Zmodyfikowany kwadrat łaciński

Klasyczne metody projektowania eksperymentów są oparte na planie ortogonal-nym, i stosuje się je w przypadku obiektów fizycznych. W przypadku numerycznych modeli obiektów stosuje się plany, które pozwalają na równomierne rozmieszczenie doświadczeń wewnątrz przestrzeni czynnikowej, np. Monte Carlo czy LH. Plan Monte Carlo jest planem losowym, a jego główną wadą jest występowanie korelacji między poszczególnymi doświadczeniami, co objawia się tym, że odległości w przestrzeni

czynnikowej, między niektórymi punktami mogą być zbyt małe. Z kolei plan LH na-leży do eksperymentów pseudolosowych, a jego zaletą jest zmniejszenie korelacji między doświadczeniami do bardzo małej lub ustalonej wartości, co jest szczególnie istotne w przypadku estymacji parametrów modelu odpowiedzi. Jedną z charaktery-stycznych cech planu LH jest równomierne rozmieszczenie punktów wewnątrz prze-strzeni czynnikowej.

Plan LH jest preferowany w przypadku eksperymentów numerycznych. Plan ten składa się z punktów, które są wybierane w sposób pseudolosowy z przestrzeni czyn-nikowej. Pseudolosowość polega na tym, że przestrzeń czynnikowa jest podzielona na rn podobszarów o równym prawdopodobieństwie, gdzie r oznacza liczbę planowanych doświadczeń, a n liczbę czynników. Plan LH jest tworzony według następującego schematu (rys. 3.14f):

● określenie liczby doświadczeń n w planie eksperymentu,

● podział każdego wymiaru przestrzeni czynnikowej na n równych części,

● generacja dla każdego czynnika n losowych permutacji wartości poziomów,

● połączenie wygenerowanych permutacji, dla wszystkich czynników i ich poziomów w plan eksperymentu.

Korzystając z podanego schematu można utworzyć wiele różnych planów LH dla danej liczby doświadczeń. Istnieje jednak kryterium oceny poprawności planu LH. Miarą optymalności planu LH jest najmniejsza odległość między punktami w prze-strzeni czynnikowej. Optymalizacja planu LH polega na znalezieniu takiego planu, który maksymalizuje tę odległość

d_min  max . (3.70)

Miara ta pozwala na równomierne wypełnienie przestrzeni czynnikowej doświad-czeniami.

Plan LH stosuje się najczęściej do prostokątnych przestrzeni czynnikowych. Można go jednak stosować także do przestrzeni nieprostokątnych. W takim przypadku tworzy się więcej poziomów niż to wynika z założonej liczby doświadczeń. Następnie losuje się punkty, przy czym jeżeli nie można utworzyć planu eksperymentu, to proces gene-racji jest powtarzany, z jednoczesnym zwiększaniem liczby poziomów. Z inżynier-skiego punktu widzenia wadą planu LH jest losowy wybór punktów w przestrzeni czynnikowej. Z punktu widzenia eksperta określone punkty lub obszary przestrzeni czynnikowej są bardziej pożądane niż inne. Z tego też powodu zespół kierowany przez autora zaproponował modyfikację standardowej procedury wyboru punktów doświad-czeń, według schematu LH. Celem modyfikacji było uwzględnienie istniejącej wiedzy eksperta w odniesieniu do badanej przestrzeni czynnikowej oraz zachowanie specy-fikacji planu LH. Zaproponowana modyfikacja została określona terminem zmody-fikowanego kwadratu łacińskiego MLH (ang. Modified Latin Hypercube) [208, 206, 218]. W tabeli 3.7 przedstawiono przyjęte założenia dla planu eksperymentu według schematu MLH, natomiast na rysunku 3.30 przedstawiono ich reprezentację graficzną.

