• bezpośrednia dyskretyzacja równania różniczkowego (całkowanie do przodu i wstecz) + określanie odpowiednich warunków brzegowych i początkowych

Lista szczegółowych zagadnień, których znajomość jest wymagana na egzaminie

Tomasz Chwiej 7 grudnia 2018

1. Typy warunków brzegowych

2. Metody rozwiązywania problemu brzegowego na siatce w 1D:

• bezpośrednia dyskretyzacja równania różniczkowego (całkowanie do przodu i wstecz) + określanie odpowiednich warunków brzegowych i początkowych

3. Metody rozwiązywnia równań różniczkowych z wykorzystaniem baz funkcyjnych:

• kolokacji, najmniejszych kwadratów, Galerkina, reszt ważonych - założenia dotyczące spo- sobu obliczania residuum + sposoby konstrukcji równoważnego układu równań

4. MES 1D:

• konstrukcja liniowych funkcji kształtu

• konstrukcja kwadratowych funkcji kształtu (wielomiany węzłowe Lagrange’a)

• własności funkcji kształtu Hermite’a tj. zachowanie na krańcach elementu + ew. rysunek

• ogólny sposób konstrukcji lokalnych i globalnych: macierzy sztywności i wektorów obciążeń

• wprowadzanie warunków Dirichleta do układu równań

• ocena jakości rozwiązania równania Poissona z wykorzystaniem: wektora rozwiązań oraz globalnej macierzy sztywności i wektora obciążeń

5. Metoda elementów brzegowych:

• konstrukcja rozwiązania fundamentalnego dla operatora ∇ ² w 1D

• podstawowe równanie metody el. brzegowych

• konstrukcja macierzy wpływu (ogólnie) i układu równań

• pierwsza i druga reguła sum dla równania Laplace’a 6. MES 2D, elementy czworokątne:

• konstrukcja biliniowych funkcji kształtu + mapowanie: przestrzeń referencyjna-przestrzeń fizyczna

7. MES 2D, elementy trójkątne:

• definicja współrzędnych polowych (wyznaczniki)

• konstrukcja liniowych i kwadratowych funkcji kształtu z wykorzystaniem współrzędnych polowych

• mapowanie: przestrzeń referencyjna-przestrzeń fizyczna

• generacja elementów trójkątnych metodą Advancig front

1

8. Równania całkowe:

• typy równań całkowych w 1D

• metoda Nystroma dla równania Fredholma

• całkowanie równania Volterry metodą trapezów 9. MES dla problemów zależnych od czas:

• konstrukcja schematów MES dla równania adwekcji: jawnego i niejawnego Eulera oraz Crancka-Nicolsona

Przykładowe pytania:

1. Chcemy rozwiązać problem brzegowy równania różniczkowego Lu(x) = f (x), gdzie: L jest opera- torem różniczkowym, metodą kolokacji w bazie funkcji {g i (x) }, i = 1, 2, 3 spełniających warunki brzegowe. Korzystając z warunku na znikanie residuum w węzłach wygeneruj układ równań który należy rozwiązać aby wyznaczyć u(x).

2. Jakie własności ma macierz sztywności dla samosprzężonego operatora różniczkowego w MES:

a) jest macierzą pełną

b) jest macierzą rzadką niesymetryczną c) jest macierzą rzadką symetryczną d) jest macierzą trójkątną dolną

3. Dla pojedynczego elementu w MES 1D mamy zdefiniowane - lokalną macierz sztywności i wektor obciążeń:

S ^m = [

s ^m ₁₁ s ^m ₁₂ s ^m ₂₁ s ^m ₂₂

]

P ^m = [

p ^m ₁ p ^m ₂

]

(1) Skonstruuj globalną macierz sztywności i wektor obciążeń dla 3 elementów.

4. Dwie z czterech funkcji kształu Hermite’a zdefiniowanych w przestrzeni referencyjnej mają po- stać: ϕ 1 = (2 − 3ξ + ξ ³ )/4 oraz ϕ 2 = (1 − ξ − ξ ² + ξ ³ )/4. Na podstawie zachowania na brzegach danego elementu, określ rolę jaką pełnią w MES.

5. Skonstruuj wszystkie biliniowe funkcje kształtu dla czworokątnego elementu odniesienia w prze- strzeni referencyjnej i narysuj ich wykresy konturowe.

6. Wykorzystując współrzędne polowe skonstruuj kwadratowe funkcje kształu dla elementu trój- kątnego.

7. Metodą Nystroma możemy rozwiązać równanie całkowe typu:

a) Fredholma 1 rodzaju b) Fredholma 2 rodzaju

c) Volterry 1 rodzaju d) Volterry 2 rodzaju

8. Dla równania Volterry 2 rodzaju, możemy zastosować metodę trapezów do wyznaczenia rozwią- zania ϕ n = ϕ(x n ):

ϕ _n = f _n + λ ^{∑ n} _j=1 ⁻¹ ∆xK(x _n , t _j )ϕ _j + λ ^∆x ₂ K(x ₀ , t ₀ )

1 − λ ^∆x ₂ K(x n , t n ) (2)

Zmodyfikuj powyższe równanie tak aby można przy jego pomocy rozwiązać równanie Volterry

1 rodzaju.

9. Do rozwiązania równania adwekcji użyto MES. Zastosowany schemat całkowania zależności cza- sowej wygenerował układ równań:

Au(t + ∆t) = Bu(t) (3)

gdzie: b _ij = ⟨ϕ i |ϕ i ⟩, a ij = b _ij + v∆t ⟨ϕ i | ^dϕ _dx

⟩, a ϕ i to funkcje kształtu.

Jaki to schemat?

a) jawny Eulera b) niejawny Eulera

c) Crancka-Nicolsona