g

⁰

(x) stosowane jest oznaczenie

^dy_dx

= g

⁰

(x) . Symbol

^dy_dx

jest oznaczeniem pochodnej, nie jest u lamkiem.

Mo˙zna go jednak traktowa´c jak iloraz. Czytelnicy przekonaja

sie

jeszcze wiele razy, ˙ze upraszcza to manipulowanie wzorami. Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze je´sli x = h(t) , to opr´ ocz r´ owno´sci dy = g

⁰

(x)dx mamy te˙z dx = h

⁰

(t)dt . Chcia loby sie

wywnioskowa´c z tych wzor´ ow, ˙ze dy = g

⁰

(x)h

⁰

(t)dt . Mo˙zna to zrobi´c, bo y = g h(t) , wie

c dy = (g◦h)

⁰

(t)dt , ale na mocy twierdzenia o pochodnej z lo˙zenia dwu funkcji g ◦ h

0

(t) = g

⁰

h(t)h

⁰

(t) , zatem r´ ownie˙z dy = g

⁰

h(t)h

⁰

(t)dt . Wida´c wie

c zn´ ow analogie

z u lamkami:

^dy_dt

=

^dy_dx

·

^dx_dt

, czyli dy = (g ◦ h)

⁰

(t)dt = g

⁰

(h(t))h

⁰

(t)dt =

^dy_dx

·

^dx_dt

· dt . Zako´nczymy te przyd lugie rozwa˙zania na temat oznacze´ n stwierdzeniem, ˙ze wz´ or na ca lkowanie przez cze

´sci zwykle zapisywany jest w postaci:

Z

f (x)g

⁰

(x)dx = Z

f dg = f g − Z

g df = f (x)g(x) − Z

g(x)f

⁰

(x)dx a wz´ or na ca lkowanie przez podstawienie – w postaci:

Z

f (g(x))g

⁰

(x)dx = Z

f (y)dy .

Przyk lady 11. R e

^2x

dx =======

^y=2x

dy=2 dx

R e

^{y 1}₂

dy =

¹₂

e

^y

+ C =

¹₂

e

^2x

+ C . 12. R xe

^x²

dx

^y=x

2

=======

dy=2xdx

R e

^{y 1}₂

dy =

¹₂

R e

^y

dy =

¹₂

e

^y

+ C =

¹₂

e

^x²

+ C . 13. R tg xdx = R

_{cos x}^{sin x}

dx ===========

^{y=cos x}

dy=− sin x dx

− R

₁

y

dy = − ln |y| + C = − ln | cos x| + C . 14. R √r

²

− x

²

dx ==========

^{x=r sin t}

dx=r cos t dt

R pr

²

− r

²

sin

²

t r cos tdt = R √r

²

cos

²

t r cos tdt =

= R r

²

cos

²

tdt = r

²

R

_{1+cos 2t}

2

dt ======

^u=2t

du=2dt

r

²

R

_{1+cos u}

2

·

^du₂

=

^r₂² ^u₂

+

^{sin u}₂

+ C =

=

^r₂²

t +

¹₂

sin 2t+C =

^r₂²

(t + sin t cos t)+C =

^r₂²

arcsin

^x_r

+

^x₂

√

r

²

− x

²

+C – w tym przypadku przyje

li´smy x = r sin t , mo˙zemy przyja

´c, ˙ze −

^π2

≤ t ≤

^π2

, bo wtedy x be

dzie przyjmować wszystkie warto´sci z przedzia lu [−r, r] , w tej sytuacji cos t ≥ 0 i wobec tego zachodzi równo´sć

√ cos

²

t = cos t . 15. R

r

−r

√ r

²

− x

²

dx =

¹₂

h

r

²

arcsin

^r_r

+ r √

r

²

− r

²

− r

²

arcsin

^−r_r

− (−r) pr

²

− (−r)

²

i

=

¹₂

2r

²

arcsin 1 = r

^{2 π}₂

=

^πr₂²

. Skorzystali´smy tu oczywi´scie z wyniku otrzymanego w przyk la-

dzie poprzednim. Obliczana ca lka okaza la sie

po lowa

ko la o promieniu r , co nie jest specjalnie

(7)

dziwne, bo wykresem funkcji √

r

²

− x

²

jest g´ orna po lowa okre

gu o ´srodku (0, 0) i promieniu r , wie

c „pole pod wykresem” to po lowa pola ko la o promieniu r .

