Funkcje ciągłe

Granica funkcji

Definicja

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i niech ∅ ≠ A ⊂ X. Powiemy, Ŝe x∈X jest punktem skupienia zbioru A (w sensie Cauchy’ego) jeŜeli w kaŜdej kuli K(x,ε) leŜy punkt zbioru A róŜny od x. (x nie musi być elementem zbioru A)

Precyzyjniej. Element x∈X nazywamy punktem skupienia (w sensie Cauchy’ego) zbioru A ⊂ X jeŜeli [PSC] ∀∀∀∀εεεε > 0 A ∩∩∩∩ K(x,ε) \ {x} ≠≠≠≠ ∅∅∅. ∅

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i niech ∅ ≠ A ⊂ X. Powiemy, Ŝe x∈X jest punktem skupienia zbioru A (w sensie Heinego) jeŜeli w kaŜdej kuli K(x,ε) leŜy punkt zbioru A róŜny od x. (x nie musi być elementem zbioru A)

Precyzyjniej. Element x∈X nazywamy punktem skupienia (w sensie Heinego) zbioru A ⊂ X jeŜeli

[PSH] ∃{x_n}_{n N} ⊂ A\{x}

∈ _nlim xⁿ

∞

→ = x

Uwaga. WykaŜemy w dalszej części wykładu, Ŝe warunki [PSC] i [PSH] są równowaŜne.

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A oznaczamy symbolem A^d.

Punkt zbioru A, który nie jest jego punktem skupienia nazywamy punktem izolowanym zbioru A.

Przykłady : A ≡ <2, 3) ∪ {4} → A^d = <2, 3> → i 4 jest punktem izolowanym zbioru A. 4∈A\A^d. A ≡ N → A^d = N ⁿ= ∅ → A\A^d = A

A ≡ { n

1}_n∈N → A^d = {0} → A\A^d = A.

Twierdzenie (o równowaŜności definicji punktów skupienia)

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i niech A ⊂ X oraz x∈X.

Warunki [PSC] i [PSH] są równowaŜne.

Dowód ([PSC] ⇒ [PSH])

Zakładamy, Ŝe x∈X jest punktem skupienia w sensie Cauchy’ego zbioru A. Mamy więc (*) ∀ε>0 A∩K(x,ε)\{x} ≠∅.

Definiujemy indukcyjnie pewien ciąg {x_n}_n∈N elementów zbioru A\{x}.

Dla n = 1 z (*) mamy A∩K(x,1)\{x} ≠∅. Niech x₁∈ A∩K(x,1)\{x} . Wówczas d(x,x₁)<1.

Dla n = 2 z (*) dla ε = 1

2 mamy: A∩K(x, 1

2 )\{x} ≠∅. Niech x₂∈ A∩K(x, 1

2 )\{x}. Wówczas d(x,x₂)< 1 2 .

ZałóŜmy Ŝe dla pewnego k∈N określiliśmy juŜ element x_k∈X o następującej własności:

(k) x_k∈ A∩K(x, 1

k )\{x} ∧ d(x,x_k)< 1 k . Z (*) dla ε = 1

k+1 mamy: A∩K(x, 1

k+1 )\{x} ≠∅. Niech x_k+1∈ A∩K(x, 1

k+1 )\{x}. Wówczas d(x,x₂)< 1 k+1 W ten sposób zdefiniowaliśmy indukcyjnie ciąg {x_n}_n∈N elementów zbioru A\{x} o następującej własności

(1) ∀n∈N x_n∈ A∩K(x, 1

n )\{x} ∧ d(x,x_n)< 1 n . WykaŜemy, Ŝe _n

n

x lim→∞ = x.

Z (1) mamy 0 ≤ d(x,x_n)< 1

n . PoniewaŜ n lim 1

n→∞ = 0, to z twierdzenia o granicy trzech ciągów wnioskujemy, Ŝe nlim→∞ d(x,x_n) = 0, co jak wiadomo równowaŜne jest temu, Ŝe _n

nlim x

∞

→ = x.

Dowód ([PSH] ⇒ [PSC]) Zakładamy, Ŝe

(**) _{{x } A\{x}}

N n

n ⊂

∃ ∈ n

nlim x

∞

→ = x Niech ε>0. Z (**) wnioskujemy, Ŝe (2) ∃k∈N ∀n ≥ k d(xn,x) < ε

Mamy: d(x_k , x) < ε, czyli x_k∈ K(x,ε) ∩ A\{x}.

