w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(2)

16. Geometria analityczna w R

²

16.1. Wektory

Jeżeli A(x

₁

, y

₁

), B(x

₂

, y

₂

) ∈R

²

, wtedy wektor −−→

AB = [x

₂

− x

1

, y

₂

− y

1

].

Wersorem nazywamy wektor jednostkowy, tzn. wektor o długości 1.

Wektory ⃗i = [1, 0], ⃗j = [0, 1] nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY . Niech ⃗ u = [x

1

, y

1

], ⃗ v = [x

2

, y

2

], λ ∈ R.

• ⃗u + ⃗v = [x

1

+ x

2

, y

1

+ y

2

].

• ⃗u − ⃗v = [x

1

− x

2

, y

1

− y

2

].

• λ⃗u = [λx

1

, λy

1

].

Długość wektora ⃗ u jest określona wzorem

|⃗x| =

^√

x

²₁

+ y

₁²

.

^x

x

1

2

Iloczyn skalarny wektorów ⃗ u = [x

₁

, y

₁

], ⃗ v = [x

₂

, y

₂

] określamy wzorem

⃗

u ◦ ⃗v = x

1

x

₂

+ y

₁

y

₂

.

Jeżeli ⃗ u i ⃗ v są wektorami niezerowymi, to kąt φ między tymi wektorami możemy wyznaczyć z zależności

cos φ = ⃗ u ◦ ⃗v

|⃗u| · |⃗v| . Jeśli ⃗ u ̸= 0, ⃗v ̸= 0, to:

• ⃗u ∥ ⃗v ⇐⇒ x

1

y

2

= x

2

y

1

,

• ⃗u ⊥ ⃗v ⇐⇒ ⃗u ◦ ⃗v = 0.

Pole trójkąta ABC, gdzie A(x

1

, y

1

), B(x

2

, y

2

), C(x

3

, y

3

) wyraża się wzorem

P =

¹₂

det

[

x

2

− x

1

y

2

− y

1

x

₃

− x

1

y

₃

− y

1

]¹⁾

.

16.2. Prosta na płaszczyźnie

Równanie kierunkowe prostej ma postać

l : y = ax + b,

gdzie a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej l.

a = tg α, gdzie α jest kątem nachylenia prostej l do osi OX.

0 x

y

y=ax+b a

l

1) det

[a b

c d ]

= ad− bc

(3)

Kątem φ między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów, φ ∈ (0,

^π₂

]. Przyj- mujemy, że kąt między prostymi równoległymi jest równy 0.

0 x

y

l l

?

1 2

Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l

1

: y = a

1

x + b

1

, l

2

: y = a

2

x + b

2

.

• l

1

∥ l

2

⇐⇒ a

1

= a

₂

.

• l

1

⊥ l

2

⇐⇒ a

1

· a

2

= −1.

• Kąt φ między prostymi l

1

i l

₂

możemy wyznaczyć ze wzoru tg φ =

a

1

− a

2

1 + a

1

a

2

.

Równanie ogólne prostej

l : Ax + By + C = 0, gdzie A, B są współrzędnymi wektora prostopadłego do prostej.

Wektor ⃗ n = [A, B] nazywamy wektorem normalnym prostej l.

Równanie prostej przechodzącej przez punkt P (x

₀

, y

₀

) oraz prostopadłej do niezerowego wektora ⃗ n = [A, B] ma postać

l : A(x − x

0

) + B(y − y

0

) = 0.

Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l

1

: A

1

x + B

1

y + C

1

= 0, l

2

: A

2

x + B

2

y + C

2

= 0.

Wektory normalne tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ⃗ n

₁

= [A

₁

, B

₁

] i ⃗ n

₂

= [A

₂

, B

₂

]. Wtedy:

• l

1

∥ l

2

⇐⇒ ⃗n

1

∥ ⃗n

2

.

• l

1

⊥ l

2

⇐⇒ ⃗n

1

⊥ ⃗n

2

.

• Kąt φ między prostymi l

1

i l

2

możemy wyznaczyć ze wzoru cos φ = |⃗n

1

◦ ⃗n

2

|

|⃗n

1

| · |⃗n

2

| .

Odległość punktu P (x

₀

, y

₀

) od prostej l : Ax + By + C = 0 wyraża się wzorem d =

^|Ax√⁰^+By⁰^+C^|

A²+B²

. Równanie odcinkowe prostej ma postać

x a + y

b = 1,

gdzie a, b ̸= 0. Prosta ta przecina osie OX, OY układu współrzędnych odpowiednio w punktach

(a, 0), (0, b).

^x

y

Równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt P (x

0

, y

0

) oraz równoległej do niezerowego wektora ⃗ u = [a, b] ma postać

l : x − x

0

a = y − y

0

b .

