Analiza czułości

Jednym z typowych problemów planowania eksperymentów jest analiza istotności wpływu czynników zakłócających. W takim przypadku konieczny jest wybór od-powiedniej liczby doświadczeń przez kilkakrotne powtórzenie eksperymentu przy tych samych wartościach czynników sterowalnych. W ten sposób uzyskuje się statystyczną wiarygodność wyników, np. analizując wartości średnie próbek. Takie postępowanie określa się terminem zwiększenia liczby stopni swobody wybranych czynników. Można to osiągnąć, m.in. przez zwiększenie liczby doświadczeń. W praktyce istnieje jednak niebezpieczeństwo, że zostanie zwiększona liczba stopni swobody dla błędu, a nie dla wybranego czynnika.

Celem projektowania jest otrzymanie określonej wartości średniej przy minimalnej wartości wariancji. Czynniki w zależności od ich poziomu mogą mieć swój udział za-równo w zmianie wartości średniej, jak i w zmianie wariancji. Jednocześnie mniejsza wartość wariancji byłaby bardziej pożądana, gdyż przekłada się bezpośrednio na po-prawę jakości produktu. Standardowa procedura w przypadku analizy wartości średniej wymaga jedynie jednego punktu planu dla zadanych wartości czynników, natomiast

w przypadku istnienia czynników szumu procedura standardowa wymaga powtórzenia eksperymentów kilkakrotnie w każdym punkcie testowym, z jednoczesną zmianą war-tości dla czynników szumu. Tak uzyskane wyniki są poddawane odpowiedniej trans-formacji w zależności od celu optymalizacji. Interpretację wykonuje się za pomocą analizy ANOVA. Wcześniej jednak wyniki są poddane konwersji do nowej wartości określonej jako współczynnik sygnał/szum, w skrócie S/N (ang. Signal to Noise) [173, 159]. Zasada postępowania została przedstawiona w tabeli 3.2.

Tabela 3.2. Typowa tabela przedstawiająca plan eksperymentu w przypadku analizy czułości odpowiedzi bez uwzględnienia (a) i przy uwzględnieniu czynników szumu (b),

gdzie S/N jest współczynnikiem sygnał/szum dla przypadku LB a) Poziomy Czynnik A Czynnik B Odpowiedź 1 1 10 1 2 7 2 1 3 2 2 1 b) Poziomy Odpowiedź A B 1 2 3 Wartość średnia Wartość S/N 1 1 9 11 10 10 20,03 1 2 6 7 8 7 16,96 2 1 3 2 4 3 9,85 3 2 0 1 2 1 2,23

Współczynnik S/N jest w rzeczywistości miarą zmienności odpowiedzi spowodo-wanej szumem dla danego doświadczenia w przestrzeni czynnikowej. Niestety metoda transformacji wyników eksperymentu zależy od wybranego celu optymalizacji – war-tości maksymalnej, nominalnej lub minimalnej. W tym celu opracowano wiele różnych metod konwersji wyników, przy czym do najczęściej stosowanych należą:

● dla wartości maksymalnej HB (ang. Higher is Better): S / N =−10 log



∑



gdzie yi – kolejne odpowiedzi w danym punkcie testowym, r – liczba powtórzeń doświadczeń w danym punkcie planu.

● dla wartości nominalnej NB (ang. Nominal is Best):

S / N =−10 log

∑

i=1 r

y_i2−r y2

r−1



gdzie yi – kolejne odpowiedzi w danym punkcie testowym, r – liczba powtórzeń do-świadczeń w danym punkcie planu.

● dla wartości minimalnej LB (ang. Lower is Better): S / N =10log



∑



gdzie yi – kolejne odpowiedzi w danym punkcie planu, r – liczba powtórzeń do-świadczeń w danym punkcie planu.

