Wykłady z matematyki inżynierskiej
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
JJ, IMiF UTP
08
DEFINICJA
Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to:
(?)
a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn = b2 ...
am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn = bm
OZNACZENIA
Macierz główna układu: A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n ... · · · . .. ... am1 am2 · · · amn
.
Macierz uzupełniona układu:
U =
a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2
... · · · . .. ... ... am1 am2 · · · amn bm
.
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
TWIERDZENIE.
I Układ (?) ma rozwia¸zanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(U);
I ponadto:
I gdy R(A) = R(U) = n, to układ ma dokładnie jedno rozwia¸zanie;
I gdy R(A) = R(U) = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwia¸zań zależnych od n − r parametrów.
UWAGA. W przypadku, gdy R(A) = R(U) = r , układ (?) jest równoważny układowi Cramera r równań z r niewiadomymi (oraz z n − r parametrami).
Twierdzenie Cramera
TWIERDZENIE.
Gdy m = n w układzie (?) oraz gdy det A 6= 0, to układ (nazywany wtedy układem Cramera) ma dokładnie jedno rozwia¸zanie opisane wzorami:
x1= det A1
det A , . . . , xn= det An
det A ,
gdzie Ai to macierz powstała przez zasta¸pienie w macierzy A kolumny i -tej kolumna¸ wyrazów wolnych.
Wzory Cramera
PRZYKŁAD. Stosuja¸c wzory Cramera rozwia¸ż układ:
x − y − z = 0 x + y + 2z = 1 5x − 2y − 4z = 5
.
det A =
1 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7, det A1 =
0 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7,
det A2 =
1 0 −1
1 1 2
5 5 −4
= −14, det A3 =
1 −1 0
1 1 1
5 −2 5
= 7,
zatem x = det Adet A1 = −7−7 = 1, y = −14−7 = 2, z = −77 = −1.
Wzory Cramera
PRZYKŁAD. Stosuja¸c wzory Cramera rozwia¸ż układ:
x − y − z = 0 x + y + 2z = 1 5x − 2y − 4z = 5
.
det A =
1 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7,
det A1 =
0 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7,
det A2 =
1 0 −1
1 1 2
5 5 −4
= −14, det A3 =
1 −1 0
1 1 1
5 −2 5
= 7,
zatem x = det Adet A1 = −7−7 = 1, y = −14−7 = 2, z = −77 = −1.
Wzory Cramera
PRZYKŁAD. Stosuja¸c wzory Cramera rozwia¸ż układ:
x − y − z = 0 x + y + 2z = 1 5x − 2y − 4z = 5
.
det A =
1 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7, detA1 =
0 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7,
det A2 =
1 0 −1
1 1 2
5 5 −4
= −14, det A3 =
1 −1 0
1 1 1
5 −2 5
= 7,
zatem x = det Adet A1 = −7−7 = 1, y = −14−7 = 2, z = −77 = −1.
Wzory Cramera
PRZYKŁAD. Stosuja¸c wzory Cramera rozwia¸ż układ:
x − y − z = 0 x + y + 2z = 1 5x − 2y − 4z = 5
.
det A =
1 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7, det A1 =
0 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7,
detA2 =
1 0 −1
1 1 2
5 5 −4
= −14,
det A3 =
1 −1 0
1 1 1
5 −2 5
= 7,
zatem x = det Adet A1 = −7−7 = 1, y = −14−7 = 2, z = −77 = −1.
Wzory Cramera
PRZYKŁAD. Stosuja¸c wzory Cramera rozwia¸ż układ:
x − y − z = 0 x + y + 2z = 1 5x − 2y − 4z = 5
.
det A =
1 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7, det A1 =
0 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7,
det A2 =
1 0 −1
1 1 2
5 5 −4
= −14, detA3 =
1 −1 0
1 1 1
5 −2 5
= 7,
zatem x = det Adet A1 = −7−7 = 1, y = −14−7 = 2, z = −77 = −1.
Wzory Cramera
PRZYKŁAD. Stosuja¸c wzory Cramera rozwia¸ż układ:
x − y − z = 0 x + y + 2z = 1 5x − 2y − 4z = 5
.
det A =
1 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7, det A1 =
0 −1 −1
1 1 2
5 −2 −4
= −7,
det A2 =
1 0 −1
1 1 2
5 5 −4
= −14, det A3 =
1 −1 0
1 1 1
5 −2 5
= 7,
zatem x = det Adet A1 = −7−7 = 1, y = −14−7 = 2, z = −77 = −1.
