Aproksymacja funkcji holomorficznych

Otrzymali´smy wiec_,

ϑ(x)

x ≤ π(x)

x/ log x ≤ ϑ(x) + x^λlog x λx i wystarczy u˙zy´c Lematu 18.5. ¤

Kluczowym elementem dowodu Twierdzenia 18.1 byÃlo wykorzystanie Twierdze-nia 17.4, czyli niezerowanie sie funkcji ζ na prostej Re s = 1. Hipoteza Rie-_, manna m´owi, ˙ze nie ma zer na zbiorze {Re s > 1/2}. Mo˙zna pokaza´c, ˙ze jest ona r´ownowa˙zna nastepuj_, acej wÃlasno´sci funkcji π (kt´ora lepiej opisywaÃlaby jej za-_, chowanie sie w niesko´_, nczono´sci ni˙z Twierdzenie 18.1):

π(x) = Z _x

2

dy

log y + O(√

x log x), gdy x → ∞.

19. Aproksymacja funkcji holomorficznych

Celem tej cze´sci b_, edzie om´owienie sytuacji kiedy funkj_, e holomorficzn_, a mo˙zna_, aproksymowa´c funkcjami okre´slonymi na wiekszym zbiorze. Zauwa˙zmy najpierw,_,

˙ze nie jest to zawsze mo˙zliwe: np. funkcji f (z) = 1/z nie da sie jednostajnie_, aproksymowa´c na ∂∆ funkcjami holomorficznymi w otoczeniu ∆, gdy˙z je˙zeli g jest taka funkcj_, a, to_, R

∂∆g(z)dz = 0, natomiast R

∂∆f (z)dz = 2πi. Udowodnimy najpierw nastepuj_, acy rezultat._,

Twierdzenie 19.1. (Runge, 1885) Dla zwartego podzioru K obszaru Ω w C NWSR i) Ka˙zda funkcja holomorficzna w otoczeniu K mo˙ze by´c jednostajnie aproksy-mowana na K przez funkcje holomorficzne w Ω;

ii) ˙Zadna skÃladowa sp´ojna zbioru Ω \ K nie jest relatywnie zwarta w Ω.

Dow´od. i)⇒ii) Przypu´s´cmy, ˙ze ii) nie zachodzi, tzn. ˙ze istnieje skÃladowa sp´ojna G zbioru Ω \ K relatywnie zwarta w Ω. Wtedy ∂G ⊂ K oraz z zasady maksimum

(19.1) max

G

|f | ≤ max

K |f |, f ∈ O(Ω).

Z i), dla ustalonego w ∈ G, funkcja f (z) = 1/(z −w) jest holomorficzna w otoczeniu K, a wiec znajdziemy ci_, ag f_{, n} ∈ O(Ω) taki, ˙ze f_n → f jednostajnie na K. Z (19.1)

zastosowanego do funkcji f_n− f_m wynika, ˙ze ciag f_{, n} jest jednostajnie zbie˙zny na G do pewnego F ∈ O(G) ∩ C(G). Mamy (z − w)F (z) = 1 dla z ∈ ∂G, a z zasady maksimum dla z ∈ G. Dla z = w dostaniemy sprzeczno´s´c.

WykÃlad 14, 11.06.2007

ii)⇒i) Ustalmy f ∈ O(U ), gdzie U ⊂ Ω jest otwartym otoczeniem K. Chcemy pokaza´c, ˙ze f ∈ O(Ω), przy czym O(Ω) traktujemy jako podprzestrze´n wektorowa_, przestrzeni Banacha C(K) (z norma maksimum). Z twierdzenia Hahna-Banacha_, wynika, ˙ze wystarczy pokaza´c, ˙ze nie istnieje funkcjonaÃl ograniczony A ∈ (C(K))⁰ taki, ˙ze A = 0 na O(Ω) i A(f ) 6= 0. Twierdzenie reprezentacyjne Riesza m´owi, ˙ze ka˙zdy taki funkcjonaÃl jest postaci

