19DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja. 1.

19DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

Definicja. 1. Jeśli h : R²→ R, a (X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości f(x, y) to

Eh(X, Y ) = Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

h(x, y)f (x, y)dxdy.

Jeśli natomiast (X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony na zbiorze SX,Y, to Eh(X, Y ) =

X

(x,y)∈S_X,Y

h(x, y)P (X = x, Y = y).

Twierdzenie. 1. Dla dowolnych zmiennych losowych X₁, . . . , X_n mamy E(X1+ . . . + X_n) = EX1+ . . . + EXn. Twierdzenie. 2. Jeśli X1, ..., Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi, to E(X¹· . . . · Xn) = EX¹· . . . · EXn

Definicja. 2. Kowariancją wektora losowego (X, Y ) nazywamy wyrażenie

Cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )] = E(XY ) − EXEY, o ile E|XY | < ∞.

Fakt. 3. Własności kowariancji:

a. Cov(X, X) = Var(X);

b. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X);

c. Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z);

d. Cov(aX + b, Y ) = aCov(X, Y );

e. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne to Cov(X, Y ) = 0 (oraz E(XY ) = EXEY )

UWAGA: Implikacja w drugą stronę nie jest prawdziwa – patrz zadanie A.1 lub przykład z wykładu.

Twierdzenie. 4. Jeśli VarX_i istnieje dla wszystkich zmiennych losowych X₁, . . . , X_n, to

Var(

n

X

i=1

Xi) =

n

X

i=1

VarXi+ 2 X

1¬i<j¬n

Cov(Xi, Xj).

Definicja. 3. Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y nazywamy wyrażenie

ρ(X, Y ) = Cov(X, Y )

√

VarX · VarY, o ile Cov(X, Y ) istnieje.

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Rozkład łączny (X, Y ) jest podany tabelą. Oblicz a) E(XY ), b) Cov(X, Y ), c) E(4X − 5Y²+ 20XY ).

H HH

HH X

Y −5 0 10

−6 ₁₅² 0 ₁₅¹

0 0 ₁₅³ ₁₅¹ 6 ₁₅¹ ₁₅⁶ ₁₅¹

Czy zmienne losowe X i Y są nieskorelowane? Czy są niezależne?

Zadanie A.2. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość łączną f (x, y) = x + y dla 0 < x, y < 1 oraz f (x, y) = 0 dla pozostałych x, y. Oblicz Cov(X, Y ), E(3X − 2Y²+ 6XY ) oraz Var(X + Y ).

Zadanie A.3. O zmiennych losowych X, Y, Z wiadomo, że EX = 4, EY = 3, EZ = 2; ponadto VarX = 1, VarY = 1, VarZ = 1, Cov(X, Y ) = −¹₂, Cov(X, Z) = −¹₂, Cov(Y, Z) = −¹₂.

Definiujemy T = X + Y + Z. Wyznacz

1

a. ET , VarT i rozkład zmiennej losowej T ; b. Cov(X + 3Z + 7, 2X + Y − 4);

c. E(X + 2Y )²

Zadanie A.4. Wyznacz Cov(X, Y ), jeśli VarX = 3, VarY = 2, a Var(X + 2Y ) = 15. Czy można rozstrzygnąć, czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

Zadanie A.5. Gęstość łączna zmiennych losowych X i Y wynosi f (x, y) = ¹_ye^−y−x/y dla x, y > 0 oraz f (x, y) = 0 dla pozostałych x, y. Oblicz Cov(X, Y ).

Zadanie A.6. Oblicz k, jeśli wiemy, że X₁i X₂są niezależne, VarX₁= k, VarX₂= 2, a Var(3X₂− X₁) = 25.

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE Zadanie B.1.

Wektory losowe (Xi, Yi), i = 1, 2, 3, 4, 5, mają rozkłady zadane tabelkami (zbiory, na których są skupione są na ilustracjach powyżej).