Definicja (Heinego granicy funkcji w punkcie)

Niech (X,δ) i (Y,d) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅≠D⊂X. Niech f:D→Y i niech x_o∈X będzie punktem skupienia zbioru D. Powiemy, Ŝe funkcja f ma w punkcie xo∈X granicę g∈Y jeŜeli dla dowolnego ciągu elementów {x_n}_n∈N⊂ D\{x_o} spełniony jest warunek:

(*) _n

nlim x

∞

→ = x_o w (X,δ) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ =g.

Piszemy wtedy lim f(x)

xo

x→ = g. Mamy więc [GH] lim f(x)

xo

x→ = g ≡ _{{x } D\{x }}

N o n

n ⊂

∀ ∈ _n

n

x

lim→∞ = x_o w (X,δ) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ =g w (Y,d).

Definicja (Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie)

Niech (X,δ) i (Y,d) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅≠D⊂X. Niech f:D→Y i niech x_o∈X będzie punktem skupienia zbioru D. Powiemy, Ŝe funkcja f ma w punkcie xo∈X granicę g∈Y jeŜeli

[GC] ∀ε>0 ∃r >0 ∀x∈D 0 < δ(x,x_o) < r ⇒ d(f(x),g) < ε.

Piszemy wtedy lim f(x) xo

x→ = g. Mamy więc [GC] lim f(x)

xo

x→ = g ≡≡≡≡ ∀∀∀∀ε>0 ∃∃∃∃r >0 ∀∀∀∀x∈∈∈∈D 0 < δ(x,x_o) < r ⇒⇒⇒⇒ d(f(x),g) < ε .

W przypadku, gdy (X,δ) = (Y,d) = (R, de) powyŜszy warunek zapisać moŜemy w postaci (C) lim f(x)

xo

x→ = g ≡ ∀ε>0 ∃δ >0 ∀x∈D 0 < |x-x_o| < δ ⇒ |f(x)-g| < ε.

Twierdzenie (RównowaŜność definicji Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie)

Niech (X,δ) i (Y,d) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅≠D⊂X. Niech f:D→Y i niech x_o∈X będzie punktem skupienia zbioru D. Wówczas

(*) lim f(x)

xo

x→ = g ⇔ ^{lim' f(x)}

xo

x→ = g

Dowód (H⇒C) ZałóŜmy, Ŝe (H) lim f(x)

xo

x→ = g ≡ _{{x } D\{xo}}

N n

n ⊂

∀ ∈ _n

nlim x

∞

→ = xo w (X,δ) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ =g w (Y,d).

Przypuśćmy, Ŝe g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie xo. Mamy wówczas (1) ∃ ε>0 ∀r >0 ∃x∈D 0 < δ(x,x_o) < r ∧ d(f(x),g) ≥ ε .

Pozwala to na skonstruowanie (analogicznie jak w dowodzie tw.10.1) ciągu {xn}_n∈N ⊂ D\{xo} o poniŜszej własności

(2) ∀ n∈N ∃x∈D 0 < δ(x_n,x_o) < 1

n ∧ d(f(x_n),g) ≥ ε .

Z (2) i twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, Ŝe _{n o}

nlim δ(x ,x

∞

→ ) = 0 a wiec _n

nlim x

∞

→ = x_o w (X,δ).

Z (H) mamy więc (3) lim f(x_n)

n→∞ =g w (Y,d).

a to przeczy (1). Udowodniliśmy więc, Ŝe (*) lim f(x)

xo

x→ = g ⇒ _{lim' f(x)}

xo

x→ = g.

Dowód (C⇒H) ZałóŜmy, Ŝe (C) lim' f(x)

xo

x→ = g ≡ ∀ε>0 ∃r >0 ∀x∈D 0 < δ(x,x_o) < r ⇒ d(f(x),g) < ε . Niech {x_n}_n∈N⊂D\{x_o} i niech _n

n

x

lim→∞ = x_o w (X,δ) oraz ε > 0. Dla liczby r > 0 z (C) mamy więc (4) ∃k∈R ∀n≥k 0<δ(xn,xo) < r

Stąd wobec (C) mamy (5) ∃k∈R ∀n≥k d(f(xn),g) < ε Udowodniliśmy więc, Ŝe lim f(x_n)

n→∞ =g w (Y,d) , czyli warunek (H).

