2. Mikroelektronika a montaż elektroniczny
2.4. Uszkodzenia w montażu elektronicznym
2.4.1. Wytrzymałość materiałów
2.4.1.1. Stan naprężeń i odkształceń
Problemy wytrzymałości od lat nurtowały człowieka. Ich znajomość pozwalała na budowę coraz bardziej imponujących konstrukcji, takich jak na przykład średniowiecz-ne katedry. Już w 1676 roku powstała pierwsza teoria, opracowana przez angielskiego uczonego Roberta Hooke’a stwierdzająca, że wydłużenie pręta Δl jest wprost
propor-cjonalne do siły rozciągającej F i długości początkowej pręta l0 oraz odwrotnie propor-cjonalna do jego przekroju poprzecznego S. Teoria ta została następnie uogólniona do zasady, że naprężenie σ jest wprost proporcjonalne do odkształcenia ε, co można zapi-sać jako [71]:
=E , (2.16)
gdzie współczynnikiem proporcjonalności E jest moduł Younga lub moduł sprężysto-ści wzdłużnej.
Prawo Hooke’a miało i ma fundamentalne znaczenie. Jest stosowane do dnia dzisiejszego. Ma charakter uniwersalny i wymagało jedynie nieznacznych modyfikacji. W przypadku płaskiego stanu odkształcenia, konieczne było wprowadzenie właściwo-ści materiałowej noszącej nazwę współczynnika Poissona ν, który wiąże odkształcenie wzdłużne εl i poprzeczne εt w postaci:
=−l
t , (2.17)
gdzie znak minus oznacza, że wzrost odkształcenia wzdłużnego pociąga za sobą zmniejszanie odkształcenia poprzecznego.
W rzeczywistości naprężenie jest miarą gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Naprężenie w dowolnym punkcie i danej płasz-czyźnie przekroju jest wektorem, wyrażającym stosunek siły wewnętrznej działającej na wybrany punkt powierzchni przekroju do powierzchni tego przekroju, co można za-pisać jako [72]:
s= lim
A 0
F
A , (2.18)
gdzie s jest wektorem naprężenia, F jest wektorem sił wewnętrznych, natomiast A jest polem powierzchni przekroju. W przypadku prostokątnego układu współrzędnych można zapisać, że:
s=xxixy j xzk , (2.19)
gdzie i, j, k – wersory osi prostokątnego układu współrzędnych, natomiast σxx, τxy, τxz – składowe stanu naprężenia. Wektor naprężenia można rozłożyć na dwie składowe:
s= n , (2.20)
gdzie σ jest składową normalną naprężenia – prostopadłą do powierzchni, n jest wek-torem normalnym do powierzchni, natomiast τ jest składową styczną lub ścinającą na-prężenia – równoległą do powierzchni.
W praktyce problem zależności między stanem naprężeń a odkształceń jest bardziej skomplikowany niż zostało to przedstawione przez Hooke’a
.
Wprowadzając w dowol-nym punkcie ciała, w którym występuje stan naprężenia, trzy przekroje prostopadłe do osi współrzędnych dowolnie zorientowanego prostokątnego układu współrzędnych, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σxx, τxy, τxz, σyy, τyx, τyz, σzz, τzx, τzy (rys. 2.20). Podobne zależności można także zapisać dla stanu od-kształcenia, tzn. εxx, γxy, γxz, εyy, γyx, γyz, εzz, γzx, γzy.a) b)
Rys. 2.20. Stan naprężeń w kartezjańskim układzie współrzędnych dla układu dwuwymiarowego (a) i trójwymiarowego (b)
W takim przypadku stan naprężenia σ i odkształcenia można opisać tensorem rzędu drugiego, czyli w notacji tensorowej28 jako:
=
∣
xx xy xz yx yy yzzx zy zz
∣
(2.21)oraz
28 Tensor jest obiektem matematycznym, który stanowi uogólnione pojęcie wektora. Zbiór wszystkich tensorów określa sie polem tensorowym. W zastosowaniach inżynierskich tensor definiuje się do-myślnie w prostokątnym układzie współrzędnych. Tensory dzieli się ze względu na rząd: zerowy, pierwszy, drugi itp. Tensory rzędu zerowego odnoszą się do wielkości skalarnych, które nie zależą od wyboru układu współrzędnych. Tensory rzędu pierwszego dotyczą wielkości wektorowych i w przeci-wieństwie do wielkości skalarnych wymagają określenia kierunku w wybranym układzie współrzęd-nych. Tensory rzędu drugiego stosuje się w celu opisania relacji między dwoma wektorami w taki spo-sób, aby uwzględnić wzajemne relacje między wszystkimi ich składowymi, tzn. a=T3x3b lub inaczej
=
∣
xx xy xz yx yzzx zy zz
∣
. (2.22)Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że tensor naprężenia i odkształcenia jest symetryczny, to znaczy σij = σji oraz εij = εji, a zatem składowe naprężeń i odkształ-ceń stycznych będą spełniały następujące warunki:
xy=
yx,
xz=
zx,
yz=
zy, (2.23) orazxy=yx, xz=zx, yz=zy. (2.24) Najczęściej stan naprężeń σ(x, y, z) w danym punkcie podaje się równolegle ze sta-nem odkształceń w tym punkcie ε(x, y, z), przy czym stan odkształceń jest pierwotną wielkością fizyczną. W przypadku uogólnionym należy przyjąć założenie, że istnieje zależność między poszczególnymi składowymi stanu naprężenia σij i odkształcenia εij, co można zapisać w postaci tensorowej jako [73, 74]:
ij=
∑
k , l =1 3 dijklkl (2.25) lub ij=∑
k ,l =1 3 cijkl⋅kl, (2.26)gdzie dijkl – składowe tensora sztywności, natomiast cijkl – składowe tensora sprężysto-ści.