Podane sposoby konwersji wyników stosuje się dlatego, że wariancja próbki δ2 jest funkcją średniej wszystkich próbek y :

²=

∑

gdzie N – liczba punktów testowych w próbce, δ2 – miara bezwzględna, a nie względna rozrzutu danych w stosunku do średniej.

W przypadku zależności 3.59 wartość w liczniku może być taka sama dla różnych próbek, tzn.:

y_i=y_i−y²=const , (3.60)

co w zagadnieniach praktycznych może prowadzić do zupełnie różnej interpretacji. Dlatego też ważniejsza jest miara względna rozrzutu. Przykładowo ta sama wartość wariancji dla dużej wartości średniej nie oznacza to samo, co dla małej wartości śred-niej. W takim przypadku udział procentowy czynnika szumu będzie zupełnie różny.

Wyniki eksperymentu dostarczają informacji o istotności czynników sterowalnych w odniesieniu do wartości średniej oraz wariancji. Dzięki temu istnieje możliwość za-kwalifikowania każdego czynnika do jednej z czterech grup dotyczących istotności na poziomie średniej lub wariancji:

● czynnik, który ma istotny wpływ na wartość wariancji,

● czynniki, który ma istotny wpływ na wartość średnią oraz wariancję,

● czynnik, który ma istotny wpływ na wartość średnią,

● czynnik, który nie ma istotnego wpływu na wartość średnią ani wariancję,

W tabeli 3.3 przedstawiono schemat postępowania w przypadku analizy czułości z uwzględnieniem istotności czynników w odniesieniu do wartości średniej i wariancji. W zależności od przynależności danego czynnika do określonej grupy, istnieje możliwość podjęcia określonych decyzji. Celem zasadniczym analizy czułości jest znalezienie takich wartości istotnych czynników sterowalnych, które zapewniają naj-mniejszą możliwą wariancję odpowiedzi, na skutek obecności czynników zakłócają-cych, z jednoczesnym zapewnieniem określonej wartości średniej odpowiedzi. Dla większości przypadków konieczne jest przyjęcie określonego kompromisu, gdyż

war-tość czynników, która zapewnia bardziej optymalną warwar-tość średnią odpowiedzi, jed-nocześnie pogarsza jej wariancję (rys. 3.23).

Tabela 3.3. Analiza czułości z uwzględnieniem istotności czynników w odniesieniu do wartości średniej i wariancji,

Fi – czynniki sterowalne

Czynnik Średnia Wariancja

F1 Nie Nie

F2 Tak Nie

... ... ...

Fn Tak Tak

Rys. 3.23. Przykład zmienności odpowiedzi w zależności od wartości czynnika F, w obecności czynników szumu

Jednym z istotnych problemów projektowania czułości jest proces projektowania wieloparametrowego. Ten sam czynnik może powodować poprawę jednej odpowiedzi, jednocześnie powodując pogorszenie innej. Schemat analizy wielowskaźnikowej przedstawiono w tabeli 3.4.

Tabela 3.4. Analiza czułości dla problemu wieloparametrowego,

Fi – czynniki sterowalne

Czynnik ^{Odpowiedź 1 Odpowiedź 2}

Średnia Wariancja Średnia Wariancja

F1 ↑ ↑ ↓ ↓

F2 ↑ ↓ ↑ ↓

... ... ... ... ...

Celem analizy czułości jest minimalizacja wariancji dla danej wartości średniej od-powiedzi. Należy jednak zauważyć, że dla wielu osób zajmujących się statystyką stosowaną, jednoczesna analiza wartości średniej i wariancji w postaci współczynnika S/N jest wadą prezentowanej metody. Niemniej jednak w zastosowaniach praktycz-nych analiza wariancji współczynnika S/N pozwala na identyfikację istotpraktycz-nych czyn-ników mających udział w analizie czułości. Tym samym możliwa jest optymalizacja odpowiedzi ze względu na dwa istotne parametry odpowiedzi: wartość średnią oraz wariancję.