Metoda eliminacji
METODA ELIMINACJI (Gaussa)
polega na eliminowaniu kolejnych zmiennych z kolejnych równań.
PRZYKŁAD.
Rozwia¸ż układ równań:
x − y − z = 0 x + y + 2z = 1 5x − 2y − 4z = 5 metodą eliminacji.
( x − y − z = 0 x + y + 2z = 1 5x − 2y − 4z = 5
.
Na przykład pierwsze równanie dodajemy do drugiego oraz mnożymy przez −2 i dodajemy do trzeciego („eliminujemy y ”) otrzymuja¸c:
( 2x + z = 1 3x − 2z = 5 .
Teraz równanie pierwsze mnożymy przez 2 i dodajemy do drugiego („eliminujemy z”): 7x = 7.
Zatem x = 1 i, kolejno, z = −1, y = 2.
Metoda eliminacji w układzie Cramera n równań.
Nieco krótszą formą zapisu jest „pominięcie” niewiadomych.
Zamiast układu zapisujemy macierz uzupełnioną U - pamiętając, że liczby w pierwszej kolumnie to współczynniki przy pierwszej zmiennej, ... liczby w ostatniej kolumnie, to wyrazy po znaku „=”.
Działając tylko na wierszach:
I zamieniając wiersze miejscami,
I dzieląc lub mnożąc wszystkie wyrazy dowolnego wiersza przez dowolną stałą różną od zera,
I dodając do elementów dowolnego wiersza odpowiedne elementy innego wiersza pomnożone przez dowolną stała¸, doprowadzamy do macierzy, której każda z pierwszych n kolumn składa się z jednej jedynki i n − 1 zer (ewentualnie do macierzy,
Metoda eliminacji
PRZYKŁAD.
Rozwia¸ż układ równań:
x − y − z = 0 x + y + 2z = 1 5x − 2y − 4z = 5
Macierz uzupełniona tego układu to:
1 −1 −1 0
1 1 2 1
5 −2 −4 5
.
Metoda eliminacji
1 −1 −1 0
1 1 2 1
5 −2 −4 5
.
Postępujemy tak samo jak przy poprzedniej metodzie
rozwiązywania układu (to jedna z wielu możliwości). Pierwszy wiersz (odpowiadający pierwszemu równaniu) dodajemy do drugiego wiersza (odpowiadającego równaniu drugiemu) oraz mnożymy przez −2 i dodajemy do trzeciego wiersza:
1 −1 −1 0
2 0 1 1
3 0 −2 5
.
1 −1 −1 0
2 0 1 1
3 0 −2 5
Następnie wiersz drugi mnożymy przez 2 i dodajemy do trzeciego
1 −1 −1 0
2 0 1 1
7 0 0 7
oraz dzielimy wszystkie wyrazy trzeciego wiersza przez 7 otrzymując
1 −1 −1 0
2 0 1 1
1 0 0 1
.
1 −1 −1 0
2 0 1 1
1 0 0 1
Wyrazy trzeciego wiersza mnożymy przez −1 i dodajemy do odpowiednich wyrazów pierwszego wiersza oraz trzeci wiersz mnożymy przez −2 i dodajemy do wiersza drugiego
0 −1 −1 −1
0 0 1 −1
1 0 0 1
, drugi wiersz dodajemy do pierwszego
0 −1 0 −2
0 0 1 −1
1 0 0 1
, następnie wyrazy pierwszego wiersza
mnożymy przez −1 uzyskując
0 1 0 2
0 0 1 −1
.
Metoda eliminacji
Z otrzymanej macierzy
0 1 0 2
0 0 1 − 1
1 0 0 1
.
odczytujemy rozwiązania: y = 2, z = −1, x = 1.
Mogliśmy oczywiście zamienić wiersze miejscami uzyskując macierz:
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 −1
.
Jak wiemy, liczby w pierwszej kolumnie to współczynniki przy pierwszej zmiennej (w układzie równoważnym), liczby w drugiej kolumnie, to współczynniki przy drugiej zmiennej, ... liczby w ostatniej kolumnie, to wyrazy po znaku „=”.
Zatem x = 1, y = 2, z = 0.
Metoda eliminacji
Z otrzymanej macierzy
0 1 0 2
0 0 1 − 1
1 0 0 1
.
odczytujemy rozwiązania: y = 2, z = −1, x = 1.