16. R xe

^x

dx = R x (e

^x

)

⁰

dx ==========

^{ca lkujemy}

przez cze´sci

xe

^x

− R (x)

⁰

e

^x

dx = xe

^x

− R e

^x

dx = xe

^x

− e

^x

+ C . 17. R x

²

e

^x

dx = R x

²

(e

^x

)

⁰

dx ==========

^{ca lkujemy}

przez cze´sci

x

²

e

^x

− R

x

²

0

e

^x

dx = x

²

e

^x

− R 2xe

^x

dx =

= x

²

e

^x

−2 R xe

^x

dx =========

^poprzedni

przyk lad

x

²

e

^x

−2 (xe

^x

− e

^x

)+C = e

^x

(x

²

−2x+2)+C . W tym przyk ladzie skorzystali´smy z wyniku uzyskanego w poprzednim. Wida´c, ˙ze poste

puja

c analogicznie mo˙zna oblicza´c ca lki z funkcji x

³

e

^x

, x

⁴

e

^x

itd. – jednokrotne ca lkowanie przez cze

´sci obni˙za stopie´ n wielomianu, przez kt´ ory mno˙zymy funkcje

wyk ladnicza

o 1 , wie

c wielokrotne pozwala na poz- bycie sie

go, czyli sprowadzenie problemu do obliczenia ca lki R e

^x

dx , a z tym ju˙z umiemy sobie poradzi´c.

18. R xe

^3x

dx = R x

¹₃

e

^3x

0

dx ==========

^{ca lkujemy}

przez cze´sci 1

3

xe

^3x

−

¹₃

R (x)

⁰

e

^3x

dx =

¹₃

xe

^3x

−

¹₃

R e

^3x

dx =

=

¹₃

xe

^3x

−

¹9

e

^3x

+ C — ostatnie ca lkowanie przez podstawienie ( y = 3x ) potraktowali´smy ju˙z jako na tyle oczywiste, ˙ze nawet tego specjalnie nie zaznaczyli´smy.

19. R x cos(5x)dx = R x

¹₅

sin(5x)

0

dx ==========

^{ca lkujemy}

przez cze´sci 1

5

x sin(5x) −

¹5

R (x)

⁰

sin(5x)dx =

=

¹₅

x sin(5x) −

¹5

R sin(5x)dx =

¹₅

x sin(5x) −

¹5

−

¹5

cos(5x) + C =

=

¹₅

x sin(5x) +

₂₅¹

cos(5x) + C . 20. R ln xdx ==========

^{ca lkujemy}

przez cze´sci

x ln x − R xd(ln x) = x ln x − R x

¹x

dx = x ln x − R

dx = x ln x − x + C . 21. R arcsin xdx ==========

^{ca lkujemy}

przez cze´sci

x arcsin x − R xd(arcsin x) = x arcsin x − R x

^√_1−x¹ 2

dx

^y=1−x

2

=========

dy=−2xdx

= x arcsin x +

¹₂

R

₁

√y

dy = x arcsin x +

¹₂

R y

^−1/2

dy = x arcsin x +

2(1+(−1/2))¹

y

^1+(−1/2)

+ C =

= x arcsin x +

¹₄

1 − x

²

1/2

+ C = x arcsin x +

¹₄

√

1 − x

²

+ C . 22. R

_dx

2x−3

y=2x−3

=======

dy=2dx

R

₁

y

·

¹₂

dy =

¹₂

ln |y| + C =

¹₂

ln |2x − 3| + C . 23. R

_x

x²+3x+2

dx = R

_x

(x+1)(x+2)

dx .

Mo˙zna spodziewa´c sie

, ˙ze wyra˙zenie

_x2+3x+2^x

jest suma

u lamk´ ow postaci

_x+1^A

oraz

_x+2^B

. Aby r´ owno´s´c

_x2+3x+2^x

=

_x+1^A

+

_x+2^B

mia la miejsce musi by´c x = A(x + 2) + B(x + 1) dla wszystkich liczb rzeczywistych x 6= −1, −2 .

