Zadanie 1. Zbadać zbieżność szeregów:

II seria zadań domowych z Analizy I 18.11.2015

Zadanie 1. Zbadać zbieżność szeregów:

∞

X

n=1

1

n · n ⁿ + 1 (n + 1) ⁿ ,

∞

X

n=1

sin π(n ² + n − 1) n + 1 ,

∞

X

n=1

n! sin π 2 ⁿ ,

∞

X

n=1

( √

n + 1 − p

⁴

n ² + n + 1) ^α (α ∈ R − parametr),

∞

X

n=1

3

³

√ n

²

+1

2 ⁿ ,

∞

X

n=1

( 2 + n 1 + n ² ) ² ,

∞

X

n=1

 3 − 2n 3 + 2n

 n

,

∞

X

n=1

(1 −

ⁿ

r n − 1

n ) ,

∞

X

n=1



10 − 9 √

ⁿ

5  n

,

∞

X

n=1

n ⁿ⁺¹ (2n ² + n + 1)

ⁿ⁻¹²

,

∞

X

n=1

log(2n + 1) n ^p ,

∞

X

n=1

r 1 + 1

n − r

1 − 1 n ,

∞

X

n=1

(n − _2n ¹ ) ⁿ n ⁿ⁻

²ⁿ¹

,

∞

X

n=1

n ³ 3 ⁻

√ n ,

∞

X

n=2

(log log n) ^{− log n} ,

∞

X

n=1

n ^{a+b log n} ,

∞

X

n=1

1 1 − n(−1) ⁿ ,

∞

X

n=2

(log n) − log(log n) ,

∞

X

n=1

3n n

 7 ⁻ⁿ ,

∞

X

n=1

sin n 2n − cos n ,

∞

X

n=1

 1

n − 1

n + 10 sin n

 sin nα ,

∞

X

n=1

sin nα n + 10 sin n ,

∞

X

n=1

( √

ⁿ

3 − 2) ⁿ ,

∞

X

n=1

√ 2n − 1 + √ 2n + 1

2 − √

2n ,

∞

X

n=1

3

ⁿ

√ n

²

+1

2 ⁿ ,

∞

X

n=1

sin n ² π n + 1 ,

∞

X

n=1

 1 − 1

√ n

 n

,

∞

X

n=1

(2 − √

ⁿ

n) ⁿ ,

∞

X

n=1

sin π p

ⁿ

n ³ + n .

Zadanie 2. Wykazać z definicji, że

a) lim

x→1

⁻

exp

 1 x − 1



= 0; b) lim

x→1

⁺

exp

 1 x − 1



= ∞; c) lim

x→∞ ln

 1 + 1

x



= 0.

Zadanie 3. Obliczyć następujące granice:

a) lim

x→−1

x ⁴ + 3x ² − 4

x + 1 ; b) lim

x→0

√

1 + x + x ² − 1

x ; c) lim

x→0

√

3

1 + x − 1

x ; d) lim

x→1

1 − √

³

x 1 − √

⁵

x ; e) lim

x→0

tg x

sin x ; f ) lim

x→

^π₄

cos 2x

sin x − cos x ; g) lim

x→0

√ 1 − cos x

sin x ; h) lim

x→0 x ctg x;

i) lim

x→+∞ x( p

x ² + 1 − p

³

x ³ − 1); j) lim

x→+∞

 3x − 1 3x + 1

 ^2x−5

; k) lim

x→π

tg(kx + x ² /π)

tg(nx + x ² /π) k, n ∈ N.

Zadanie 4. Obliczyć (jeśli istnieją) granice: lewo-, prawo- i dwustronne następujących funkcji w następujących punktach:

a) f (x) = e ^−1/x w punkcie x = 0; b) f (x) = |x − 1|

x − 1 + x w punkcie x = 1;

c) f (x) = arc tg 1

1 − x w punkcie x = 1; d) f (x) = x

x − 2 w punkcie x = 2;

e) f (x) = x sin 1

x − cos 1

x w punkcie x = 0; f ) f (x) = cos ² x − sin ² x

|x − ^π ₂ | w punkcie x = π

2 .

Zadanie 5. Dobrać parametry a, b, c tak, żeby funkcje f, g : R → R określone następująco:

a) f (x) =



 

 

 

 

sin ax

x dla x < 0

x

³

−1

x

²

+x−2 dla 0 ≤ x < 1

c dla x = 1

x

²

+(b−1)x−b

x−1 dla x > 1

; b) g(x) =

( ₁

1+e

^a/x

dla x 6= 0 b dla x = 0 .

były ciągłe na R.

Zadanie 6. Wykazać ciągłość poniższych funkcji w punkcie x 0 ∈ R korzystając z definicji Heinego lub Cauchy’ego.

a) f (x) = 3x + 1; b) f (x) = cos x; c) f (x) = arc tg x;

d) f (x) = e ^x ; d) f (x) = 1

x , x 0 6= 0; e) f (x) = cos 1

x , x 0 6= 0

Zadanie 7. Opierając się na definicji jednostajnej ciągłości funkcji pokazać, że funkcja f (x) = ¹ _x jest jednostajnie ciągła w przedziale [1, ∞), ale nie jest jednostajnie ciągła w przedziale (0, ∞).

Zadanie 8. Opierając się na definicji jednostajnej ciągłości funkcji pokazać, że funkcja f (x) = x ² jest jednostajnie ciągła w przedziale (0, 2), ale nie jest jednostajnie ciągła w przedziale (0, ∞).

Zadanie 9. Opierając się na definicji jednostajnej ciągłości funkcji pokazać, że funkcja f (x) = |x|

jest jednostajnie ciągła w zbiorze R.

2