Mogliśmy oczywiście zamienić wiersze miejscami uzyskując macierz:
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 −1
.
Jak wiemy, liczby w pierwszej kolumnie to współczynniki przy pierwszej zmiennej (w układzie równoważnym), liczby w drugiej kolumnie, to współczynniki przy drugiej zmiennej, ... liczby w ostatniej kolumnie, to wyrazy po znaku „=”.
Zatem x = 1, y = 2, z = 0.
Metoda eliminacji
Z otrzymanej macierzy
0 1 0 2
0 0 1 − 1
1 0 0 1
.
odczytujemy rozwiązania: y = 2, z = −1, x = 1.
Mogliśmy oczywiście zamienić wiersze miejscami uzyskując macierz:
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 −1
.
Jak wiemy, liczby w pierwszej kolumnie to współczynniki przy pierwszej zmiennej (w układzie równoważnym), liczby w drugiej kolumnie, to współczynniki przy drugiej zmiennej, ... liczby w ostatniej kolumnie, to wyrazy po znaku „=”.
Zatem x = 1, y = 2, z = 0.
Metoda eliminacji
Z otrzymanej macierzy
0 1 0 2
0 0 1 − 1
1 0 0 1
.
odczytujemy rozwiązania: y = 2, z = −1, x = 1.
Mogliśmy oczywiście zamienić wiersze miejscami uzyskując macierz:
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 −1
.
Jak wiemy, liczby w pierwszej kolumnie to współczynniki przy pierwszej zmiennej (w układzie równoważnym), liczby w drugiej kolumnie, to współczynniki przy drugiej zmiennej, ... liczby w ostatniej kolumnie, to wyrazy po znaku „=”.
Metoda macierzowa rozwiązywania układów Cramera
Gdy X =
x1
x2 ... xm
, B =
b1
b2 ... bm
, to układ (?) można
zapisać w postaci macierzowej
A · X = B.
Gdy jest to układ Cramera (det A 6= 0), to mnożąć lewostronnie (mnożenie macierzy nie jest przemienne) przez A−1 otrzymamy
A−1· A · X = A−1· B.
Jak wiadomo A−1· A = I oraz I · X = X , zatem X = A−1· B.
PRZYKŁAD.
Rozwiąż układ
x + 2y = 0
3x + 4y = 2 metodą macierzową
Układ ten zapisujemy w postaci macierzowej
"
1 2 3 4
#
·
"
x y
#
=
"
0 2
#
. Macierzą odwrotną do macierzy
A =
"
1 2 3 4
#
jest A−1 =
"
−2 1 3/2 −1/2
#
. Zatem
"
x y
#
=
"
−2 1
3 2 −12
#
·
"
0 2
#
=
"
−2 · 0 + 1 · 2
3
2· 0 − 12· 2
#
=
"
2
−1
# .
Rozwiązania to x = 2 oraz y = −1.
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
PRZYKŁAD. Rozwiąż układ
x + 5y = 1 2x + 4y = 1 3x + 3y = 1 4x + 2y = 1 5x + y = 2
.
Badamy rząd macierzy głównej i macierzy uzupełnionej układu.
R(A) = R
1 5 2 4 3 3 4 2 5 1
=2, R(U) = R
1 5 1 2 4 1 3 3 1 4 2 1 5 1 2
=3.
Koloroweminory są różne od zera. R(A) 6= R(U); układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązania).
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
PRZYKŁAD. Rozwiąż układ
x + 5y = 1 2x + 4y = 1 3x + 3y = 1 4x + 2y = 1 5x + y = 1
.
Badamy rząd macierzy głównej i macierzy uzupełnionej układu.
R(A) = R
1 5 2 4 3 3 4 2 5 1
= 2, R(U) = R
1 5 1 2 4 1 3 3 1 4 2 1 5 1 1
= 2 6= 3.
R(A) = R(U) = n =2; układ ma (dokładnie jedno) rozwiązanie.
Tworzymy układ Cramera (dwóch równań z dwiema
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Układ równoważny:
( x + 5y = 1 2x + 4y = 1 .
Oczywiście wyznacznik macierzy głównej tego układu
1 5 2 4
6= 0. Rozwiązujemy ten układ dowolną metodą (podstawiania, eliminacji, stosując wzory Cramera lub
„zgadywania”) otrzymując rozwiązanie:
x = 1
6, y = 1 6.
