Projektowanie tolerancji

Problem projektowania tolerancji jest związany z losowym rozrzutem czynników sterowalnych. Celem projektowania tolerancji jest znalezienie odpowiedzi na pytania: kiedy, o ile i w jaki sposób należy określić wartości tolerancji czynników sterowal-nych, aby zapewnić wysoką jakość produktu. Wydawałoby się, że najprostszym spo-sobem poprawy jakości produktu byłoby maksymalne zacieśnienie pola tolerancji wszystkich istotnych czynników sterowalnych. Niestety podejście takie z wielu powo-dów jest niepożądane. Po pierwsze wiąże się z podniesieniem kosztu końcowego produktu, z drugiej zaś wcale nie daje pewności poprawy jakości. Jednocześnie po-wszechnie wiadomo, że znacznie lepsze efekty przynosi ograniczenie pola tolerancji jedynie najbardziej istotnych czynników. Z tego też powodu bardziej pożądaną metodą postępowania byłaby metoda, która w pierwszym etapie pozwalałaby na identyfikację czynników sterowalnych, których losowy charakter ma decydujący wpływ na zmien-ność odpowiedzi. Dopiero w następnym etapie należałoby oszacować ich dopuszczalne pole tolerancji krytycznych. Projektowanie tolerancji jest zazwyczaj ostatnim krokiem projektowania, który następuje po optymalizacji i analizie czułości.

W codziennej praktyce inżynierskiej wartości parametrów konstrukcyjnych są po-dawane przez projektantów z uwzględnieniem dopuszczalnej tolerancji ich wartości. Ten sposób postępowania pozwala na utrzymanie określonej jakości produktu, przez utrzymanie wartości oczekiwanej odpowiedzi w zadanym zakresie wartości. Niestety, sposób projektowania dopuszczalnego pola tolerancji w montażu elektronicznym może sprawiać duże problemy – w wielu przypadkach opiera się na doświadczeniu eksperta lub czasochłonnych i kosztownych badaniach. Projektowanie tolerancji stosuje się naj-częściej w przypadku, gdy wyniki otrzymane na etapie analizy czułości zakończyły się niepowodzeniem lub okazały się niezadowalające. Rozwiązaniem w takim przypadku może być zacieśnienie przedziału dopuszczalnej tolerancji istotnych czynników sterowalnych tak, aby odpowiedź znajdowała się w zadanym zakresie wartości (rys. 3.24).

W przypadku metod projektowania opartych na obiekcie fizycznym, w codziennej praktyce inżynierskiej stosuje się powszechnie metodę Six Sigma. Zgodnie z opisem gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego, tylko 1,97·10–9 obserwacji wychodzi poza zakres 6σ. W celu oszacowania dopuszczalnego przedziału tolerancji

Rys. 3.24. Rozrzut wartości odpowiedzi na skutek losowego rozrzutu czynników istotnych

definiuje się dwa istotne parametry: wskaźnik zdolności Cp (ang. Capability Index) oraz równoważny wskaźnik zdolności Cpk (ang. Equivalent Capability Index). Zazwy-czaj podaje sie oba wskaźniki jednocześnie, ponieważ wskaźnik zdolności Cp opisuje możliwości teoretyczne, podczas gdy równoważny wskaźnik zdolności Cpk opisuje stan aktualny. Wartości wskaźników Cp i Cpk – według normy ANSI/IPC-PC–90 – wy-znacza się z zależności[180, 48]:

C_p=USL−LSL

6 ^{, (3.61)}

C_pk=C_p





gdzie σ – odchylenie standardowe, LSL – dolna granica procesu (ang. Lower Speci-fication Limit), USL – górna granica procesu (ang. Upper SpeciSpeci-fication Limit), k – współczynnik skali opisany zależnością:

k = ^m−





gdzie m – oczekiwana wartość nominalna, μ – wartość średnia próbki losowej.

W przypadku gdy przedział tolerancji ograniczony jest tylko z jednej strony, war-tość wskaźnika zdolności Cp wyznacza się jako:

C_pu=USL−m

3  ^{lub C}pl=m−LSL

3  ^{, (3.64)}

gdzie Cpu – wartość wskaźnika Cp z ograniczeniem od góry, Cpl – wartość wskaźnika Cp z ograniczeniem od dołu.

Jednocześnie dla obu wskaźników obowiązuje warunek:

Definicja wskaźnika Cp wynika z założenia, według którego licznik oznacza wy-magania projektowe, natomiast mianownik możliwości produkcyjne. W przypadku sta-nu naturalnego jest spełniona zależność:

USL− LSL=m3−m−3=6  . (3.66)

Według przyjętych norm, aby produkt spełniał określone wymagania jakościowe, wskaźnik Cp powinien spełniać jeden z następujących warunków:

● niska jakość – Cp < 1,

● średnia jakość – 1 < Cp < 1,33 lub 1 < Cp < 2,

● wysoka jakość – Cp > 1,33 lub Cp > 2.

W przypadku metod projektowania opartych na modelu numerycznym czy modelu matematycznym obiektu, stosuje się dwie metody projektowania tolerancji:

● Taguchiego – preferowana w przypadku numerycznego modelu obiektu.

● Monte Carlo – preferowane w przypadku matematycznego modelu obiektu.

Metoda Taguchiego opiera się na ortogonalnym planie eksperymentu i wymaga oprócz tablicy wewnętrznej także tablicy zewnętrznej. Tablica zewnętrzna zawiera do-puszczalne procentowe zmiany czynników istotnych spowodowane rozrzutem lo-sowym. W wyniku takiego eksperymentu można ocenić istotność zadeklarowanych wartości dopuszczalnych pól tolerancji dla wybranych czynników. Celem analizy jest oszacowanie zależności między zmiennością czynników a wariancją odpowiedzi. Przy-kładowy plan eksperymentu opierający się na tablicy wewnętrznej i zewnętrznej przed-stawiono w tabeli 3.5 [181].

Tabela 3.5. Typowa tabela przedstawiająca plan eksperymentu w przypadku projektowania tolerancji według metody Taguchiego

Nr doświadczenia 1 . . . N Tablica wewnętrzna (wybrane poziomy czynników)

Tablica zewnętrzna (procentowe zmiany wartości czynników)

Odpowiedzi (wyniki doświadczeń)

Projektowanie tolerancji oparte na metodzie Monte Carlo można wykonać, przyj-mując założenie dotyczące rozkładów prawdopodobieństwa poszczególnych istotnych czynników. Niestety analiza ta wymaga wykonania dużej liczby doświadczeń, w związku z tym nie stosuje się jej w przypadku obiektów fizycznych czy ich modeli

numerycznych. Może być z powodzeniem stosowana w przypadku modeli mate-matycznych otrzymanych w wyniku analizy RSM. Zastosowanie metody Monte Carlo w przypadku modelu powierzchni odpowiedzi, gdy dany czynnik ma charakter losowy, wymaga posługiwania się pojęciem wartości średniej odpowiedzi, gdyż odpowiedź ma wówczas także charakter losowy. Przykład zastosowania metody Monte Carlo w przy-padku jednego czynnika F przedstawiono na rysunku 3.25.

Rys. 3.25. Przykład analizy Monte Carlo oraz zmienności odpowiedzi w wyniku rozrzutu losowego w zależności od czynnika F

3.2. Zastosowanie algorytmów