A(g) = Z

K

g dµ, g ∈ C(K),

dla pewnej zespolonej, regularnej miary borelowskiej µ na K. Musimy wiec pokaza´c,_,

˙ze je˙zeli µ jest taka miar_, a i_,

Poniewa˙z mo˙zemy r´o˙zniczkowa´c pod znakiem caÃlki, mamy h ∈ O(C \ K) oraz

h⁽ⁿ⁾(z) = n! ka˙zdego punktu z C \ Ω, a z zasady identyczno´sci i dzieki temu, ˙ze K speÃlnia ii),_, h = 0 na ka˙zdej skÃladowej ograniczonej C \ K. Mamy tak˙ze

z→∞lim h⁽ⁿ⁾(z) = 0, n = 0, 1, 2, . . .

i rozumujac podobnie (dla funkcji h(1/ζ) w otoczeniu 0) otrzymamy h = 0 tak˙ze_, na skÃladowej nieograniczonej. Otrzymali´smy wiec_,

(19.3)

Z

K

dµ(ζ)

ζ − z = 0, z ∈ C \ K.

Niech Γ ⊂ U \ K bedzie cyklem danym przez Lemat 10.3. Dzi_, eki Twierdzeniu 10.4,_, (19.3) oraz twierdzeniu Fubiniego mamy wtedy

2πi

Dla zwartego podzbioru K obszaru Ω definiujemy otoczke holomorficzn_, a K_, wzgledem Ω_,

KbΩ := {z ∈ Ω : |f (z)| ≤ max

K |f | dla ka˙zdego f ∈ O(Ω)}.

W przypadku, gdy Ω = C zbi´or bK := bKC nazywamy otoczka wielomianow_, a zbioru_, K, gdy˙z w definicji zamiast wszystkich funkcji caÃlkowitych wystarczy bra´c tylko wielomiany. Je˙zeli K = bK, to m´owimy, ˙ze K jest wielomianowo wypukÃly.

Propozycja 19.2. Dla zwartego podzbioru K obszaru Ω zbi´or bK_Ω jest zwarty oraz (19.4) dist ( bK_Ω, ∂Ω) = dist (K, ∂Ω)

(je˙zeli Ω = C, to dist (K, ∂Ω) = ∞).

Dow´od. Mamy

KbΩ = \

f ∈O(Ω)

{|f | ≤ max

K |f |},

a wiec b_, K_Ω jest domkniety w Ω. Wystarczy wi_, ec pokaza´c ≤ w (19.4) (nier´owno´s´c_, przeciwna jest oczywista) - otrzymamy wtedy tak˙ze zwarto´s´c. Je˙zeli Ω = C, to wystarczy rozpatrzy´c funkcje f (z) = z. Mo˙zemy wi_, ec zaÃlo˙zy´c, ˙ze istnieje w ∈_,

∂Ω 6= ∅. Biorac funkcj_, e f (z) := 1/(z − w) otrzymamy b_, K_Ω ⊂ {z ∈ Ω : |z − w| ≥ dist (w, K)}, skad dostaniemy (19.4). ¤_,

Zanacznie wiecej daje twierdzenie Rungego - otrzymamy nast_, epuj_, ac_, a topologicz-_, na charakteryzacj_, e otoczki b_, KΩ.

Twierdzenie 19.3. bKΩ jest suma K oraz skÃladowych sp´ojnych zbioru C\K, kt´ore_, sa relatywnie zwarte w Ω._,

Dow´od. Przez eK oznaczmy wspomniana sum_, e. Oczywi´scie K ⊂ b_, K_Ω, natomiast je˙zeli G jest skÃladowa Ω\K relatywnie zwart_, a w Ω, to ∂G ⊂ K i z zasady maksimum_, mamy G ⊂ bK_Ω, a wiec e_, K ⊂ bK_Ω.