Uwaga

W związku z powyŜszym twierdzeniem granicę funkcji w sensie Cauchy’ego zapisywać będziemy tak jak w sensie Heinego.

Twierdzenie

Niech (X,d) będzie zupełną przestrzenią metryczną i niech ∅≠D⊂X. Niech f:D→X i niech x_o∈X będzie punktem skupienia zbioru D. Wówczas na to by istniał element g∈X taki, Ŝe lim f(x)

xo

x→ = g potrzeba i wystarcza aby funkcja f spełniała poniŜszy warunek (Cauchy’ego)

∀ε>0 ∃r >0 ∀x,y∈D 0 < d(x,xo) < r ∧ 0 < d(y,xo) < r ⇒ d(f(x),f(y)) < ε . Dowód (Kołodziej)

Granice funkcji o wartościach liczbowych

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. PoniŜej rozwaŜać będziemy funkcje określone na pewnych podzbiorach D ⊂ X i o wartościach w przestrzeni unormowanej (K, | |), gdzie K=R lub K=C.

Twierdzenie

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną , ∅≠D⊂X i f:D→K oraz g:D→K i niech a będzie punktem skupienia zbioru D. Wówczas jeŜeli istnieją granice

a xlim

→ f(x) ∈K i

a xlim

→ g(x)∈K, to

(1)

a xlim

→ (f+g)(x) =

a xlim

→ f(x) +

a xlim

→ g(x) (2) ∀c∈K

a xlim

→ cf(x) = c

a xlim

→ f(x) (3)

a xlim

→ (fg)(x) =

a xlim

→ f(x)

a xlim

→ g(x)

(4) JeŜeli ∀x∈D g(x)≠0 ∧

a xlim

→ g(x)≠0, to

a xlim

→

f

g (x) = ^{x a} lim→ f(x)

a xlim

→ g(x) (5)

a xlim

→ |f|(x) = |

a xlim

→ f(x)|

Dowód (4)

Niech {x_n}_n∈N ⊂D\{x_o} i niech _n

nlim x

∞

→ = x_o w (X,d) i niech

a xlim

→ f(x) ≡g oraz

a xlim

→ g(x)≡h. Wobec definicji Heinego mamy więc

(1) lim f(x_n)

n→∞ = g ∧ ^{lim g(x}n⁾ n→∞ =h

Z twierdzenia o granicy ilorazu ciągów mamy

h g ) x ( g

) x ( lim f

n n

n =

∞

→ ,czyli z definicji Heinego

h g ) x ( g

) x ( lim f

a

x =

→ , co

kończy dowód.

Twierdzenie

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną , ∅≠D⊂X i f:D→C.

a xlim

→ f(x) = g ⇔

a xlim

→ Ref(x) = Re(g) ∧

a xlim

→ Imf(x) = Im(g).

Dowód (samodzielnie)

Granice funkcji o wartościach rzeczywistych

Definicja

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i ∅≠D⊂X, f:D→R i a punkt skupienia zbioru D.

Definiujemy

a xlim

→ f(x) = ∞≡ _{{x } D\{xo}}

N n

n ⊂

∀ ∈ _n

nlim x

∞

→ = xo w (X,δ) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ = ∞.

a xlim

→ f(x) = -∞≡ _{{x } D\{x }}

N o n

n ⊂

∀

∈ _n

nlim x

∞

→ = x_o w (X,δ) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ = -∞.

Granice funkcji zmiennej rzeczywistej Definicja

Niech (Y,d) będzie przestrzenią metryczną i niech ∅≠D⊂R. ZałóŜmy przy tym, Ŝe istnieje choć jeden ciąg {xn}_n∈N⊂ D taki, Ŝe _n

nlim x

∞

→ = ∞ ( _n

nlim x

∞

→ = -∞). Niech f:D→Y.

