EGZAMIN
z przedmiotu ÿMiara i prawdopodobie«stwo"
III termin, 7 marca 2005 roku Zadanie 1. Niech f; g :[2; +1); B[2;+1)
! (R; BR) b¦d¡ dane wzorami
f(x) = X1
n=1
( 1)n1l[n 1;n+2)(x);
g(x) =
8<
:
[x]2; x =2 N;
x; x 2 N:
Sprawd¹, jakie inkluzje zachodz¡ pomi¦dzy -algebrami (f) i (g).
Zadanie 2. Oblicz obj¦to±¢ zbioru
A =
(
(x; y; z); z2 x2
4 + y2; 2 ¬ z ¬ 0
)
:
Zadanie 3. Oblicz granic¦
n!1lim
Z
A
y +(sin x)yp n
!
ln 1 + pxy n
!pn
l2(dxdy);
gdzie
A = f(x; y) 2 R2; x 0; 0 < y < e xg:
Zadanie 4. Zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne. X ma rozkªad P (X = 2) = 13; P (X = 4) = 23; a Y ma rozkªad wykªadniczy z parametrem 3. Oblicz
P (XeY=X 4):
Zadanie 5. Niech X1; X2; : : : oraz Y1; Y2; : : : b¦d¡ dwoma ci¡gami niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadach, odpowiednio, geometrycznym z parametrem 15 oraz jedno- stajnym na przedziale0;2. Dodatkowo, dla ka»dego i zmienne Xi; Yi s¡ niezale»ne.
Wyznacz granic¦ P prawie wsz¦dzie i wedªug prawdopodobie«stwa ci¡gu Zn = 1
n
Xn i=1
(e Xi Yicos Yi):