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
PRZYKŁAD. Rozwiąż układ
( x + 2y + 3z + 4t + 5u = 1 5x + 4y + 3z + 2t + u = 1 . Badamy rząd macierzy głównej i macierzy uzupełnionej układu.
R(A) = R
"
1 2 3 4 5 5 4 3 2 1
#
= 2,
R(U) = R
"
1 2 3 4 5 1 5 4 3 2 1 1
#
= 2.
R(A) = R(U) =2< n =5; układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych odtrzech(5−2) parametrów.
Tworzymy układ Crameradwóch równań z dwiema niewiadomymii trzema parametramirównoważny naszemu układowi. Jedną z możliwości jest przeniesienie trzech ostatnich niewiadomych na prawą stronę i potraktowanie ich jak parametrów.
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
PRZYKŁAD. Rozwiąż układ
( x + 2y+3z + 4t + 5u = 1 5x + 4y+3z + 2t + u = 1 . Badamy rząd macierzy głównej i macierzy uzupełnionej układu.
R(A) = R
"
1 2 3 4 5 5 4 3 2 1
#
= 2,
R(U) = R
"
1 2 3 4 5 1 5 4 3 2 1 1
#
= 2.
R(A) = R(U) =2< n =5; układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych odtrzech(5−2) parametrów. Tworzymy układ Crameradwóch równań z dwiema niewiadomymii trzema parametramirównoważny naszemu układowi. Jedną z możliwości jest przeniesienie trzech ostatnich niewiadomych na prawą stronę i potraktowanie ich jak parametrów.
PRZYKŁAD. Rozwiąż układ
x + 2y + 3z + 4t + 5u = 1 5x + 4y + 3z + 2t + u = 1 .
Podstawiamy (by wyglądały na parametry) z = λ, t = µ, u = η.
Układ równoważny:
( x + 2y = 1 − 3λ − 4µ − 5η 5x + 4y = 1 − 3λ − 2µ − η .
Oczywiście wyznacznik „nowej” macierzy głównej
1 2 5 4
jest różny od zera.
Rozwiązujemy układ dowolną metodą otrzymując:
1 2
PRZYKŁAD. Rozwiąż układ
x + 2y + 3z + 4t + 5u = 1 5x + 4y + 3z + 2t + u = 1 .
Rozwiązania
(dokładniej: nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od trzech parametrów):
x = −13 + λ + 2µ + 3η y = 23− 2λ − 3µ − 4η z = λ
t = µ u = η
,
gdzie λ ∈ R, µ ∈ R, η ∈ R.
Wektory własne
DEFINICJA. Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n, λ jest wartością własną tej macierzy, I jest macierzą jednostkową n-tego stopnia, a O to jednokolumnowa, n wierszowa macierz złożona z samych zer. Wektorem własnym macierzy A nazywamy każde rozwiązanie X =
x1
... xn
6= O równania (A − λI) · X = O.
PRZYKŁAD. Znajdź wektory własne macierzy A =
"
1 2 2 4
# . Wartościami własnymi tej macierzy są λ = 0 oraz λ = 5.
Dla λ
1= 0
A − λ1I =
"
1 2 2 4
#
− 0 ·
"
1 0 0 1
#
=
"
1 2 2 4
# . Rozwiązujemy równanie (A − λ1I) · X = O, czyli
"
1 2 2 4
#
·
"
x y
#
=
"
0 0
#
. Mamy więc do rozwiązania układ ( x + 2y = 0
2x + 4y = 0 . Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań (zależnych od jednego parametru):
x = µ, y = −1
2µ, µ ∈ R.
Nas interesują tylko µ ∈ R \ {0}.
Dla λ
2= 5
A − λ2I =
"
1 2 2 4
#
− 5 ·
"
1 0 0 1
#
=
"
−4 2 2 −1
# . Rozwiązujemy równanie
"
−4 2 2 −1
#
·
"
x y
#
=
"
0 0
# , czyli
( −4x + 2y = 0 2x − y = 0 . Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań:
x = η, y = 2η, η ∈ R. Nas interesują η ∈ R \ {0}.
Wybieramy, na przykład, µ = −2 oraz η = 1.
Wektorami własnymi macierzy A są
"
−2 1
# ,
"
1 2
#
oraz dowolne niezerowe krotności tych wektorów.