^♠

Wobec tego musi by´c A+B = 1 i 2A+B = 0 , wie

c A = −1 i B = 2 . Mamy wie

c

R

x

x²+3x+2

dx = R

₋₁

x+1

dx + R

2

x+2

dx = − ln |x + 1| + 2 ln |x + 2| + C = ln

^(x+2)_|x+1|²

+ C .

Metoda zasygnalizowana w przyk ladzie 23 to tzw. rozk lad na u lamki proste. Polega ona na tym,

˙ze funkcje

wymierna

, czyli iloraz dw´ och wielomian´ ow przedstawiamy w postaci sumy wielomianu i u lamk´ ow prostych, tj. u lamk´ ow postaci

_(x+c)^A n

, gdzie a, c ∈ IR , n ∈ IN lub postaci

(x²^Ax+B+px+q)ⁿ

, gdzie A, B, p, q ∈ IR , n ∈ IN oraz p

²

− 4q < 0 . Mo˙zna wykaza´c, ˙ze taki rozk lad funkcji wymiernej

♠ W rzeczywisto´sci poniewa˙z funkcje x oraz A(x+2)+B(x+1) sa ciag le we wszystkich punktach, w tym w punkcie x=−1 i w punkcie x=−2 , równo´sć musi mieć miejsce równie˙z dla x=−1, −2 .

(8)

zawsze istnieje. Dowodu w tym wyk ladzie nie przedstawimy.

²

Poka˙zemy na kilku przyk ladach jak ta metoda dzia la. Autor nie sa

dzi, by studenci musieli ja

opanowa´c do perfekcji, powinni jednak zapozna´c sie

z kilkoma przyk ladami, by nie wpada´c w zdumienie, gdy kto´s be

dzie rozk lada´c funkcje wymierne na u lamki proste przy okazji ich ca lkowania, rozwijania w szereg pote

gowy lub w innych przypadkach.

24. R

_x³

x²+2x+2

dx = R

(x²+2x+2)(x−2)+2x+4

x²+2x+2

dx = R

x − 2 +

x^2(x+2)²+2x+2

dx =

=

¹₂

x

²

− 2x + R

2x+2

x²+2x+2

dx + R

2

x²+2x+2

dx =

¹₂

x

²

− 2x + R

(x²+2x+2)⁰ x²+2x+2

dx +

+ R

₂

(x+1)²+1

d(x + 1) ===============

^{ca lkujemy}

przez podstawienia 1

2

x

²

− 2x + ln(x

²

+ 2x + 2) + 2 arctg(x + 1) + C . To wygla

da troche

na stosowanie jakich´s sztuczek. Tak jednak nie jest. Mo˙zna by lo przewidzie´c jak be

da

wygla

da´c u lamki proste, kt´ orych suma

be

dzie dana funkcja wymierna. Stopie´ n licznika jest o jeden wie

kszy ni˙z stopie´ n mianownika, wie

c powinien wysta

pi´c wielomian stopnia pierw- szego oraz u lamek, kt´ orego licznik jest wielomianem stopnia nie wie

kszego ni˙z 1, a mianownik r´ owny jest x

²

+ 2x + 2 . Mo˙zna wie

c by lo spr´ obowa´c napisa´c

_x2+2x+2^x³

= ax + b +

_x2^px+q+2x+2

. Po pomno˙zeniu przez mianownik otrzymujemy r´ owno´s´c x

³

= (ax + b)(x

²

+ 2x + 2) + px + q =

= ax

³

+ (2a + b)x

²

+ (2a + 2b + p)x + (2b + q) . Z r´ owno´sci wielomian´ ow wynika r´ owno´s´c ich wsp´ o lczynnik´ ow przy odpowiednich pote

gach zmiennej x . Musza

wie

c by´c spe lnione r´ owno´sci 1 = a , 0 = 2a + b , 0 = 2a + 2b + p oraz 0 = 2b + q . Otrzymali´smy uk lad czterech r´ owna´ n z czterema niewiadomymi. Teraz trzeba go rozwia

za´c, co w tym przypadku nie stanowi ˙zadnego problemu: a + 1 b = −2a = −2 , p = −2a − 2b = 2 i wreszcie q = −2b = 4 . Po´zniej po prostu obliczyli´smy pochodna

mianownika i zapisali´smy licznik w postaci sta la · pochodna mianownika + inna sta la, co u latwi lo ostateczne obliczenie ca lki.