Definiujemy

∞

→

xlim f(x) = g∈Y ≡ _{{x } D}

N n

n ⊂

∀ ∈ _n

nlim x

∞

→ = ∞ w (R,| |) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ = g w (Y,d) [x→lim−∞f(x) = g∈Y ≡ _{{x } D}

N n

n ⊂

∀ ∈ _n

nlim x

∞

→ = -∞ w (R,| |) ⇒ _{lim f(xn)}

n→−∞ = g w (Y,d)]

Granice jednostronne Definicja

Niech ∅≠D⊂R. Powiemy, Ŝe a∈R jest lewostronnym (prawostronnym) punktem skupienia zbioru D jeŜeli istnieje ciąg {x_n}_n∈N⊂ D taki, Ŝe _n

nlim x

∞

→ = a i ∀n∈N x_n < a (∀n∈N x_n > a).

Piszemy wówczas a∈ D^d_– (a∈D^d₊)

Łatwo sprawdzić, Ŝe a∈ D^d–⇔∀ε>0 (a-ε,a)3D ≠∅. [a∈D^d+⇔∀ε>0 (a,a+ε)3D ≠∅].

Definicja

Niech (Y,d) będzie przestrzenią metryczną i niech ∅≠D⊂R. Niech f:D→Y i niech a∈D^d_– (a∈D^d₊) Powiemy, Ŝe g∈Y jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f w punkcie a jeŜeli

(*) ∀{x_n}_n∈N⊂ D ( _n

nlim x

∞

→ = a ∧∀n∈N x_n < a) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ = g.

((**) ∀{xn}_n∈N⊂ D ( _n

nlim x

∞

→ = a ∧∀n∈N xn > a) ⇒ _{lim f(xn)}

n→∞ = g.) Piszemy wtedy

→a+ x

lim f(x) = g (

→a− x

lim f(x) = g ).

JeŜeli (Y,d) = (R,| |), to analogicznie definiujemy granice jednostronne dla g = ∞ i g = -∞.

Twierdzenie (o granicach jednostronnych)

Niech (Y,d) będzie przestrzenią metryczną i niech ∅≠D⊂R. Niech a będzie punktem skupienia zbioru D i f:D→Y

Na to by istniała granica

a xlim

→ f(x) = g∈Y potrzeba i wystarcza, by istniały granice

→a+ x

lim f(x),

→a− x

lim f(x) i miała miejsce równość

→a+ x

lim f(x) =

→a− x

lim f(x) = g.

Dowód (warunek konieczny) Zakładamy, Ŝe

(1) g ≡

a x

lim→ f(x)

Niech {x_n}_n∈N⊂ D ( _n

nlim x

∞

→ = a ∧∀n∈N x_n < a).

Z (1) dla ciągu {x_n}_n∈N mamy lim f(x_n)

n→∞ = g, więc

→a− x

lim f(x) = g. Analogicznie

→a+ x

lim f(x) = g.

Dowód (warunek wystarczający) ZałóŜmy teraz, Ŝe istnieją granice

→a+ x

lim f(x) ,

→a− x

lim f(x) i ma miejsce równość (2) x→a+

lim f(x) =

→a− x

lim f(x) = g.

Niech {x_n}_n∈N⊂ D\{a} i _n

nlim x

∞

→ = a.

ZauwaŜmy, Ŝe co najmniej jedną z nierówności:

(3) x_n < a ; x_n >a

spełnia nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x_n}_n∈N.

RozwaŜmy przypadki:

(i) obie nierówności w (3) spełnia nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x_n}_n∈N.

Niech {x_k }_{n N}

n ∈ , {x_s }_{n N}

n ∈ będą podciągami ciągu {x_n}_n∈N takimi, Ŝe {x_k }_{n N}

n ∈ 4{xs }n N

n ∈ = {x_n}_n∈N spełniającymi odpowiednio nierówności

kn

x < a ;

sn

x >a.

Niech ε>0. Wobec (2) dla tej liczby oraz {x_k }_{n N}

n ∈ , {x_s }_{n N}

n ∈ mamy (3) ∃p∈R ∀n≥p d(f(

kn

x ),g) < ε (4) ∃r∈R ∀n≥r d(f(

sn

x ),g) < ε.

Niech q ≡ max{r,p}. Niech n≥q . Oczywiście, dla pewnego m∈N mamy (5) n = k_m lub n = s_m

PoniewaŜ x_n =

kn

x lub x_n =

sn

x , oraz k_m = n ≥ q ≥ p lub s_m = n ≥ q ≥ r, to z (3) i (4) mamy d(f(x_n)) < ε, czyli lim f(x_n)

n→∞ = g, a więc

a xlim

→ f(x) = g.