Uogólnione prawo Hooke’a, ze względu na symetrię tensora sztywności i spręży-stości, można zapisać w postaci macierzowej jako:
{ }=[D] {} , (2.27)
oraz
{}=[C ]{}=[ D]−1{ } , (2.28)
gdzie {σ} – macierz kolumnowa naprężenia, {ε} – macierz kolumnowa odkształcenia, natomiast macierz [D] nosi nazwę macierzy sztywności a macierz [C] nosi nazwę macierzy podatności lub sprężystości.
Dla materiałów liniowo-sprężystych oraz izotropowych zależność (2.27) i (2.28) przyjmuje postać:
{
xx yy zz xy xz yz}
= E 1∣
1− 1−2 1−2 1−2 0 0 0 1−2 1− 1−2 1−2 0 0 0 1−2 1−2 1− 1−2 0 0 0 0 0 0 1 /2 0 0 0 0 0 0 1/ 2 0 0 0 0 0 0 1/2∣ {
xx yy zz xy xz yz}
. (2.29){
xx yy zz xy xz yz}
= 1 E∣
1 − − 0 0 0 − 1 − 0 0 0 − − 1 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 21∣ {
xx yy zz xy xz yz}
. (2.30) W mechanice pełen opis stanu odkształcenia i naprężenia ciała na skutek obciążeń wymaga dodatkowo uwzględnienia stanu przemieszczenia u (rys. 2.21). W przypadku trójwymiarowym stan naprężeń i odkształceń w danym punkcie opisuje 15 zmiennych, tj.: naprężenie 6 zmiennych, odkształcenie 6 zmiennych i przemieszczenia 3 zmienne. W celu wyznaczenia stanu naprężeń i odkształceń w danym punkcie konieczne jest rozwiązanie 15 równań, tj.: 3 równania równowagowe, 6 równań opisujących stan od-kształcenie–przemieszczenie oraz 6 równań uogólnionego prawa Hooke’a. Metody rozwiązywania równań opisujących stan naprężenia i odkształcenia opierają się na ra-chunku wariacyjnym29, którego celem jest minimalizacja funkcjonału30, opisującego energię potencjalną ciała w stanie równowagi. Całkowitą energię potencjalną V ciała na skutek działania obciążeń zewnętrznych Fi i odpowiadających im wektorów prze-mieszczeń ui można wyznaczyć z zależności [75]:29 Rachunek wariacyjny polega na wyznaczaniu funkcji z danej klasy funkcji, w przypadku której wybra-na całka osiąga wartość ekstremalną. Rachunek wariacyjny wprowadził m.in. pojęcie funkcjowybra-nału. 30 Funkcjonał jest odwzorowaniem przestrzeni funkcji na przestrzeń liczbową. Przykładem funkcjonału
jest całka oznaczona z funkcji I f =∫
a b
Rys. 2.21. Ilustracja stanu przemieszczenia i odkształcenia ciała na skutek obciążeń V =
∫
W d −∑
i=1 n uiFi, (2.31)gdzie Ω – objętość ciała, natomiast W – gęstość energii odkształcenia, która jest opisa-na zależnością: W =1 2
∑
i , j =1 3 ijij. (2.32)W mechanice klasycznej przyjmuje się założenie, że odpowiedź układu jest natych-miastowa, tzn. brak jest opóźnienia czasowego między stanem naprężenia i od-powiadającego mu odkształcenia. W przypadku ogólnym należy jednak dodatkowo uwzględnić zależność między stanem naprężenia i odkształcenia od czasu t. W tym celu w mechanice wprowadza się pojęcie stanu prędkości odkształceń ˙x , y , z . Z kolei stan odkształceń można opisać wektorem przemieszczeń w postaci [76]:
{ }=[l]{u} [n]{u } , (2.33) gdzie Γl jest liniowym operatorem różniczkowania, natomiast Γn jest nieliniowym ope-ratorem różniczkowania.
