RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 7

Definicja

Układem równań różniczkowych rzędu pierwszego w postaci normalnej nazywamy układ równań

 



 











) , , , , ( '

) , , , , ( '

) , , , , ( '

2 1

2 1 2

2

2 1 1

1

n n

n

n n

y y

y t f y

y y

y t f y

y y

y t f y









o niewiadomych y

₁

, y

₂

, … , y

_n

, (n > 1), t – zmienna niezależna.

Uwaga

Jeżeli n = 2, to zazwyczaj piszemy x, y

zamiast

y

₁

, y

₂

oraz

f, g

zamiast f

₁

, f

₂

(jeżeli n = 3 to piszemy x, y, z zamiast y , y , y oraz f, g, h zamiast f , f , f )

Układy równań różniczkowych

W notacji wektorowej układ równań różniczkowych ma postać

) , (

' f y

y  t

_,

gdzie

 

 





 

 







 

 





 

 







 

 





 

 







) , , , , (

) , , , , (

) , , , , ( )

, ( '

' ' '

2 1

2 1 2

2 1 1 2

1 2

1

n n

n n

n

n

f t y y y

y y

y t f

y y

y t f t

y y y

y y y











 y f y

y

Układy równań różniczkowych

Definicja

Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) układu równań nazywamy ciąg funkcji

(y

₁

(t), y

₂

(t), ... , y

_n

(t))

określonych i różniczkowalnych na przedziale

(a, b)

, które zamieniają wszystkie równania tego układu w tożsamości

 



 











)) ( , ), ( ), ( , ( )

( '

)) ( , ), ( ), ( , ( )

( '

)) ( , ), ( ), ( , ( )

( '

2 1

2 1

2 2

2 1

1 1

t y t

y t y t f t

y

t y t

y t y t f t

y

t y t

y t y t f t

y

n n

n

n n









na przedziale

(a, b).

Układy równań różniczkowych

Definicja

Układ równań różniczkowych

 



 











) , , , , ( '

) , , , , ( '

) , , , , ( '

2 1

2 1 2

2

2 1 1

1

n n

n

n n

y y

y t f y

y y

y t f y

y y

y t f y









oraz układ warunków

0 0

0 2 0

2 0

1 0

1

( t ) y , y ( t ) y , , y

_n

( t ) y

_n

y    

nazywamy zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem początkowym).

Liczby 2^{0 0}

0 1

0

, y , y , , y

_n

t 

nazywamy wartościami początkowymi.

W notacji wektorowej zagadnienie Cauchy’ego ma postać

0 0

)

( ),

, (

' f y y y

y  t t 

_.

Układy równań różniczkowych

Definicja

Ciąg funkcji

(y

₁

(t), y

₂

(t), ..., y

_n

(t))

jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego jeżeli jest rozwiązaniem układu równań na pewnym przedziale zawierającym punkt

t

₀ i spełnia warunki początkowe.

Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy’ego Rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego polega na wyznaczeniu krzywej w przestrzeni

n + 1 – wymiarowej, o przedstawieniu parametrycznym

y = y(t),

przechodzącej przez punkt o współrzędnych

( t

₀

, y

₁⁰

, y

₂⁰

,  , y

_n⁰

)

_.

Jeżeli dla n = 2 zmienna niezależna t reprezentuje czas, to układ równań opisuje wektor prędkości punktu poruszającego się w płaszczyźnie fazowej xOy.

Krzywa będąca rozwiązaniem układu, to trajektoria toru ruchu punktu.

Układy równań różniczkowych

Twierdzenie

Jeśli prawa strona f(t,y) w równaniu różniczkowym

)) ( , ) (

( t t

dt t

d y  f y

_,

_(*)

jest ciągła ze względu na zmienne t i y oraz ze względu na zmienną y spełnia warunek Lipschitza, tzn.

2 1 2

1 2

1

) , ( ) , ( ,

[ , ]

y y y

f y f y

y R





 



  

 ^{t t L}

R b

a t

L

^{n .}

to dla zadanego warunku początkowego y(t

0

) = y

0

istnieje otoczenie t

0,

w którym równanie (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie

^.

( - jest symbolem normy)

Układy równań różniczkowych

Definicja

Rodzinę funkcji wektorowych

 

 





 

 







) , , , , (

) , , , , (

) , , , , ( )

, , , , (

2 1

2 1 2

2 1 1

2 1

n n

n n

n

C C

C t y

C C

C t y

C C

C t y C

C C t









 y

,

zależnych od parametrów rzeczywistych

C

1

, C

2

, ..., C

nnazywamy rozwiązaniem ogólnym układu równań jeżeli:

każda funkcja wektorowa z tej rodziny jest rozwiązaniem szczególnym układu,

dla każdego układu warunków początkowych

( t

₀

, y

₀

)

_, dla którego rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne, można dobrać stałe

C

1

, C

2

, ..., C

n tak, aby

y ( t

0

, C

1

, C

2

,  , C

_n

)  y

0

.

(Każda funkcja wektorowa otrzymana z rozwiązania ogólnego przy ustalonych wartościach parametrów

C

₁

, C

₂

, ..., C

_n jest rozwiązaniem szczególnym układu równań.)

Układy równań różniczkowych

Jedną z metod rozwiązywania układów równań różniczkowych jest metoda eliminacji.

Polega ona na sprowadzeniu układu

n

równań pierwszego rzędu do równania różniczkowego rzędu

n

.