(ii) nierówność x_n >a spełnia co najwyŜej skończona ilość wyrazów.

Wówczas nierówność x_n < a spełnia nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x_n}_n∈N. Niech {x_k }_{n N}

n ∈ będzie podciągiem ciągu {x_n}_n∈N powstałym z niego przez opuszczenie wszystkich ewentualnych wyrazów, które spełniają nierówność

x_n >a. Ciągi {x_n}_n∈N, {x_k }_{n N}

n ∈ róŜnią się tylko co najwyŜej skończoną ilością wyrazów.

Dla ciągu {x_k }_{n N}

n ∈ mamy wobec (2) (5) lim f(x_kn)

n→∞ = g

poniewaŜ ciągi {x_n}_n∈N, {x_k }_{n N}

n ∈ róŜnią się tylko co najwyŜej skończoną ilością wyrazów mamy teŜ (6) lim f(x_n)

n→∞ =g.

Stąd

a xlim

→ f(x) = g.

(iii) nierówność x_n < a spełnia co najwyŜej skończona ilość wyrazów.

Analogicznie jak wyŜej otrzymujemy

a xlim

→ f(x) = g.

Twierdzenie

Niech (Y,d) będzie przestrzenią metryczną i niech ∅≠D⊂R. Niech a ∈D^d. Na to by istniała granica

a xlim

→ f(x) = ∞ potrzeba i wystarcza, by istniały granice

→a+ x

lim f(x)

→a− x

lim f(x) i miała miejsce równość

→a+ x

lim f(x) =

→a− x

lim f(x) = ∞. Analogicznie dla -∞.

Dowód (róŜni się drobnymi szczegółami technicznymi od dowodu poprzedniego twierdzenia)

Funkcje ciągłe

Definicja

Niech (X,d), (Y,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X i f:D→Y. Powiemy, Ŝe funkcja f jest ciągła w punkcie a∈D jeŜeli

[CH] ∀∀∀∀{xn}_{n∈∈∈∈N} ⊂⊂ D ⊂⊂

∞

→

nlim xn = a ⇒⇒⇒⇒

∞

→

nlim f(xn) = f(a).

[CC] ∀∀∀∀ε>0 ∃∃∃∃r>0 ∀∀x∈∀∀ ∈∈D d(x,a) <r ∈ ⇒⇒⇒⇒ δ(f(x),f(a)) < ε.

Uwaga 1

RównowaŜności warunków [CC] i [CH] dowieźć moŜna zupełnie analogicznie jak [GH] i [GC]

Uwaga 2

ZauwaŜmy, Ŝe jeŜeli a∈D^d , to z (*) wynika, Ŝe

a xlim

→ f(x) = f(a).

Istotnie, jeŜeli dla dowolnego ciągu {x_n}_n∈N ⊂ D

∞

→ n

lim x_n = a ⇒

∞

→ n

lim f(x_n) = f(a), to tym bardziej dla ciągów {x_n}_n∈N ⊂ D\ {a} prawdziwa jest implikacja

∞

→

nlim x_n = a ⇒

∞

→

nlim f(x_n) = f(a).

WykaŜemy, Ŝe jeŜeli dla a∈D^d , mamy

a xlim

→ f(x) = f(a), to f jest ciągła w punkcie a ∈ D.

Twierdzenie

Niech (X,d), (Y,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅≠ D ⊂ X i f:D→Y oraz niech a∈D∩D^d. JeŜeli

a xlim

→ f(x) = f(a), to f jest ciągła w punkcie a ∈ D.

Dowód

Zakładamy, Ŝe (1) a∈D∩D^d

oraz (2)

a xlim

→ f(x) = f(a) [∀{x_n}_n∈N ⊂ D\{a}

∞

→

nlim x_n = a ⇒

∞

→

nlim f(x_n) = f(a)]

NaleŜy wykazać, Ŝe (*) ∀{xn}_n∈N ⊂ D

∞

→

nlim xn = a ⇒

∞

→

nlim f(xn) = f(a).

