Analiza powierzchni odpowiedzi

Jednym z celów projektowania jest opisanie zachodzących w obiekcie zjawisk i za-chowania obiektu w wyniku zadanych obciążeń za pomocą modelu matematycznego

analitycznego lub empirycznego. Model taki oczywiście tylko z pewną dokładnością oraz w ograniczonej przestrzeni zmiennych wejściowych oddaje rzeczywiste zachowa-nie obiektu. Pozwala on jednak przewidzieć zachowazachowa-nie obiektu na skutek zmian ich wartości. Model taki można zapisać (zależność 3.1) w sposób ogólny jako funkcję zmiennych wejściowych, tj. czynników sterowalnych i obserwowalnych. Metoda po-szukiwania modelu matematycznego obiektu na podstawie wyników eksperymentu nosi nazwę analizy powierzchni odpowiedzi RSM. Najczęściej metoda RSM jest bez-pośrednio związana z metodą DoE. Aby uzyskać poprawny model matematyczny, konieczny jest odpowiedni plan eksperymentu oraz liczba doświadczeń. W przypadku metody RSM stosuje się taką samą terminologię jak w przypadku metody DoE.

Znajomość modelu matematycznego obiektu jest kluczowym elementem w procesie projektowania. Pierwszym krokiem prowadzącym do identyfikacji modelu jest ekspe-ryment przeprowadzony według odpowiedniego planu DoE. Celem ekspeekspe-rymentu jest identyfikacja modelu, nawet przy braku pełnego zrozumienia zjawisk w nim zachodzą-cych oraz jego zachowania w wyniku zadanych obciążeń. Uzyskany model pozwala na przybliżoną analizę zachowania odpowiedzi, a w następnej kolejności na optymaliza-cję obiektu w przestrzeni czynnikowej, tak jak to pokazano na rysunku 3.18 [161, 162].

Rys. 3.18. Projektowanie z wykorzystaniem modelu matematycznego obiektu

W praktyce korzysta się z dwóch metod, które prowadzą do opracowania modelu matematycznego obiektu, tj. metody analitycznej i eksperymentalnej. Metoda anali-tyczna polega na opracowaniu równań analitycznych oraz ich rozwiązaniu dla zadane-go problemu. Z kolei metoda eksperymentalna bazuje na omówionym wcześniej planie eksperymentu. Metoda eksperymentalna może być zastosowana zarówno do obiektu fizycznego, jak i jego modelu numerycznego. Metoda RSM pozwala na dopasowanie modelu matematycznego do wyników eksperymentu oraz na modyfikację planu ekspe-rymentu w zależności od charakteru modelu odpowiedzi. Najczęściej model mate-matyczny obiektu jest ograniczony jedynie do czynników istotnych, które są wynikiem analizy wariancji. W przypadkach najprostszych, np. odpowiedzi jednowymiarowych i liniowych, metoda RSM nie wymaga nawet użycia komputera, jednak w przypadku wielowymiarowym i odpowiedzi o charakterze nieliniowym jest on niezbędny. Głów-ną zaletą metody RSM jest możliwość bezpośredniego zastosowania, bez konieczności

wykonywania dodatkowych doświadczeń, takich procedur jak: optymalizacja, analiza czułości i projektowanie tolerancji.

Metoda RSM pozwala na ograniczenie liczby koniecznych eksperymentów, dlatego jej zastosowanie jest jak najbardziej uzasadnione pod względem finansowym i cza-sowym. Jak wcześniej wspomniano, metoda RSM powinna być bezpośrednio powiąza-na z metodą DoE oraz apowiąza-nalizą wariancji. W przypadku zidentyfikowania czynników można podjąć jedno z następujących działań:

● Znaleźć wartość oczekiwaną; jest to bardzo rzadko osiągane w praktyce. Zaletą tej metody jest jednak możliwość znalezienia wartości oczekiwanej na podstawie po-wierzchni odpowiedzi, bez konieczności wykonywania dodatkowych doświadczeń.

● Znaleźć wartości ekstremalne; w przypadku wielu problemów mamy do czynienia z odpowiedzią, która nie jest optymalna z pewnych względów. Przykładem może być odpowiedź optymalizowana ze względu na każdy czynnik oddzielnie, bez uwzględnienia interakcji między czynnikami.

● Przeprowadzić analizę czułości; stosunkowo często zdarza się, że odpowiedź obiek-tu zależy w znacznym stopniu od zmienności czynników obserwowalnych, np. tem-peratury otoczenia. Odpowiedź obiektu ma charakter losowy. Istnieje wówczas możliwość analizy powierzchni odpowiedzi pod kątem istnienia obszarów prze-strzeni czynnikowej, w której kształt powierzchni odpowiedzi jest „płaski”, tzn. charakteryzuje się niewielkim gradientem,

● Zaprojektować tolerancję; jedną z głównych różnic między zachowaniem obiektu fizycznego a jego modelem matematycznym jest losowy charakter czynników sterowalnych; w czasie procesu produkcyjnego wartości czynników mogą ulegać zmianie, jak wymiary geometryczne czy właściwości materiałowe. Celem projek-towania tolerancji jest specyfikacja dopuszczalnych zmian czynników, które nie po-wodują jeszcze znaczącego pogorszenia parametrów produktu,

● Dokonać analizę bezpieczeństwa; w czasie eksploatacji produktu obciążenia mogą przekraczać wartości testowe lub dodatkowo mogą pojawić się zupełnie nowe ob-ciążenia. Analiza powierzchni odpowiedzi pozwala na oszacowanie zachowania się obiektu na skutek pojawienia się obciążeń ekstremalnych lub większych przez eks-trapolację powierzchni odpowiedzi.