25. Obliczymy R

₁

1+x⁴

dx . Zaczniemy od rozk ladu na u lamki proste. W tym celu przedstawimy mianownik w postaci iloczynu wielomian´ ow stopnia nie wie

kszego ni˙z 2. Mamy x

⁴

+ 1 =

= x

²

+ 1

2

− 2x

²

= x

²

+ 1

2

− x √ 2

²

= x

²

− x √ 2 + 1

x

²

+ x √

2 + 1 . Teraz znajdziemy liczby rzeczywiste a , b , c i d , takie ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x zachodzi r´ owno´s´c

1

1+x⁴

=

_x₂^ax+b

−x√

2+1

+

_x₂_+x^cx+d√

2+1

. Mno˙za

c te

r´ owno´s´c przez 1 + x

⁴

, skracaja

c co sie

tylko da i porza

dkuja

c, otrzymujemy: 1 = (ax + b)(x

²

+ x √

2 + 1) + (cx + d)(x

²

− x √

2 + 1) =

= (b + d) + x(a + b √

2 + c − d √

2) + x

²

b + a √

2 + d − c √

2 + x

³

(a + c) . Por´ ownuja

c wsp´ o lczynniki przy tych samych pote

gach zmiennej x otrzymujemy

b + d = 1 , a + c + (b − d) √

2 = 0 , b + d + (a − c) √

2 = 0 , a + c = 0 .

Otrzymali´smy wie

c uk lad czterech r´ owna´ n z czterema niewiadomymi. Poniewa˙z a + c = 0 (r´ ownanie czwarte), wie

c z drugiego r´ ownania mo˙zemy wywnioskowa´c r´ owno´s´c b = d , a z niej i z r´ ownania pierwszego wynika, ˙ze b = d =

¹₂

. Z r´ ownania trzeciego i ju˙z uzyskanych wynik´ ow wynika, ˙ze a = −c =

₂⁻¹^√₂

. Wobec tego mamy r´ owno´s´c

_1+x¹4

=

−1 2√

2x+¹₂ x²−x√

2+1

+

1 2√

2x+¹₂ x²+x√

2+1

. Teraz

2 zob. G.M.Fichtenholz t. II.

(9)

wystarczy sca lkowa´c oba sk ladniki. Sca lkujemy drugi, bo ma lepszy wygla

d zewne

trzny (mniej minus´ ow). Mamy

R

1 2√

2x+¹₂ x²+x√

2+1

dx =

^√₈²

R

_2x+2^√₂

x²+x√

2+1

dx =

^√₈²

R (

^x²^+x^√²⁺¹

)

⁰⁺^√²

x²+x√

2+1

dx =

=

^√₈²

R (

^x²^+x^√²⁺¹

)

⁰

x²+x√

2+1

dx +

¹₄

R

₁

x²+x√

2+1

dx =

^√₈²

ln x

²

+ x √

2 + 1 +

¹₄

R

₁

x+√¹ 2

²

+¹₂

dx =

=

^√₈²

ln x

²

+ x √

2 + 1 +

¹₄

R

₂

(

^x^√²⁺¹

)

²⁺¹

dx =

^√₈²

ln x

²

+ x √

2 + 1 + +

₂√¹

2

R

₁

(

^x^√²⁺¹

)

²⁺¹

d(x √

2 + 1) =

^√₈²

ln x

²

+ x √

2 + 1 +

₂√¹

2

arctg x √

2 + 1 + C . W taki sam spos´ ob mo˙zna obliczy´c druga

ca lke

, ale nie warto, bowiem:

R

−₂^√¹₂x+¹₂ x²−x√

2+1

dx =======

^u=−x

du=−dx

R

1 2√

2u+¹₂ u²+u√

2+1

(−du) = −

^√₈²

ln u

²

+ u √

2 + 1 −

₂^√¹₂

arctg u √

2 + 1 + +C = −

^√8²

ln x

²

− x √

2 + 1 −

₂^√¹₂

arctg −x √

2 + 1 + C =

= −

^√₈²

ln x

²

− x √

2 + 1 +

¹

2√

2

arctg x √

2 − 1 + C . Dodaja

c obliczone ca lki otrzymujemy

R

₁

1+x⁴

dx =

^√₈²

ln

^x_x²2^+x−x^√√²⁺¹ 2+1

+

₂^√¹₂

arctg x √

2 + 1 + arctg x √ 2 − 1

+ C . Mamy wynik. Poka˙zemy teraz jak mo˙zna go uzyska´c nieco inaczej.

Zauwa˙zmy, ˙ze

_1+x¹4

=

¹₂

1−x² 1+x⁴

+

^1+x_1+x²4

. Wobec tego mo˙zna obliczy´c dwie ca lki: R

_1−x²

1+x⁴

dx oraz R

_1+x²

1+x⁴

dx . Mo˙zna je oczywi´scie obliczy´c rozk ladaja

c funkcje podca lkowe na u lamki proste, ale nie jest to konieczne. Zachodza

r´ owno´sci

Z 1 − x

²

1 + x

⁴

dx =

Z

1

x²

− 1

1

x²

+ x

²

dx = −

Z d(x +

¹_x

) x +

¹_x

²

− 2

y=x+1/x

=========

dy=1−1/x²

− Z dy

y

²

− 2 =

= 1

2 √ 2

Z 1 y + √

2 − 1

y − √ 2

dy = 1 2 √ 2

ln |y + √

2| − ln |y − √

2| + C

=

= 1

2 √ 2 ln

y + √ 2 y − √

2 + C = 1 2 √

2 ln

x +

_x¹

+ √ 2 x +

_x¹

− √

2 + C = 1 2 √

2 ln x

²

+ x √ 2 + 1 x

²

− x √

2 + 1 + C . Pierwsza ca lka zosta la znaleziona. Teraz zajmiemy sie

druga

.

Z 1 + x

²

1 + x

⁴

dx =

Z

1

x²

+ 1

1

x²

+ x

²

dx =

Z d(x −

¹x

) x −

¹x

2

+ 2

y=x−1/x

=========

dy=1+1/x²

Z dy

y

²

+ 2 = 1

√ 2

Z d

√y 2

1 +

√y 2

2

=

z=y/(√

==========

2) dz=dy/(√

2)

√ 1 2

Z dz

1 + z

²

= 1

√ 2 arctg z + C = 1

√ 2 arctg

y

√ 2

+ C =

= 1

√ 2 arctg

x

√ 2 − 1 x √ 2

+ C . Wobec tego otrzymujemy R

_dx

1+x⁴

=

₂^√¹₂

ln

^x_x²2^+x−x^√√²⁺¹

2+1

+

₂^√¹₂

arctg

√x

2

−

_x^√¹₂

+ C . Widzimy* wie

c, ˙ze otrzymali´smy wynik nieco inny ni˙z poprzednio! Mo˙zna jednak sie

przekona´c, ˙ze jest to ten sam wynik. Wystarczy skorzysta´c z wzoru arctg a + arctg b = arctg

a+b 1−ab

– by prze- kona´c sie

o jego prawdziwo´sci wystarczy obliczy´c warto´s´c tangensa obu stron tej podejrzanej

*

Powinna wystapić suma dwu sta lych, ale to i tak jest dowolna sta la, a raczej funkcja sta la na ka˙zdym przedziale zawartym w dziedzinie, wiec nie ma potrzeby zmieniać oznaczeń.

