4.10.2018, kl 1b Trochę kombinatoryki
Zbiór złożony z elementów a1, a2, . . . , an oznaczamy zwykle przez {a1, . . . , an}. Kolejność elementów w zbiorze nie jest istotna, więc np {2, 6, 3} = {2, 3, 6} = {2, 3, 3, 6}. Często pracujemy ze zbirami nieskończo- nymi: symbole N, Z, R, Q oznaczają kolejno zbiory liczb naturalnych, całkowitych, rzeczywistych i wymier- nych. Często rozważamy konkretny podzbiór danego zbioru, scharakteryzowany pewną własnością. Na przykład {n ∈ N : istnieją x, y ∈ Z, takie że x2+ y2 = n} oznacza zbiór złożony z tych liczb naturalnych n, że n daje się przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów liczb całkowitych. Zbiór, który nie ma elementów nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy prze ∅. Uwaga, zbiór {∅} jest zbiorem jednoelementowym. Przez A × B oznaczamy iloczyn kartezjański zbiorów A i B, czyli zbiór par (uporządkowanych) (a, b), takich że a ∈ A, b ∈ B.
Zadanie 1. Wypisać elementy zbiorów {1, 2} × {1, 3}, {1, 2} × ∅. Czy {{1}} = {1}?
Zadanie 2. Wykazać, że {a, {a, b}} = {c, {c, d}} jedynie, jeśli a = c i b = d.
Ile różnych liczb 4 cyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, w których żadna cyfra nie występuje dwukrot- nie? Na ile sposobów można potasować talię 52 kart?
Liczbę uporządkowań (czyli permutacji ) zbioru n-elementowego oznaczamy symbolem n!.
Twierdzenie. n! = 1 · 2 · . . . · n, 0! = 1.
Zadanie 3. Ile jest permutacji zbioru {1, 2, 3, . . . , 10}, w których liczby 1, 2 stoją obok siebie?
Zadanie 4. Ile jest permutacji zbioru {1, 2, 3, . . . , 10}, w których liczby 1, 2, 3 stoją obok siebie?
Zadanie 5. Oblicz sumę wszystkich liczb siedmiocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Zadanie 6. Na ile sposobów można posadzić n osób przy okrągłym stole? Dwa sposoby uważamy za równoważne, jeśli w obu usadzeniach każdy ma tych samych sąsiadów po obu stronach.
Zadanie 7. Na ile sposobów można postawić k wież na szachownicy n × n tak, by żadne dwie nie biły się?
