Rachunek Prawdopodobie´ nstwa
7. Funkcje zmiennych losowych - zadania na ´ cwiczenia
Cw. 7.1 Zmienna losowa skokowa X ma rozk lad dany tabelk¸´ a:
xi -1 0 1 2
pi 0,4 0,3 0,2 0,1
Znajd´z rozk lad zmiennej Y = X2 i oblicz EY oraz V ar(Y ).
Cw. 7.2 Zmienna losowa ma rozk lad geometryczny z parametrem p. Jaki rozk lad ma zmienna´ losowa Y = (−1)X?
Cw. 7.3 Niech X ma rozk lad jednostajny na przedziale (0, 1), a´
g(x) =
0, x < 0, 1, 0 ≤ x < 12, 2, 12 ≤ x < 1, 3, 1 ≤ x.
Jaki rozk lad ma zmienna losowa Y = g(x)?
Cw. 7.4 Wyznaczy´´ c rozk lad zmiennej losowej Y = 3X − 5, je˙zeli X ma rozk lad wyk ladniczy z parametrem α. Oblicz jej warto´s´c oczekiwan¸a i wariancj¸e.
Cw. 7.5 Niech zmienna losowa X ∼ E(λ). Znale´´ z´c g¸esto´s´c zmiennej Y = X2+ 1.
Cw. 7.6 Niech X b¸edzie zmienn¸´ a losow¸a o rozk ladzie jednostajnym U (−π2,π2). Poka˙z, ˙ze zmienna losowa Y = tg(X) ma rozk lad Cauchy’ego C(0, 1).
Cw. 7.7 Zmienna losowa ma rozk lad wyk ladniczy E(λ). Wyznacz rozk lad zmiennej Y = [X].´ Cw. 7.8 Niech zmienna losowa X ma rozk lad U [0, 2). Znajd´´ z g¸esto´s´c zmiennej losowej Y =
max{X, 2 − X}.
Cw. 7.9 Niech X ∼ U (0, 3). Jaki rozk lad ma zmienna losowa Y = max{X, 2}?´ Cw. 7.10 Niech X b¸edzie zmienn¸´ a losow¸a o rozk ladzie Cauchy’ego o g¸esto´sci
f (t) = 1 π(1 + t2). Znale´z´c g¸esto´s´c zmiennej losowej:
a) Y = 1 − X3. b) Z = X1.
Rachunek Prawdopodobie´ nstwa
7. Funkcje zmiennych losowych - zadania domowe
Zad. 7.1 Zmienna losowa X ma rozk lad geometryczny G(p). Wyznacz rozk lad zmiennej a) Y = max{2 − (−1)X, 2},
b) Z = min{2 + (−1)X, 2}.
Zad. 7.2 Zmienna losowa X ma rozk lad dany g¸esto´sci¸a f (x) =
2
x2, x ∈ (2, ∞), 0, x /∈ (2, ∞).
Wyznaczy´c g¸esto´s´c zmiennej losowej Y = X2.
Zad. 7.3 Zmienna losowa X ma rozk lad wyk ladniczy E(λ). Wyznacz rozk lad zmiennej Y = eX oraz oblicz jej warto´s´c oczekiwan¸a i wariancj¸e.
Zad. 7.4 Niech X ma rozk lad wyk ladniczy E(1), za´s
g(x) =
0, x < −1, 1, −1 ≤ x < 12, 4, 12 ≤ x.
Jaki rozk lad ma zmienna losowa Y = g(x)?
Zad. 7.5 Zmienna losowa X ma rozkl ad jednostajny U (0, 1). Jaki rozk lad ma zmienna losowa Y = − ln X?
Zad. 7.6 Niech X b¸edzie zmienn¸a losow¸a o rozk ladzie E(1). Znajd´z rozk lad zmiennej losowej a) Y = min{X, 1},
b) Z = max{X, 1}.
Zad. 7.7 Zmienna losowa X ma rozk lad normalny N (0, 1). Wyznacz g¸esto´s´c zmiennej Y = eX. Zad. 7.8 Niech X ∼ U (0, π). Jaki rozk lad ma zmienna losowa Y = cos(X)?
