Modele materiałowe

Powszechnie wiadomo, że materiał poddany obciążeniom termomechanicznym ulega odkształceniu. Całkowite odkształcenie można wyznaczyć za pomocą modeli materiałowych prostych i złożonych. Zgodnie z zasadami inżynierii materiałowej mo-dele materiałowe można także podzielić na liniowe i nieliniowe. Model sprężysty trak-tuje się jako liniowy, podczas gdy modele plastyczny i lepki jako nieliniowe. Model lepki dodatkowo zależy także od czasu. W rzeczywistości modele proste są jedynie modelami teoretycznymi. W praktyce każdy materiał opisuje się najczęściej modelem złożonym, a modele proste stosuje się jedynie w ograniczonym zakresie.

W dziedzinie numerycznego projektowania montażu elektronicznego stosuje się najczęściej złożone modele materiałowe, jak: sprężysto-plastyczny, lepkosprężysty oraz lepkosprężysto-plastyczny. Modele złożone tworzy się łącząc poszczególne modele proste, przy czym najczęściej korzysta się z zasady addytywności odkształceń. Według tej zasady odkształcenie całkowite ε można wyznaczyć jako:

,t ,T =_s_s,T _p_p,T _l_l,t ,T  , (4.6) gdzie εs – odkształcenie sprężyste, εp – odkształcenie plastyczne, εl – odkształcenie lep-kie.

Modele materiałowe stosuje się do prognozowania uszkodzeń, takich jak pękanie, rozwarstwienie czy zmęczenie. W tym celu wybiera się uszkodzenie najbardziej praw-dopodobne oraz odpowiadające mu kryterium, które wyznacza się w drodze doświad-czalnej. Poprawny opis matematyczny modeli prostych wymaga znajomości charakte-rystyk naprężenie–odkształcenie oraz według równania (4.6), zależności od czasu i temperatury

.

4.1.1.1. Model sprężysty

W przypadku modelu sprężystego zależność między stanem naprężenia a odkształ-cenia na skutek obciążenia można opisać za pomocą prawa Hooke’a:

=E  , (4.7)

gdzie E – moduł Younga.

W praktyce model sprężysty stosuje się w przypadku małych odkształceń, tzn. dla ε < 0,01. Model sprężysty przedstawia się na schematach za pomocą sprężyny o sztyw-ności równej modułowi Younga E. Podstawowe charakterystyki – statyczna i dyna-miczna, dla modelu sprężystego przedstawiono na rysunku 4.3.

Podstawową cechą modelu sprężystego jest zjawisko odwracalności, tzn. energia zgromadzona w czasie działania obciążenia może być całkowicie odzyskana po jego ustąpieniu. W przypadku modelu sprężystego nie występuje rozpraszanie energii.

Materiały idealnie sprężyste bardzo rzadko występują w praktyce. Zazwyczaj przyj-muje się, że materiał zachowuje się idealnie sprężyście poniżej granicy plastyczności Re. Za kryterium uszkodzenia przyjmuje się wartość naprężenia Rm lub Re (rys. 2.23), uzyskaną z pomiarów wytrzymałościowych, np. w wyniku statycznej próby roz-ciągania jednoosiowego.

a) b) c)

Rys. 4.3. Typowe charakterystyki dla modelu sprężystego: symbol modelu sprężystego (a), zależność między odkształceniem a naprężeniem (b),

zależność odkształcenia od czasu dla stałej wartości naprężenia (c)

4.1.1.2. Model plastyczny

W przypadku modelu plastycznego zależność między stanem naprężenia a odkształ-cenia, po przekroczeniu granicy plastyczności Re, na skutek obciążenia można opisać następującą zależnością:

=K ^{n, (4.8)}

gdzie K – współczynnik wytrzymałości, n – wykładnik umocnienia lub uplastycz-nienia.

Wykładnik umocnienia n zawiera się zazwyczaj w przedziale od 0 do 1. Do od-kształcenia plastycznego dochodzi wówczas, gdy materiał na skutek obciążeń ze-wnętrznych przekracza granicę plastyczności Re. W praktyce, odkształcenie plastyczne występuje dla wartości odkształceń ε = 0,01–0,6. Typowe charakterystyki – statyczna i dynamiczna – dla modelu plastycznego przedstawiono na rysunku 4.4. W przypadku modelowania numerycznego przyjmuje się czasami modele uproszczone, tj.: model sztywno-plastyczny i sztywno-plastyczny z umocnieniem (rys. 4.5).

a) b) c)

