Analiza II, ISIM Lista zada« nr 3
1. Nie korzystaj¡c z twierdzenia o zamianie zmiennych poka», »e je»eli funkcja f(x) jest caªko- walna na przedziale [a, b], to funkcja f(x − c) jest caªkowalna na przedziale [a + c, b + c] oraz
∫ b+c
a+c
f (x− c) =
∫ b
a
f (x)dx.
2. Korzystaj¡c z zasadniczego twierdzenia rachunku ró»niczkowego i caªkowego oblicz
∫ 2
3
1 3
√ dx 1− x2
∫ b
a
cos 2xdx
∫ π
2
0
dx cos2x
3. Korzystaj¡c z zasadniczego twierdzenia rachunku ró»niczkowego i caªkowego oblicz pochodne caªek ∫ x
0
t23dt,
∫ t2
0
sin tdt,
∫ cos x
− sin xarcsin tdt,
∫ x
0
[t]dt,
∫ x4
−x2{t}dt, 4. Oblicz pochodne funkcji F (x) =∫x
0 sin txdt, G(x) =∫x
0 etxdt.
5. Wiedz¡c, »e funkcja g : [0, ∞) jest rosn¡ca, wyka», »e funkcja h(x) =∫x
0 g(t)dtjest wypukªa, a funkcja f(x) =x1∫x
0 g(t)dt jest rosn¡ca.
6. Funkcja f(x) jest dodatnia i ci¡gªa dla x ≥ 0. Poka», »e funkcja g(x) =( ∫x
0 f (t)dx )−1∫x
0 tf (t)dt jest rosn¡ca. Wskazówka: Oblicz pochodn¡ ilorazu i zapisz licznik jedn¡ caªk¡.
7. Znajd¹ granice korzystaj¡c z reguªy de l'Hospitala:
tlim→∞
√ 1 t2+ 1
∫ t
0
(arctan x)2dx, lim
t→∞
( ∫ t 0
e2x2dx
)−1( ∫ t 0
ex2dx )2
, lim
x→∞
(2xe−x2) ∫ x
0
et2dt.
8. Oblicz caªki stosuj¡c wzór na podstawienie:
∫ 1
0
2x(x2+ 2)2000dx,
∫ 1
0
t9sin t10dt,
∫ 3
2
x√
2x + 1dx (u = 2x + 1),
∫ √10
√5
x√ x2− 1,
∫ 1
0
x2
√2 + x3dx
∫ 5
0
x√
25− x2dx,
∫ 3
2
sin(2x + 3)dx,
∫ 1
0
√5
6− 5ydy 9. Oblicz caªki stosuj¡c wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:
∫ 2
1
x log xdx,
∫ π
0
exsin xdx,
∫ π
0
x2sin 2xdx,
∫ 1
0
x3ex2dx
10. Oblicz granice ci¡gów
nlim→∞
1 n3
[
(n + 1)√
n2+ 22+ (n + 2)√
n2+ 42+ ... + 2n√ 5n2
] ,
n→∞lim 1 n2
[ sin 1
2n + 2 sin 4
2n+ ... + n sin3n− 2 2n
] , 11. Udowodnij, »e je»eli funkcja f jest ci¡gªa na [0,1], to
∫ π
2
0
f (cos x)dx =
∫ π
2
0
f (sin x)dx oraz
∫ π
0
xf (sin x)dx = π 2
∫ π
0
f (sin x)dx.
12. Udowodnij, »e je»eli funkcja f jest ci¡gªa na [0,1], to
∫ π
0
xf (sin x)dx = π
∫ π
2
0
f (sin x)dx.
13. Poka», »e ∫ π
0
x sin x
1 + cos2xdx = π2 4
Wskazówka: Podziel przedziaª caªkowania na dwie poªowy i w drugiej caªce podstaw x = π−t.
14. Oblicz sum¦
1 1
(n 0 )
−1 3
(n 1 )
+1 5
(n 2 )
− ... + (−1)n 2n + 1
(n n )
, stosuj¡c do caªki∫1
0(1− x2)ndx podstawienie x = cos θ.
15. Zastosuj wzór Taylora w postaci caªkowej w punkcie x = 0 do funkcji sin x, e2x, cos x2 i log(1− x2). W ka»dym przypadku oszacuj reszt¦ i zbadaj zbie»no±¢ szeregu Taylora.
16∗.Niech f b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ na [0, ∞) tak¡, »e limx→∞f (x) = A. Oblicz
nlim→∞
∫ 1
0
f (nx)dx
17∗. Zaªó»my, »e funkcje f, g, f2, g2 s¡ caªkowalne na przedziale [a, b]. Udowodnij nierówno±¢
Schwartza: ( ∫ b
a
f (x)g(x)dx )2
≤
∫ b
a
f2(x)dx·
∫ b
a
g2(x)dx
Wskazówka: Dla dodatniej liczby λ mamy 2|f(x)g(x)| ≤ λf(x)2+ λ−1g(x)2. Oblicz caªki obu stron nierówno±ci oraz znajd¹ minimum prawej strony.
18∗.Poka», »e
1≤
∫ 1
0
√
1 + x4dx≤√ 1, 2 Wskazówka: u»yj nierówno±¢ Schwartza.
19∗.Oblicz granic¦ limn→∞
n√ n!
n u»ywaj¡c caªek Riemanna.
20∗.Niech f b¦dzie funkcj¡ maj¡c¡ ci¡gª¡ pochodn¡ na przedziale [0, 1] i niech
∆n=
∫ 1
0
f (x)dx− 1 n
∑n k=1
f (k
n )
Oblicz limn→∞n∆n.
21∗.Oblicz caªk¦ Poissona ∫ π
0
log(1− 2r cos t + r2)dt
dla a) |r| < 1, b) |r| > 1. Wskazówka: Rozªó» wielomian r2n− 1 na czynniki kwadratowe.
