1. Obliczy´ c podane ca lki nieoznaczone:

Lista nr 12 GP, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2015/16

Ca lka nieoznaczona

1. Obliczy´ c podane ca lki nieoznaczone:

a) Z

(3x ² − 2x + 5) dx, b)

Z x ²

x ² + 1 dx, c)

Z x ³ + √

x ² − 1

√ x dx, d)

Z 2 ^x − 5 ^x

10 ^x dx, e) Z

tg ² x dx.

Wskaz´ owka:w przykadach b) – e) nale˙zy przekszta lci´ c wyra˙zenia, kt´ ore ca lkujemy, a nast epnie skorzysta´ _, c ze wzor´ ow pod- stawowych.

2. Stosuj ac odpowiednie podstawienia obliczy´ _, c podane ca lki nieoznaczone:

a) Z

(5 − 3x) ¹⁰ dx, b) Z

sin(2x + 3) dx, c) Z

cos(5x − 1) dx, d)

Z dx

cos ² (7x + 2) , e)

Z dx

sin ² (4x − 3) , f) Z

√

4x + 1 dx, g) Z

x ⁴ p

2x ⁵ + 1 dx, h) Z

x cos(2x ² − 7) dx,

i)

Z e ^x dx e ^2x + 1 .

Wskaz´ owka: podstawiamy now a zmienn _, a zawsze za cz _, e´ _, s´ c wyra˙zenia, kt´ ore ca lkujemy (zwykle za argument odpowiedniej funkcji, np. w podpunkcie b) podstawiamy t = 2x + 3).

3. Korzystaj ac z twierdzenia o ca lkowaniu przez cz _, e´ _, sci obliczy´ c podane ca lki nieoznaczone:

a) Z

x sin x dx, b) Z

x ² cos x dx, c) Z

xe ^−3x dx, d) Z

x ⁵ ln x dx, e)

Z x dx

cos ² x , f)

Z x dx sin ² x .

Wskaz´ owka: je˙zeli ca lkujemy przez cz e´ _, sci iloczyn wielomianu i innej funkcji, to zwykle za f (x) bierzemy wielomian, a za

g ⁰ (x) t e inn _, a funkcj _, e (wyj _, atek stanowi przyk lad d)). _,