Niech {x_n}_n∈N ⊂ D oraz (3) nlim→∞x_n = a

WykaŜemy, Ŝe (**)n→∞

lim f(x_n) = f(a) [∀ε > 0 ∃s∈N ∀n≥s δ( f(x_n) , f(a) ) < ε ] RozwaŜmy przypadki

(i) Prawie wszystkie wyrazy ciągu {x_n}_n∈N ⊂ D równe są elementowi a (czyli tylko co najwyŜej skończona ilość wyrazów ciągu {xn}n∈N ⊂ D róŜna jest od a.

(ii) Po opuszczeniu w ciągu {xn}_n∈N ⊂ D wyrazów równych elementowi a, zostaje w nim nieskończona ilość wyrazów (siłą rzeczy róŜnych od a). Istnieje więc podciąg

{ }

∈ ciągu {x_n}_n∈N ⊂ D złoŜony z wyrazów róŜnych od a.

Ad(i)

W tym przypadku prawie wszystkie wyrazy ciągu { f(x_n} }_n∈N ⊂ D równe są elementowi f(a), czyli

∞

→

nlim f(x_n) =

∞

→

nlim f(a) = f(a), co kończy dowód (*) w przypadku (i).

Ad (ii)

Mamy tu wobec (3)

(4) nlim→∞ x_kn= a ∧

{ }

∈ ⊂ D\{a}

więc wobec (2) (5) n→∞

lim f(x_kn) = f(a) [ ∀ε > 0 ∃s∈N ∀n≥s δ( f(x_kn) , f(a) ) < ε ].

Przystępujemy do dowodu (**) Niech ε > 0. Wobec (5) mamy (6) ∃s∈N ∀n≥s δ( f(x_kn) , f(a) ) < ε Niech n ≥ k_s.

RozwaŜmy przypadki (iii) n ∈

{ }

∈ ( ∃ m ∈ N k_m = n ≥ k_s , wiec teŜ m ≥ s ) (iv) n ∉

{ }

∈ ( wobec definicji tego podciągu x_n = a ) Ad (iii)

Mamy wobec (6) z racji m ≥ s (7) δ( f(x_n) , f(a) ) = δ( f(x_km) , f(a) ) < ε Ad (iv)

Tu

(8) δ( f(x_n) , f(a) ) = δ( f(a) , f(a) ) = 0 < ε.

Zestawienie podstawowych informacji i granicy i ciągłości funkcji

Granica I ciągłość funkcji sensie Cauchy’ego

Niech (X, δ) i (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅≠D⊂X. ^{Niech f:D}→Y.

a∈∈∈∈D^d [GC] lim f(x) a

x→ = ∀∀∀∀ε>0 ∃∃∃∃r >0 ∀∀x∈∀∀ ∈∈D∈ 0 < δ(x,a) < r ⇒⇒⇒⇒ d( f(x), g ) < ε . a∈∈∈D ∈ F ciągła w a ∈D ∀∀ε>0 ∀∀ ∃∃∃∃r >0 ∀∀x∈∀∀ ∈∈∈D δ(x,a) < r ⇒⇒⇒⇒ d( f(x), f(a) ) < ε .

Granica I ciągłość funkcji sensie Heinego

Niech (X, δ) i (Y, d) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅≠D⊂X. Niech f:D→Y.

a∈∈∈∈D^d [GH] lim f(x) a

x→ = ∀∀∀∀{xn}_{n∈∈∈∈N} ⊂⊂ D\{a} ⊂⊂

∞

→

nlim xn = a ⇒⇒⇒⇒

∞

→

nlim f(xn) = g.

a∈∈∈∈D F ciągła w a ∈D ∀∀∀∀{xn}_{n∈∈∈∈N} ⊂⊂ D ⊂⊂

∞

→

nlim xn = a ⇒⇒⇒⇒

∞

→

nlim f(xn) = f(a).

Istotne róŜnice między ciągłością a granicą sensie Heinego

G. Granice - wyłącznie w punktach skupienia zbioru D (dziedziny funkcji), które do zbioru D naleŜeć mogą, ale nie muszą.

C. Ciągłość – wyłącznie w punktach zbioru D (dziedziny funkcji), które mogą, ale nie muszą być punktami skupienia zbioru D.

