Zadanie 1. Zbadać zbieżność następujących całek:

ANALIZA I R 11 stycznia 2016

Praca Domowa IV

Zadanie 1. Zbadać zbieżność następujących całek:

(a) Z 1

0

dx x ² + √

x (b)

Z ∞ 1

dx x ² + √

x , (c)

Z 1 0

dx

sin ² x , (d)

Z ∞ 1

dx x log ² x , (e)

Z 1 0

dx

x(− log x) ² , (f ) Z 1

0

sin(1/x)dx

√ x , (g)

Z +∞

1

cos xdx

log x , (h)

Z ∞ 1

cos(x ² )dx x ² + 2x + 5 , (i)

Z +∞

1

 π

2 − arc tanx 

dx (j)

Z ∞ 1

log ⁵ xdx x √

x , (k)

Z ∞ 1

x ²⁰⁰¹

exp x dx, (l)

Z 1 0

sin  1 x

 dx, (m)

Z ∞ 0

sin(x ² )dx, , (n) Z ∞

0

sin(x ² ) log x

x dx,

(o) Z ∞

0

1 + px + | log x|

x dx, (p)

Z ∞ 0

arc tanx x ² + arc tanx dx.

Zadanie 2. Załózmy, że f jest całkowalna na każdej [a, u] dla ustalonego a > 0 i u ≥ a.

Jeżeli

x→+∞ lim x ^p |f (x)| = c, to

• Jeżeli p > 1 i c ≥ 0, to R ∞

a |f (x)|dx jest zbieżna.

• Jeżeli p ≤ 1 i c ≥ 0, to R ∞

a |f (x)|dx jest rozbieżna.

Zadanie 3. Zabadaj zbieżność i bezwzględnia zbieżność następujących szeregów:

∞

X

n=1

(−1) ^k sin ² k k ,

∞

X

n=1

cos _n ¹ √ n n ^p ,

∞

X

n=1

(−1) ⁿ

 n + 1

√ n ² + 100 − 1

 ,

∞

X

n=1

(−1) ⁿ [1 − n log[1 + 1/n]].

1

ANALIZA I R 11 stycznia 2016

Zadanie 4. Zbadać zbieżność następujących szeregów:

(1)

∞

X

n=1

1 nE( √

n) (2)

∞

X

n=1

1 1 − n(−1) ⁿ , (3)

∞

X

n=1

3n n



7 ⁻ⁿ (4)

∞

X

n=1

1 −

ⁿ

r

1 − 1 n

! ,

(5)

∞

X

n=1

 2 + n 1 + n ²

 p

(6)

∞

X

n=1

r 1 + 1

n − r

1 − 1 n

!

(7)

∞

X

n=1

n ⁿ + 1

n(n + 1) ⁿ (8)

∞

X

n=1

 3 − 2n 3 + 2n

 n

, (9)

∞

X

n=1

 1 − 1

√ n

 n

(10)

∞

X

n=1

( √

ⁿ

3 − 2) ⁿ , (11)

∞

X

n=1



10 − p √

ⁿ

5  n

(12)

∞

X

n=1

1

p(n + 1)(n + 2) · · · (n + n)

n

(13)

∞

X

n=1

n ⁿ⁺¹

(2n ² + n + 1)

ⁿ⁻¹²

(14)

∞

X

n=1

( √

n + 1 − √

⁴

n ² + n + 1) ^p (15)

∞

X

n=1

n! sin π

2 ⁿ (16)

∞

X

n=1

3

³

√ n

²

+1

2 ⁿ (17)

∞

X

n=1

(n − _2n ¹ ) ⁿ

n ⁿ⁻

²ⁿ¹

(18) P ∞

n=1 n ³ 3 ^{− √ n} (19)

∞

X

n=1

log(2n + 1)

n ^p (20)

∞

X

n=1

n ^{p+q log n} (21)

∞

X

n=3

(log log n) ^{− log n} (22)

∞

X

n=2

(log n) − log(log n)

(23)

∞

X

n=1

1

n log(1 + 1

n ) (24)

∞

X

n=1

(−1) ⁿ log(1 + 1 n ) (25)

∞

X

n=1

log n(n + 1)

n ² + 1 (26)

∞

X

n=1

log cos 1 n (27)

∞

X

n=1

sin π √

ⁿ

n ³ + n (28)

∞

X

n=1

sin π √ n ² + 1 (29)

∞

X

n=1

sin n ² π

n + 1 (30)

∞

X

n=1

sin n 2n − cos n (31)

∞

X

n=1

| sin na|

n + 1 (32)

∞

X

n=1

 1

n − 1

n + 5 sin n

 sin na

2

ANALIZA I R 11 stycznia 2016

Zadanie 5. Zbadać punktową, niemal jednostajną i jednostajną zbieżność ciągów funk- cyjnych:

(1) f n (x) := _1+n ⁿ

²3

^x x

²

, x ∈ R (2) f n (x) := _1+n ^nx

2

x

²

, x ∈ R, (3) f _n (x) := 1/(x + n), 0 < x < ∞, (4) f _n (x) := _1+nx ^nx

³2

, x ∈ R, (5) f _n (x) := _1+(x−n) ¹

2

, x ∈ R, (6) f _n (x) := nxe ⁻ⁿ

²

^x

²

, x ∈ R.

Zadanie 6. Zbadać zbieżność (punktową, niemal jednostajną i jednostajną) szeregu funkcyjnego:

(1) P ∞ n=1

n

²

x

n

⁷

+x

²

, x ∈ R (2) P ∞ n=1

√ 1+nx

²

x+n

²

, x ∈]0, +∞[, (3) P ∞

n=0

log(1+nx)

1+n

⁵

x

²

, x ∈ [0, ∞[, (4) P ∞ n=1

nx

1+n

⁵

x

²

, x ∈ [0, +∞[, Zadanie 7. Wiadomo, że

∞

X

n=1

1 n ² = π ²

6 ,

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁻¹ n ² = π ²

12 .

Dokonując stosownych podstawień i rozwijając funkcje podcałkową w szereg wykazać, że

Z ∞ 0

xdx

e ^x + 1 = π ²

12 , (b) Z ∞

0

xdx

e ^x − 1 = π ² 6 ,

Z ∞ 0

log(1 − e ^−x )dx = −π ² 6 . Zadanie 8. Zamieniając na szereg potęgowy obliczyć sumy szregów

(a)

∞

X

n=1

1

4n ² − 1 ; (b)

∞

X

n=1

2 ⁻ⁿ

n(n + 1) ; (c)

∞

X

n=1

(−2) ⁻ⁿ n(n + 1) ;

(d)

∞

X

n=1

1

n(2n + 1) ; (e)

∞

X

n=0

2 ⁻ⁿ

2n + 1 ; (f )

∞

X

n=0

(−3) ⁻ⁿ 2n + 1 ;

(g)

∞

X

n=0

(n + 2)

n(n + 1)2 ⁿ ; (h)

∞

X

n=0

2n ² − 5n − 1

2 ⁿ ; (i)

∞

X

n=0

15n ² − 4n + 1

2 ⁿ ;

(j)

∞

X

n=0

(−1) ⁿ

(3n + 1)(3n + 2) ; (k)

∞

X

n=0

(−1) ⁿ (2n + 1) (3n + 1)(3n + 2) ; (l)

∞

X

n=0

1

(2n + 1)(3n + 2) ;

(m)

∞

X

n=0

(−1) ⁿ (2n + 1)(3n + 2) .

3