Y1 \ X1 -2 0 2

1 0 0 ¹₃

0 0 ¹₃ 0

−1 ¹

3 0 0

Y2 \ X2 -2 0 2

1 ¹₃ 0 0

0 0 ¹₃ 0

−1 0 0 ¹₃

Y3 \ X3 -2 0 2

1 ¹₉ ¹₉ ¹₉ 0 ¹₉ ¹₉ ¹₉

−1 ¹

9 1 9

1 9

Y4 \ X4 -2 0 2

1 0 ¹₆ ¹₆

0 ¹₆ ¹₆ 0

−1 ¹

6 0 ¹₆

Y5 \ X5 -2 0 2

1 ¹₆ 0 ¹₆

0 0 ¹₃ 0

−1 ¹

6 0 ¹₆

Wyznacz kowariancję i współczynnik korelacji dla każdego z wektorów losowych (Xi, Yi). Porównaj wyniki.

a) W którym przypadku istnieją stałe a i b takie, że Yi= aXi+ b. Ile wynosi wtedy współczynnik korelacji?

b) Które pary zmiennych losowych X_i i Y_i są niezależne? Ile wynosi dla nich kowariancja i współczynnik korelacji? Czy to przypadek?

c) Czy jeśli Cov(X_i, Y_i) = 0 (ρ(X_i, Y_i) = 0), to zmienne losowe X_i i Y_i są niezależne?

Zadanie B.2. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość łączną

f (x, y) =

(6(1 − x − y), dla 0 < y < 1 − x < 1, 0, w p.p.

Oblicz E(XY + 2X²).

Zadanie B.3. Wyznacz Cov(X, Y ), jeśli

a) VarX = 3, VarY = 2, a Cov(X + 2Y + 2, 2X + Y + 1) = 15;

b) Var(2X + 1) = 8, Var(X + Y ) = 13 oraz Cov(Y + 1, 4Y + X) = 23.

Zadanie B.4. Załóżmy, że X1, . . . , X4 są nieskorelowane, każda o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1. Oblicz (a) ρ(X1+ X2, X2+ X3), (b) ρ(X1+ X2, X3+ X4).

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI

Zadanie B.5. Wektor losowy (X, Y ) przyjmuje wartości (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2) z prawdopodobieństwami, odpowiednio, ₁₂¹,₁₂²,₁₂¹,₁₂³,₁₂⁴,₁₂¹. Oblicz ρ(X, Y ).

Zadanie B.6. Dla wektora losowego z gęstością

f (x, y) =

(6xy(2 − x − y) dla x ∈ [0, 1] oraz y ∈ [0, 1],

0 w przeciwnym przypadku

wyznacz Cov(X, Y ) oraz E(2XY + 3Y + 1).

2

Zadanie B.7. Oblicz E[(X − Y )²], jeśli X i Y są zmiennymi losowymi takimi, że EX = EY = µ, VarX = VarY = σ², Cov(X, Y ) = λ.

Zadanie B.8. Niech X1 i X2będą niezależne, EXⁱ = µi, VarXi= σ²_i, i = 1, 2. Wyznacz wzór na ρ(X1, X1− X2).

Zadanie B.9. Wyznacz ρ(X, Y ), jeśli VarX = 4, VarY = 2, a Var(X + 2Y ) = 15.

Zadanie B.10. Zmienne losowe Xi, i = 1, . . . , 4, są niezależne, każda o gęstości f (x) = 2x, 0 < x < 1. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję ich sumy.

C Zadania dla chętnych

W następnym zestawie.

3

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.1 a) Y1= 0, 5 · X1, dlatego ρ(X1, Y1) = 1; Y2= −0, 5 · X2, dlatego ρ(X2, Y2) = −1.

b) X3i Y3 są niezależne, dlatego Cov(X3, Y3) = 0 i ρ(X3, Y3) = 0.

c) NIE! X5 i Y5nie są niezależne ale Cov(X5, Y5) = 0 i ρ(X5, Y5) = 0 B.2 1/4

B.3 a) 1 b) 3 B.4 (a)1/2 (b)0 B.5 9√

3/√ 17 · 59 B.6 -1/144, 41/12 B.7 2σ²− 2λ B.8 σ1/pσ²₁+ σ²₂ B.9 3/8√

2

B.10 E(X¹+ X2+ X3+ X4) = 8/3, Var(X1+ X2+ X3+ X4) = 2/9

4