Rys. 4.4. Typowe charakterystyki modelu plastycznego: symbol oznaczenia dla modelu plastycznego (a), zależność między odkształceniem a naprężeniem (b),

zależność odkształcenia od czasu dla stałej wartości naprężenia (c)

a) b)

Rys. 4.5. Uproszczone modele plastyczne: sztywno–plastyczny (a), sztywno–plastyczny z konsolidacją (b)

Model plastyczny, w porównaniu z modelem sprężystym, nie ma cechy odwracal-ności. Część energii zgromadzona w czasie działania obciążenia jest zamieniana na od-kształcenie trwałe, a energii tej nie można już odzyskać po ustąpieniu obciążenia. W przypadku modelu plastycznego występuje zjawisko rozproszeniu energii. W prak-tyce inżynierskiej najczęściej spotyka się modele sprężysto-plastyczne. Właściwości plastyczne dla takich materiałów ujawniają się po przekroczeniu granicy plastyczności Re. Całkowitą wartość odkształcenia można wówczas wyznaczyć z zależności:

=_s_p=^ E^



K



Za kryterium uszkodzenia przyjmuje się najczęściej wartość granicy plastyczności Re, którą można wyznaczyć w wyniku statycznej próby rozciągania jednoosiowego54. W przypadku obciążeń cyklicznych za kryterium uszkodzenia można przyjąć wartość

54 W przypadku nowszych rozwiązań konstrukcyjnych oraz korzystając z właściwości współczesnych materiałów, dopuszcza się czasem, aby element pracował w obszarach podplastycznych, a nawet lekko je przekraczał.

zakumulowanego odkształcenia plastycznego Δεp lub wartość energii odkształcenia niesprężystego ΔWi, po jednym cyklu obciążeniowym.

4.1.1.3. Model lepki

W przypadku modelu lepkiego zależność między stanem naprężenia a odkształcenia na skutek obciążeń można opisać, korzystając z opisu dla cieczy Newtona. W przypad-ku cieczy newtonowskiej przyjmuje się następujące założenia:

● opór podczas przepływu jest wprost proporcjonalny do prędkości względnej,

● zmiana objętości cieczy jest wprost proporcjonalna do ciśnienia hydrostatycz-nego.

Ciecz Newtona opisuje laminarny przepływ strug ośrodka ciekłego. Różnica pręd-kości strug wynika z przekazywania pędu w wyniku istnienia naprężenia stycznego na granicy τ strug. Zgodnie z teorią Newtona naprężenie styczne τ wynosi:

=dv

dy ^{, (4.10)}

gdzie η – współczynnik lepkości lub inaczej lepkość, v – prędkość strug, y – współ-rzędna w kierunku poprzecznym do przepływu strugi.

Ciecze, które spełniają podany warunek noszą nazwę cieczy newtonowskich, pozo-stałe zaś noszą nazwę cieczy nienewtonowskich. Wartość naprężenia τ będzie zatem zależała od szybkości zmian odkształcenia ε, co można zapisać jako:

=d 

dt ^{. (4.11)}

Wartość odkształcenia można wyznaczyć z zależności: =1

^t . (4.12)

Ze względu na kinematykę odkształcenie lepkie jest podobne do odkształcenia pla-stycznego, z tą różnicą, że lepkość jest dodatkowo funkcją czasu. W praktyce istnieje bardzo duża liczba zależności, które opisują zachowanie lepkie w funkcji temperatury, czasu i wybranego naprężenia zredukowanego. Typowe charakterystyki dla modelu lepkiego przedstawiono na rysunku 4.6.

Podobnie jak w przypadku modelu plastycznego, odkształcenie lepkie nie jest od-wracalne. Oznacza to, że w czasie działania obciążenia część energii ulega roz-proszeniu wewnątrz materiału w postaci odkształcenia lepkiego, przy czym energii tej nie można już odzyskać po ustąpieniu obciążenia. Za kryterium uszkodzenia w przy-padku obciążeń cyklicznych przyjmuje się wartość zakumulowanego odkształcenia niesprężystego ΔWi.

a) b) c)

Rys. 4.6. Typowe charakterystyki modelu lepkiego: symbol oznaczenia modelu lepkiego (a), zależność między naprężeniem a szybkością odkształcania (b),

zależność odkształcenia od czasu (c)

Ciecz newtonowska jest jedynie pojęciem wyidealizowanym. W rzeczywistości nie spotyka się materiałów, które można scharakteryzować lepkością doskonałą. Najczęściej spotyka się materiały, które można opisać modelem lepkosprężystym. Wartość szybko-ści zmian odkształcenia dla tego typu materiałów można wyznaczyć z zależnoszybko-ści:

˙= ˙_s ˙_l=d  dt 1 E^ 