(10)

r´ owno´sci korzystaja

c z wzoru na tangens sumy dw´ och ka

t´ ow a potem jeszcze troche

pome

czy´c sie

z jej interpretacja

np. dla x = 0 ; wg drugiej wersji wzoru funkcja pierwotna w punkcie 0 okre´slona nie jest, wg. pierwszej jest, z cytowanych twierdze´ n og´ olnych wynika, ˙ze powinna by´c okre´slona na ca lej prostej. Pokazali´smy wie

c dwie metody, otrzymali´smy na tyle r´ o˙znie wy- gla

daja

ce wyniki, ˙ze niewielu student´ ow pierwszego roku stwierdzi loby, ˙ze to w istocie rzeczy ten sam wynik r´ o˙znia

cy sie

jedynie zapisem. To dosy´c cze

ste zjawisko przy ca lkowaniu, wie

c je zasygnalizowali´smy.

26. Obliczymy ca lke

R

_x⁵

1+x⁴

dx . Mo˙zna jak w przyk ladach poprzednich przedstawi´c funkcje

podca l- kowa

w postaci u lamk´ ow prostych, ale w tym konkretnym przypadku wida´c od razu prostsza

metode

. Mamy bowiem R

_x⁵

1+x⁴

dx

^y=x

2

========

dy=2x dx 1 2

R

y²

1+y²

dy =

¹₂

R

1 −

_1+y¹²

dy =

=

¹₂

(y − arctg y) + C =

¹₂

x

²

− arctg x

²

+ C . 27. Obliczymy ca lke

R e

^2x

sin 3xdx . Be

dziemy ca lkowa´c przez cze

´sci dwukrotnie.

R e

^2x

sin 3x dx =

¹₂

R

e

^2x

0

sin 3xdx =

¹₂

e

^2x

sin 3x −

¹₂

R e

^2x

(sin 3x)

⁰

dx =

=

¹₂

e

^2x

sin 3x −

³₂

R e

^2x

cos 3x =

¹₂

e

^2x

sin 3x −

³₄

R e

^2x

0

cos 3xdx =

=

¹₂

e

^2x

sin 3x −

³₄

e

^2x

cos 3x +

³₄

R e

^2x

(cos 3x)

⁰

dx =

¹₂

e

^2x

sin 3x −

³₄

e

^2x

cos 3x −

⁹₄

R e

^2x

sin 3xdx . Uda lo nam sie

wie

c w wyniku kilku przekszta lce´ n sprowadzi´c obliczanie ca lki R e

^2x

sin 3xdx do obliczania tej samej ca lki! To nie jest bez sensu wbrew pozorom: uzyskali´smy r´ ownanie, w kt´ orym niewiadoma

jest poszukiwana ca lka. Starczy je teraz rozwia

za´c. Otrzymujemy r´ owno´s´c

Z

e

^2x

sin 3xdx = 2

13 e

^2x

sin 3x − 3

13 e

^2x

cos 3x + C

Sta lej C w r´ ownaniu nie by lo, ale teraz musi sie

pojawi´c. R´ owno´s´c ca lek nieoznaczonych oznacza jedynie, ˙ze r´ o˙znica mie

dzy tymi funkcjami pierwotnymi jest funkcja

lokalnie sta la

, wie

c gdy wszystkie ca lki znajduja

sie

po jednej stronie r´ owno´sci trzeba dopisa´c C po drugiej stronie tej r´ owno´sci.

28. R √4 + x

²

dx =============

^{x=2tg t}

dx=2(1+tg²t) dt

2 R p4 + 4 tg

²

t · (1 + tg

²

t)dt = 4 R q

1 cos²t

1

cos²t

dt =

= 4 R

₁

cos³t

dt = 4 R

_{cos t}

cos⁴t

dt = 4 R

_{cos t}

(1−sin²t)²

dt =========

^{y=sin t}

dy=cos t dt

4 R

dy

(1−y²)²

= R

1

1−y

+

_1+y¹

2

dy =

= R

1

(1−y)²

+ 2

_1−y¹ _1+y¹

+

_(1+y)¹ 2

dy = R

1

(1−y)²

+

_1−y¹

+

_1+y¹

+

_(1+y)¹ 2

=

= R

(1 − y)

⁻²

+ (1 − y)

⁻¹

+ (1 + y)

⁻¹

+ (1 + y)

⁻²

dy =

= (1 − y)

⁻¹

− ln |1 − y| + ln |1 + y| − (1 + y)

⁻¹

+ C =

_1−y^2y2

+ ln

1+y 1−y

+ C .