(4)

Wektor ⃗ u nazywamy wektorem kierunkowym prostej l.

Uwaga! W mianownikach mogą pojawiać się zera, bo kreska nie jest tu symbolem dzielenia, tylko proporcji.

Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l

₁

:

^x^−x_a ¹

1

=

^y^−y_b ¹

1

, l

₂

:

^x^−x_a ²

2

=

^y^−y_b ²

2

.

Wektory kierunkowe tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ⃗ u

1

= [a

1

, b

1

] i ⃗ u

2

= [a

2

, b

2

]. Wtedy:

• l

1

∥ l

2

⇐⇒ ⃗u

1

∥ ⃗u

2

.

• l

1

⊥ l

2

⇐⇒ ⃗u

1

⊥ ⃗u

2

.

• Kąt φ między prostymi l

1

i l

₂

możemy wyznaczyć ze wzoru cos φ = |⃗u

1

◦ ⃗u

2

|

|⃗u

1

| · |⃗u

2

| .

Równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P (x

₀

, y

₀

) oraz równoległej do niezerowego wektora ⃗ u = [a, b] ma postać

l :

{

x = x

₀

+ at

y = y

0

+ b t, gdzie t ∈ R.

16.3. Okrąg, elipsa

Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r ma postać

(x − a)

²

+ (y − b)

²

= r

²

.

(a,b) y

x

Równanie elipsy o ogniskach a, b i środku w punkcie S(0, 0) jest postaci x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1.

y

a x b

16.4. Zadania

1. Obliczyć długość wektora −−→

AB, jeżeli A(1, −3), B(−4, 5).

2. Obliczyć odległość odcinka o końcach P = ( −1, −1) Q = (−5, 9) od początku układu współrzęd- nych.

3. Dane są punkty A(2, −1), B(1 − a, 2), C(3, 2 + a). Dla jakiej wartości parametru a wektory −−→

AB i −→

AC są prostopadłe?

(5)

4. Dane są wektory ⃗a = [3, 2], ⃗b = [2, −4]. Znaleźć (2⃗a ◦⃗b) oraz (⃗a ◦⃗b) · ⃗a.

5. Znaleźć długość wektora ⃗a = 3⃗ p − 2⃗q wiedząc, że |⃗p| = 1, |⃗q| = 2, ^(⃗p, ⃗q) =

^π₃

. 6. Znaleźć pole i kąty trójkąta o wierzchołkach: A = (0, 1), B = (2 √

3, 1), A = (0, 3).

7. Obliczyć pole kwadratu ABCD, w którym A( −1, 4), C(2, 3).

8. Znaleźć równanie symetralnej odcinka o końcach A = ( −5, 3), B = (9, 7).

9. Znaleźć odległość punktu P = (1, −1) od prostej 3x − 4y + 8 = 0.

10. Znaleźć punkt jednakowo odległy od prostej x + y + 1 = 0 i od punktów A = (1, 1) i B = (2, 1).

11. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(3, −2) i równoległej do prostej

^x₃

+

^y₄

= 1.

12. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2, 1) i prostopadłej do prostej

{

x = 1 + 2t y = 1 − t , t ∈ R.

13. Dla jakich wartości parametru p proste 3px − 8y + 13 = 0 i (p + 1)x − 2py − 21 = 0 są równoległe, a dla jakich prostopadłe?

14. Znaleźć punkt symetryczny do punktu P = (2, 3) względem prostej o równaniu x + 2y − 8 = 0.

15. Znaleźć kąt między prostymi 3x − 4y + 15 = 0 i 7x − y + 11 = 0.

16. Wyznaczyć współrzędne środka i promień okręgu opisanego równaniem x

²

+ y

²

+ 2x − 4y − 30 = 0.

17. Napisać równanie okręgu o środku w punkcie S = (2, −3) i promieniu r = 5.

18. Wyznaczyć równanie okręgu:

a) o środku w punkcie S(1, 0) i przechodzącego przez punkt P ( −7, −6), b) o promieniu r = 5 i przechodzącego przez punkty P (4, −3) i Q(5, 0).

19. Napisać równanie okręgu o środku S = (6, 7) o stycznego do prostej 5x − 12y − 24 = 0.

20. Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = ( −3, 0), B = (−1, 2), którego środek leży do prostej x − y − 2 = 0.

21. Wyznaczyć parametr m tak, aby punkt P = ( −1, m) należał do okręgu o równaniu x

²

+(y −1)

²

= 1.

22. Znaleźć punkt przecięcia okręgu x

²

+ y

²

− 3x + 5y − 4 = 0 z prostą x + 2y − 4 = 0.

23. Jakie jest położenie prostej 2x − y − 9 = 0 i elipsy 12x

²

+ 36y

²

= 432.

24. Znaleźć półosie elipsy danej równaniem: 4x

²

+ 9y

²

= 36.