Przykład

Rozwiązać układ równań

 



 









dt x dy dt y dx

z warunkami początkowymi x ( 0 )  0 , y ( 0 )  1 _. Różniczkujemy pierwsze równanie

dt dy dt

x d

²₂



Wstawiamy do drugiego równania

2

0

2

 x  dt

x d

Stąd x  C

₁

sin t  C

₂

cos t , y  x '  C

₁

cos t  C

₂

sin t .

Uwzględniając warunki początkowe x  sin t , y  cos t .

Układy równań różniczkowych

Przykład

Rozwiązać układ równań

Różniczkujemy pierwsze równanie

dt dy dt

x d

²₂



Wstawiamy do drugiego równania

x x x

x x

x dt

x

d '

'

"

) ' (

²

2

2

  

Całkując obustronnie dostajemy

|

| ln

|

| ln

|'

|

ln x  x  C x '  C x

 



 





 x y dt dy dt y dx

2

Układy równań różniczkowych

Układy równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu

Definicja

Układem równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

 



 



































) ( )

( )

( )

( '

) ( )

( )

( )

( '

) ( )

( )

( )

( '

2 2

1 1

2 2

2 22 1

21 2

1 1

2 12 1

11 1

t b y t a y

t a y t a y

t b y t a y

t a y t a y

t b y t a y

t a y t a y

n n nn n

n n

n n

n n









Jeżeli wszystkie funkcje

b

₁

( t ), b

₂

( t ), ... , b

_n

( t )

są równe zeru, to układ nazywamy jednorodnym.

W przeciwnym przypadku układ nazywamy niejednorodnym.

Układy równań różniczkowych

W notacji wektorowej układ równań przyjmuje postać

) ( )

(

' A t y b t

y  

    













 









 

 







    





 

 







 

 





 

 





 

 





 

 







 

 





 

 





) (

) (

) (

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

' ' '

2 1 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1

t b

t b

t b

y y y

t a t

a t a

t a t

a t a

t a t

a t

a

y y y

n n

nn n

n

n n

n

Jeżeli współczynniki macierzy A (t) są stałe to układ nazywamy układem równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach.

) ( )

(

' A t y b t

y  

Układy równań różniczkowych

Twierdzenie

Jeżeli funkcje wektorowe y

₁

, y

₂

, … , y

_n

,

są rozwiązaniami układu liniowego jednorodnego, to ich kombinacja liniowa

y = C

₁

y

₁

+ C

₁

y

₂

+

… + C

_n

y

_n

,

jest też rozwiązaniem tego układu.

Jeżeli dodatkowo są liniowo niezależne (tworzą układ fundamentalny rozwiązań), to ich kombinacja liniowa jest rozwiązaniem ogólnym układu równań.

Twierdzenie

Rozwiązania y

₁

, y

₂

, … , y

_n

,

tworzą fundamentalny układ rozwiązań, jeżeli wyznacznik (wrońskian)

0 ...

...

...

...

| ,...

,

|

2 1

2 22

21

1 12

11

2

1

 



nn n

n

n n

n

y y

y

y y

y

y y

y

W y y y

jest różny od zera na przedziale określoności równania.

Układy równań różniczkowych

Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań metodą Eulera

Rozważamy układ równań

Ay

y '  (ma on rozwiązanie zerowe!) Szukamy rozwiązań niezerowych w postaci

R R

e

t ) 

^t

, 

ⁿ

,  

( v v

y

Wstawiając do równania dostajemy

0 )

(  



 A v A I v

v 

 e

^t

e

^t

Otrzymany układ równań posiada rozwiązanie niezerowe, gdy wyznacznik macierzy głównej układu jest równy zeru tzn.

0 ) det( A   I 

jest to tzw. równanie charakterystyczne układu (macierzy), jego rozwiązania, to wartości własne macierzy A , a odpowiadające im wektory v , to wektory własne macierzy .

Układy równań różniczkowych

Konstrukcja układu fundamentalnego zależy od następujących przypadków:

pierwiastki równania charakterystycznego są różne i rzeczywiste,

pierwiastki równania charakterystycznego są różne, ale są wśród nich pierwiastki zespolone,

wśród pierwiastków równania charakterystycznego występują pierwiastki wielokrotne.

Układy równań różniczkowych

Przykład (różne, rzeczywiste wartości własne) Rozwiązać układ równań















y x y

y x x

4 3 '

2 '

Macierz układu

 

 



  

 3 4

2 A 1

Równanie charakterystyczne

0 2 3 4 0

3

2 0 1

)

det(  

²

  







 



  



 I  A

Wartości własne



1

= 1, 

1

= 2.

Wyznaczamy wektory własne:

Dla



1

= 1, 



 





 

 

 





 





 

 











1 1 0

3 3

0 2

2

1 1 2

1 2

1

2 1

v v v

v v v

v

v v

Układy równań różniczkowych

Przykład (c. d.)

Dla



1

= 2, 



 





 





 

 











3 2 2

0 3 2

3

0 2

3

2 1

2 1

2

1

v v v

v v

v v

Drugie rozwiązanie szczególne t

t

y e

e

x  2

²

,   3

²

Rozwiązanie ogólne układu



 













t t

t t

e C e

C y

e C e

C x

2 2 1

2 2 1

3 2

Układy równań różniczkowych

Związek pomiędzy równaniem rzędu n i układem równań pierwszego rzędu

Równanie rzędu

n

w postaci normalnej

n n n

y y

y y

y y

y y t f y

3 2

1

) 1 ( )

( ( , , ' , " , ... , )









 ^

jest równoważne układowi równań rzędu pierwszego

 



 











) ,

...

, ,

, (

...

'

3 '

2

2 '

1

y y

y t f y

y y

y y

Układy równań różniczkowych

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