GC. Implikacja „ 0 < δ(x,a) < r ⇒⇒⇒⇒ d( f(x), g ) < ε” dla elementów ze zbioru D∩∩∩∩K(a,r)\{a}

CC. Warunek „

∞

→ n

lim xn = a ⇒⇒⇒⇒

∞

→ n

lim f(xn) = f(a)” dla elementów wszystkich elementów z D∩∩∩K(a,r) ∩

GH. Warunek „

∞

→ n

lim xn = a ⇒⇒⇒⇒

∞

→ n

lim f(xn) = g” dla wszystkich ciągów {xn}_{n∈∈∈∈N} ⊂⊂ D\{a} ⊂⊂

CH. Warunek „

∞

→

nlim xn = a ⇒⇒⇒⇒

∞

→

nlim f(xn) = f(a)” dla wszystkich ciągów {xn}_{n∈∈∈∈N} ⊂⊂ D ⊂⊂

Przypomnijmy Uwaga 2

ZauwaŜmy, Ŝe jeŜeli a∈∈∈D∈ ^d , to z definicji Heinego (równieŜ Cauchy’ego) natychmiast wynika, Ŝe

a xlim

→ f(x) = f(a).

Tak więc

Uwaga 2 JeŜeli a∈D∩D^d , to [CH] ⇒

a xlim

→ f(x) = f(a).

Twierdzenie

Niech (X,d), (Y,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅≠ D ⊂ X i f:D→Y oraz niech a∈D∩D^d. JeŜeli

a xlim

→ f(x) = f(a), to f jest ciągła w punkcie a ∈ D.

Twierdzenie JeŜeli a∈D∩D^d , to

a xlim

→ f(x) = f(a) ⇒ [CH]

Zestawiając uwagę 2 i powyŜsze twierdzenie, otrzymujemy

Wniosek JeŜeli a∈D∩D^d , to

a xlim

→ f(x) = f(a) ⇔ [CH]

Czyli w ramach punktów dziedziny funkcji, które są jej punktami skupienia ciągłość funkcji w punkcie a∈D∩D^d równowaŜna jest temu, Ŝe f ma granicę w punkcie a równą

jej wartości w tym punkcie.

Twierdzenie (o ciągłości w punktach izolowanych)

Niech (X,d), (Y,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X i f:D→Y.

JeŜeli a∈D\D^d , to f jest ciągła w punkcie a.

Dowód … (z tablicy czarnej na wykładzie)

Wobec powyŜszych rozwaŜań otrzymujemy poniŜsze twierdenie.

Twierdzenie (ZaleŜność między granicą a ciągłością funkcji w punkcie)

Niech (X,d), (Y,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X i f:D→Y. Wówczas

f:D→→→→Y jest ciągła w a∈∈∈∈D ⇔⇔ a∈⇔⇔ ∈∈∈D\D^d ∨∨∨∨

a xlim

→ f(x) = f(a).

Twierdzenie (o ciągłości superpozycji)

Niech (X,d), (Y,δ), (Z,α) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X.

Niech f:D→Y i g:f(D)→Z.

JeŜeli funkcja f jest ciągła w a∈D (w zbiorze E⊂D) i funkcja g jest ciągła w b=f(a) (w zbiorze G takim,

Ŝe f(E)⊂G), to superpozycja g○f jest ciągła w punkcie a∈D.

Dowód

Niech {xn}n∈N⊂D i

∞

→

nlim xn = a. Wobec ciągłości f w punkcie a∈D mamy (1) nlim→∞f(xn) = f(a) = b

Wobec ciągłości g w punkcie b z (1) mamy (2) nlim→∞g(f(xn)) = g(f(a)) = g(b).

a to oznacza ciągłość g○f w punkcie a oraz ciągłość f○g w zbiorze E jeŜeli przyjmiemy, Ŝe a∈E.

Twierdzenie (O ciągłości działań na funkcjach)

Niech (X,d), (K,δ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech ∅ ≠ D ⊂ X i f,g:D→K, gdzie K=R lub K=C i δ jest naturalną metryką w K.

JeŜeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie a∈D (w zbiorze E⊂D), to ciągłe są równieŜ funkcje:

|f|, f+g, f

g, f/g

JeŜeli K=C to ciągłość funkcji f jest równowaŜna ciągłości funkcji Re(f), Im(f).

Dowód ( wynika z własności granic).