● Przeprowadzić analizę wieloczynnikową; kiedy w obszarze zainteresowań inżyniera znajduje się tylko i wyłącznie jedna odpowiedź, zdarza się to niezwykle rzadko. Często inżynier jest zmuszony do poszukiwania kompromisu między kilkoma od-powiedziami obiektu, np. jakością i ceną. Odpowiedzi te mogą być dodatkowo od siebie uzależnione, co może oznaczać, że poprawa jednej prowadzi jednocześnie do pogorszenia drugiej. Problem ten można rozwiązać w praktyce przez konstrukcję, tzw. funkcji celu, a następnie zastosowanie odpowiedniej procedury optymalizacji. Funkcja celu może być kombinacją liniową lub nieliniową kilku powierzchni od-powiedzi oraz przypisanych im wag.

Dokładność metody RSM zależy od prawidłowego planu eksperymentu. Wybór planu zależy od charakteru modelu matematycznego obiektu. W przypadku modelu nieliniowego metoda RSM powinna uwzględniać określony rodzaj nieliniowości, np. drugiego lub trzeciego rzędu. Jeżeli natomiast odpowiedź ma charakter liniowy, to plan eksperymentu może opierać się na dwóch poziomach wartości dla każdego czynnika i może być zgodny z planem ortogonalnym zarówno pełnym jak i ułamkowym. Jednak w przypadku nieliniowości drugiego rzędu, plan eksperymentu powinien opierać się na trzech poziomach wartości dla każdego czynnika. Z tego też powodu, w celu iden-tyfikacji prostych nieliniowości, najlepszym rozwiązaniem wydaje się stosowanie pla-nu eksperymentu ortogonalnego opartego na trzech poziomach dla każdego czynnika. W przypadkach powierzchni złożonych, aby poprawnie oddać charakter odpowiedzi, np. dla nieliniowości trzeciego rzędu, plan eksperymentu powinien zawierać testy na czterech poziomach wartości dla każdego czynnika [163, 164, 165].

Nie ulega wątpliwości, że wyniki procesu projektowania będą zależały od dokład-ności modelu matematycznego obiektu. Z drugiej jednak strony dokładność modelu jest ściśle związana z planem eksperymentu. W matematyce można wyróżnić dwie me-tody, które są stosowane do dopasowania modelu matematycznego do wyników ekspe-rymentu. Są to metody oparte na interpolacji oraz aproksymacji. Istnieje wiele metod matematycznych, które pozwalają na aproksymację lub interpolację powierzchni od-powiedzi. W praktyce inżynierskiej stosuje się wiele różnych modeli matematycznych pozwalających na interpolację lub aproksymację wyników eksperymentu. Jednak do najczęściej stosowanych należą: wielomiany, spliny, model Bayesiana, funkcje radial-ne, modele stochastyczne (np. metoda Kriging), sieci neuronowe.

Dodatkowo coraz częściej są stosowane specjalne algorytmy, np. sekwencyjne, któ-re charakteryzują się tym, że eksperyment dzieli się na kilka etapów. Pierwszy etap po-zwala na wstępne dopasowanie modelu z zastosowaniem niewielkiej liczby doświad-czeń, a następnie na podstawie wybranego kryterium dobiera się kolejne punkty w przestrzeni czynnikowej. Procedura ta pozwala na zwiększenie dokładności modelu odpowiedzi z jednoczesnym ograniczeniem liczby wymaganych doświadczeń [166, 167, 168].

Istnieje zasadnicza różnica między eksperymentami opartymi na obiekcie fizycz-nym, a jego modelem numerycznym. Różnica ta wynika, jak wcześniej napisano, z istnienia czynników szumu, co z kolei determinuje metodę dopasowania powierzchni odpowiedzi do wyników eksperymentu. Na rysunku 3.19 przedstawiono aproksymację eksperymentu prowadzonego dla obiektu fizycznego i interpolację eksperymentu prowadzonego dla modelu numerycznego obiektu [169].

Zastosowanie zaawansowanych algorytmów dopasowania powierzchni odpowiedzi jest dużo trudniejsze w przypadku eksperymentów prowadzonych dla obiektu fizycz-nego niż jego modelu numeryczfizycz-nego. Jest to tym spowodowane, że metody zaawan-sowane wymagają stosowania metody oceny dokładności dopasowania powierzchni odpowiedzi, co jest prostsze w przypadku metod interpolacyjnych.

a) b)

Rys. 3.19. Różnica między metodą interpolacji (a) a metodą aproksymacji (b)