W zagadnieniach liniowych można pominąć człony nieliniowe i ostatnią zależność przepisać w postaci:
{}=
∣
∂ ∂x1 0 0 0 ∂ ∂x2 0 0 0 ∂ ∂x3 ∂ ∂x2 ∂∂x1 0 0 ∂ ∂x3 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 0 ∂ ∂x1∣
{u} . (2.34)Zależność między stanem naprężeń, przemieszczeń, odkształceń i prędkości od-kształceń można wyznaczyć na podstawie reologicznych modeli materiałowych ciał. Modele te reprezentują zachowania ciał rzeczywistych w wyniku działania obciążeń. Podstawowe modele reologiczne dla materiałów stosowanych w montażu elektronicz-nym opisano w dalszej części pracy.
Stan naprężeń w danym punkcie można tak zorientować względem układu współ-rzędnych, iż naprężenia styczne będą równe zeru, natomiast niezerową wartość będą miały wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wy-znacza kierunki główne stanu naprężenia:
=
∣
1 0 0 0 2 00 0 3
∣
, (2.35)gdzie σ1, σ2, σ3 – naprężenia główne.
W zależności od wartości naprężeń głównych można wyróżnić następujące szcze-gólne stany naprężenia:
● równomierne rozciąganie przestrzenne:
1=0, 2=, 3=, (2.36)
● równomierne rozciąganie płaskie:
1= 0, 2=, 3=0 , (2.37)
● rozciąganie jednoosiowe:
● ścinanie:
1=0, 2=−, 3=0 . (2.39)
W analizie wytrzymałościowej korzysta się niekiedy z przedstawienia tensora na-prężenia jako sumy tensora kulistego σK (opisującego odkształcenie objętościowe) i dewiatora σD (opisującego odkształcenie postaciowe):
=KD=
∣
m 0 00 m 0
0 0 m
∣
∣
xx−m xy xz yx yy−m yzzx zy zz−m
∣
, (2.40) gdzie σm – średnia wartość naprężenia, tzw. naprężenie hydrostatyczne, wyrażona wzo-rem:m=1
3
xxyyzz
=13
123
. (2.41) Oprócz modułu Younga w mechanice stosuje się jeszcze dwa moduły sprężystości:● moduł sprężystości objętościowej, ściśliwości lub moduł Helmholtza K; opisuje zmianę objętości w wyniku naprężenia hydrostatycznego:
K =− p
V , (2.42)
gdzie p – ciśnienie, ∆V – odpowiadająca mu zmiana objętości,
● moduł sprężystości poprzecznej, postaciowej lub moduł Kirchhoffa G; opisuje od-kształcenie postaciowe w wyniku naprężenia stycznego lub inaczej ścinającego:
G= , (2.43)
gdzie τ – naprężenie styczne, γ – odkształcenie postaciowe:
=tan . (2.44)
Ważną zasadą mechaniki jest możliwość wzajemnego przeliczenia wartości modułów sprężystości, co można zapisać w postaci równania:
E=2 G 1=3 K 1−2 . (2.45)
W przypadku metali wartość współczynnika Poissona wynosi około ν = 0,3, w związku z tym wartości poszczególnych modułów sprężystości można oszacować z zależności:
K ≈E oraz G≈ 3
a) b) c)
Rys. 2.22. Ilustracja różnych stanów odkształcenia ciała oraz odpowiadających im modułów sprężystości: wzdłużnej (a), poprzecznej (b), objętościowej (c)
Powszechnie stosowane rodzaje, metody i schematy obliczeniowe stosowane w dziedzinie wytrzymałości materiałów mogą być także użyte do montażu elektronicz-nego. Istotnym problemem w tym przypadku jest zmiana skali z makro na mikro. Wy-maga to uwzględnienia m. in. nieliniowych właściwości i modeli materiałowych. Istot-nym problemem jest także identyfikacja odpowiednich kryteriów uszkodzeń na podstawie badań wytrzymałościowych [77, 78].