Dla dowolnej z wymienionych w tezie twierdzenia funkcji (

|f|, f+g, f

g, f/g

∈

∈

∩

⊂

∞

→

nlim xn = a, to wobec załoŜonej ciągłości f i g mamy

∞

→

nlim f(xn) = f(a) oraz

∞

→

nlim g(xn) = g(a)

własności granic ciągów (tw. o ciągłości modułu, tw. O granicy sumy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieŜnych) mamy w ślad za tym:

∞

→

nlim (

|f(x

)| = |f(a)| ,

∞

→

nlim (

f+g)(x

) =

∞

→

nlim (

f(x

)+g(x

)) =f(a)+g(a) = (f+g)(a) , f

g, f/g

∞

→

nlim (

f

g)(x

) =

∞

→

nlim (

f(x

)

g(x

)) =f(a)

g(a) = (f

g)(a)

∞

→

nlim (

f/g)(x

) =

∞

→

nlim (

f(x

)/g(x

)) =f(a)/g(a) = (f/g)(a).

Twierdzenie (O ciągłości funkcji elementarnych)

Funkcje elementarne (wielomiany, funkcje wymierne, niewymierne, potęgowe, wykładnicze, trygonometryczne, cyklometryczne, funkcja „moduł”) są funkcjami ciągłymi.

Dowód

WykaŜemy, Ŝe wielomiany i funkcje wymierne są funkcjami ciągłymi.

Dowody dla niektórych wymienionych wyŜej funkcji będą na ćwiczeniach.

Pozostałe znaleźć moŜna np. w „Kołodzieju”.

Niech c∈R. ZauwaŜmy, Ŝe funkcja f:R→R określona wzorem ∀x∈R f(x) ≡ c jest ciągła, bo dla dowolnego a∈R mamy

(1)

a x

lim→ f(x) = c = f(a), czyli funkcje stale są ciągłe.

Funkcja id_R jest ciągła (id_R:R→R ∀x∈R id_R(x) ≡ x), bo dla dowolnego a∈R mamy (2)

a xlim

→ id_R(x) =

a xlim

→ x = a = id_R(a).

PoniewaŜ wielomiany są sumami jednomianów, to wobec (1) i (2) oraz własności granic, stwierdzamy, Ŝe są funkcjami ciągłymi. Podobnie funkcje wymierne jako ilorazy wielomianów.

Twierdzenie (o ciągłości metryki) Metryka jest funkcją ciągłą.

Dokładniej, niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, to funkcja d:XxX→R

przekształcająca przestrzeń metryczną (XxX,δ), gdzie δ jest metryką w produkcie XxX, czyli funkcją określoną wzorem

∀(x,y),(a,b)∈XxX δ((x,y),(a,b)) = d²(x,a)+d²(y,b) i metryką w R jest de.

Dowód Niech

(1) (a,b)∈XxX i {(xn,yn)}n∈N ∈XxX oraz

(2) n→∞

lim (xn,yn) = (a,b).

Wówczas jak wiemy (3) n→∞

lim xn = a oraz

(4)

∞

→ n

lim yn = b NaleŜy wykazać, Ŝe

(*)n→∞

lim d(xn, yn) = d(a,b) [∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k |d(xn,yn) - d(a,b)| < ε]

Niech ε >0. Dla liczby ε

2 > 0 wobec (3) i (4) mamy (5) ∃k∈R ∀n≥k d(xn,a) < ε

2 (6) ∃s∈R ∀n≥s d(yn,b) < ε

2

ZauwaŜmy, Ŝe z warunku trójkąta dla metryki dowolnego n∈N mamy

(7) d(xn,yn) ≤ d(xn,a) + d(a,b) + d(yn,b) [ d(xn,yn) - d(a,b) ≤ d(xn,a) + d(yn,b) ] (8) d(a,b) ≤ d(xn,a) + d(xn,yn) + d(yn,b) [d(a,b) - d(xn,yn) ≤ d(xn,a) + d(yn,b) ] czyli

(9) ∀n∈N |d(xn,yn) - d(a,b)| ≤ d(xn,a) + d(yn,b) Niech n ≥ p ≡ max{k, s} z (5) i (6) mamy (10) |d(xn,yn) - d(a,b)| ≤ d(xn,a) + d(yn,b) < ε

2 + ε 2 = ε,

czyli

∞

→

nlim d(xn,yn) = d(a,b) a więc ciągłość d w dowolnym punkcie (a,b)∈XxX.