Wypada powr´ oci´c do zmiennej x . Podstawiali´smy x = 2 tg t . Mo˙zemy oczywi´scie zak lada´c,˙ze

|t| <

^π2

, bowiem ka˙zda liczbe

x mo˙zna przedstawi´c w postaci 2 tg t wybieraja

c liczbe

t z przedzia lu (−

^π2

,

^π₂

) . Ten wyb´ or liczby t gwarantuje, ˙ze cos t > 0 , z czego zreszta

ju˙z raz sko- rzystali´smy. Mamy wie

c

_{cos t}¹

= p1 + tg

²

t =

q

1 +

^x₄²

=

¹₂

√

4 + x

²

. Sta

d wnioskujemy, ˙ze

(11)

zachodza

r´ owno´sci

_1−y^2y2

=

^{2 sin t}_cos2t

= 2 tg t

_{cos t}¹

=

¹₂

· x · √

4 + x

²

. Mamy te˙z ln

1+y 1−y

= ln

1+y 1−y

=

= ln

^(1+y)_1−y2²

= ln

^{(1+sin t)}_cos2t ²

= 2 ln

^{1+sin t}_{cos t}

= 2 ln

_{cos t}¹

+ tg t

= 2 ln

√ 4+x²

2

+

^x₂

. Ostatecznie R √4 + x

²

dx =

¹₂

· x · √

4 + x

²

+ 2 ln

√ 4+x²

2

+

^x₂

+ C . Te

r´ owno´s´c mo˙zna uzyska´c nieco szyb- ciej stosuja

c inne podstawienia (tzw. podstawienia Eulera), ale nie be

dziemy ju˙z tego robi´c.

Og´ olnie rzecz biora

c wyra˙zenia zawieraja

ce jeden pierwiastek kwadratowy z wielomianu pierw- szego lub drugiego stopnia mo˙zna sca lkowa´c stosuja

c jakie´s podstawienie trygonometryczne, jak w tym przyk ladzie, lub podstawienia Eulera, o kt´ orych m´ owi´c tu nie be

dziemy lub te˙z pod- stawienia hiperboliczne, kt´ orymi r´ ownie˙z nie be

dziemy sie

zajmowa´c. To sa

zamienne metody.

W niekt´ orych sytuacjach jedne daja

wynik szybciej ni˙z inne, ale kt´ ore to zale˙zy od ca lkowanej funkcji.

29. Obliczymy ca lke

R

_x⁵

x⁴+x²+1

dx dwiema metodami. Zaczniemy od rozk ladu na u lamki proste.

Wymaga to przedstwienia mianownika w postaci iloczynu wielomian´ ow nierozk ladalnych. Mamy x

⁴

+ x

²

+ 1 = (x

²

+ 1)

²

− x

²

= (x

²

− x + 1)(x

²

+ x + 1) . Spr´ obujemy znale´z´c takie liczby A, B, C, D, E, F , ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x be

dzie zachodzi´c r´ owno´s´c

x⁵

x⁴+x²+1

=

_(x2−x+1)(x^x⁵ ²+x+1)

= Ax + B +

_x^Cx+D2−x+1

+

_x^Ex+f2+x+1

. Po pomno˙zeniu obu stron tej r´ owno´sci otrzymujemy wz´ or

x

⁵

= (Ax + B)(x

²

− x + 1)(x

²

+ x + 1) + (Cx + D)(x

²

+ x + 1) + (Ex + F )(x

²

− x + 1) =

= (Ax + B)(x

⁴

+ x

²

+ 1) + (Cx + D)(x

²

+ x + 1) + (Ex + F )(x

²

− x + 1) =

= Ax

⁵

+ Bx

⁴

+ (A + C + E)x

³

+ (B + C + D − E + F )x

²

+ (A + C + D + E − F )x + B + D + F . Szukamy liczb A, B, C, D, E, F takich, ˙ze A = 1 , B = 0 , A+C+E = 0 , B+C+D−E+F = 0 , A+C +D+E −F = 0 i B +D+F = 0 , bo chcemy by wsp´o lczynniki przy tych samych pote