Tabela 3.7. Przyjęte założenia dotyczące planu MLH

Propozycje zmian planu według kwadratu łacińskiego Oznaczenie Wybór „kluczowych” podobszarów przestrzeni czynnikowej

Zagęszczanie podobszarów w miejscach, gdzie spodziewany jest nieliniowy charakter powierzchni odpowiedzi

Dołączenie punktów planu, które znajdują się w pobliżu granicy przestrzeni czynnikowej

Wykluczenie tych podobszarów, które wydają się być mało istotne lub są ograniczone warunkami brzegowymi

Generowanie n eksperymentu i wybór takiego, dla którego odległość minimalna między punktami będzie maksymalna

Rys. 3.30. Reprezentacja graficzna założeń dotyczących konstrukcji planu MLH

W przypadku standardowego kwadratu łacińskiego przyjmuje się równomierny po-dział na n części każdego wymiaru przestrzeni czynnikowej. Założenie to odpowiada jednostajnemu rozkładowi prawdopodobieństwa. Podstawowym problemem w przy-padku implementacji zmodyfikowanego kwadratu łacińskiego jest odpowiedni podział poszczególnych wymiarów przestrzeni czynnikowej na podstawie niejednostajnego rozkładu prawdopodobieństwa (rys. 3.30). Zaproponowano nową klasę funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(x) opartą na trójparametrowym rozkładzie:

f x=

{



a





gdzie poszczególne parametry a, b i p spełniają następujące założenia:

● parametr a ∈ (0, 1) jest odpowiedzialny za przesunięcie wierzchołka trójkąta,

● parametr b ∈ (0, 1+1/p) jest odpowiedzialny za zmianę wysokości trójkąta,

● parametr p ∈ [0, ∞] jest odpowiedzialny za zmianę kształtu ramion trójkąta,

co zostało przedstawione w formie poglądowej na rysunku 3.31.

Rys. 3.31. Schemat poglądowy opracowanego trójparametrowego rozkładu prawdopodobieństwa

W przypadkach granicznych, tzn.:

● gdy a = 0, otrzymuje się rozkład dany wzorem:

f x=b1−b p11− x^{p (3.72)}

● gdy a = 1, otrzymuje się rozkład dany wzorem:

f x=b1−b p1 x^p (3.73)

● gdy b = 1 i p = 0, otrzymujemy rozkład jednostajny:

f x=1 (3.74)

Opracowany rozkład prawdopodobieństwa spełnia przyjęte założenia oraz pozwala w rezultacie na:

● transformację wiedzy eksperta w postaci odpowiedniego podziału przestrzeni czyn-nikowej na podobszary o niejednostajnym rozkładzie,

● bardziej optymalny dobór planu eksperymentu,

● ograniczenie koniecznej liczby eksperymentów w celu uzyskania powierzchni od-powiedzi o zadanej dokładności.

Jednocześnie należy stwierdzić, że:

● w celu efektywnego wykorzystania możliwości planu MLH niezbędna jest wiedza eksperta; takie podejście jest warunkiem koniecznym w przypadku odpowiedzi

o charakterze nieliniowym i pozwala na bardziej dokładną i efektywną analizę od-powiedzi o charakterze nieliniowym z ograniczeniem niezbędnej liczby ekspery-mentów,

● konsekwencją niejednostajnego rozkładu prawdopodobieństwa jest nierównomierny podział przestrzeni czynnikowej na podobszary; w takim przypadku pojawia się do-datkowy problem związany z uzyskaniem powierzchni odpowiedzi –zastosowanie aproksymacji opartej na wielomianach lub splinach jest niedokładne, natomiast naj-lepsze wyniki osiąga się w przypadku interpolacji np. metoda Kriging,

● w przypadku tradycyjnego planu LH nie ma możliwości wyboru punktów doświad-czeń na krawędzi przestrzeni czynnikowej lub w jej pobliżu; plan MLH umożliwia takie zagęszczenie, które umożliwia wybór punktów w pobliżu krawędzi prze-strzeni czynnikowej; warunek ten jest szczególnie przydatny w przypadku typowych zagadnień inżynierskich z tego powodu, że najbardziej interesujący ob-szar zazwyczaj leży w pobliżu krawędzi przestrzeni czynnikowej,

● połączenie planu MLH oraz metody RSM, opartej na interpolacji według metody Kriging, i oszacowanie błędu powierzchni odpowiedzi pozwala na implementację metody sekwencyjnej ograniczającej niezbędną liczbę doświadczeń w celu otrzy-mania powierzchni odpowiedzi o określonej dokładności.