Zbi´or eK jest domkniety w Ω (bo ∂( e_, K \ K) ⊂ K). Mo˙zemy Ãlatwo pokaza´c, ˙ze dist ( eK, ∂Ω) = dist (K, ∂Ω) > 0, a wiec e_, K jest zwarty. Dla ustalonego z0∈ Ω \ eK zbi´or eK ∪ {z₀} speÃlnia warunek ii) w Twierdzeniu 19.1. Niech f bedzie funkcj_, a_, r´owna 1 w pewnym otoczeniu z_{, 0} i r´owna 0 w pewnym otoczeniu e_, K. Znajdziemy zatem g ∈ O(Ω) takie, ˙ze |f − g| < 1/2 na eK ∪ {z₀}. W szczeg´olno´sci, |g(z₀)| > 1/2, natomiast |g| < 1/2 na eK, a stad z_, 0∈ b/ KΩ. ¤

Z Twierdzenia 19.3 wynika, ˙ze warunki i), ii) w Twierdzeniu 19.1 sa r´ownowa˙zne_, temu, ˙ze bK_Ω = K.

Wniosek 19.4. Zbi´or zwarty K ⊂ C jest wielomianowo wypukÃly wtedy i tylko wtedy, gdy C \ K jest zbiorem sp´ojnym. ¤

Je˙zeli Ω = C, to w Twierdzeniu 19.1 otrzymamy aproksymacje funkcjami caÃlko-_, witymi, a te mo˙zna aproksymowa´c wielomianami.

Twierdzenie 19.5. Je˙zeli zbi´or zwarty K ⊂ C jest wielomianowo wypukÃly, to ka˙zda funkcja holomorficzna w otoczeniu K mo˙ze by´c na K jednostajnie aproksy-mowana wielomianami. ¤

Mergelyan (1952) udowodniÃl nastepuj_, acy, znacznie mocniejszy rezultat ni˙z po-_, wy˙zsze twierdzenie: je˙zeli K jest wielomianowo wypukÃly, to ka˙zda funkcja f ∈ C(K) ∩ O(int K) mo˙ze by´c jednostajnie aproksymowana na K wielomianami.

PrzykÃlad. Dla n = 1, 2, . . . zbiory K_n = {ρe^it : 1/n ≤ ρ ≤ n, 1/n ≤ t ≤ 2π}

sa wielomianowo wypukÃle. Dzi_, eki Twierdzeniu 19.5, zastosowanemu do K_{, n}∪ {0}, znajdziemy wiec wielomiany P_, n takie, ˙ze |Pn(0)| ≤ 1/n oraz |Pn− 1| ≤ 1/n na Kn. Ciag P_, n jest wiec punktowo zbie˙zny do w 0 w 0 i do 1 w C_, ∗. Pokazuje to, ˙ze w

´cwiczeniu po Twierdzeniu 6.5 nie da sie zawsze otrzyma´c holomorficzno´sci granicy_, w caÃlym Ω.

Podamy teraz jeszcze inne zastosowania twierdzenia Rungego. Pierwszym jest dow´od istnienia funkcji meromorficznej o dowolnie zadanej cze´sci osobliwej._, Twierdzenie 19.6. (Mittag-Leffler, 1884) ZaÃl´o˙zmy, ˙ze Ω jest obszarem w C oraz ˙ze ciag z_{, n}∈ Ω nie ma punkt´ow skupienia w Ω. Wtedy istnieje funkcja meromorficzna f w Ω o biegunach dokÃladnie w punktach z_n, przy czym dla ka˙zdego z_n mo˙zemy z g´ory dowolnie zada´c cze´s´c osobliw_, a szeregu Laurenta funkcji f w z_, n.

Dow´od. Niech fn bedzie zadan_, a cz_, e´sci_, a osobliw_, a szeregu Laurenta w z_, n

f_n(z) =

mn

X

j=1

a_nj(z − z_n)^−j ∈ O(C \ {z_n}).

Znajdziemy rosnacy ci_, ag zbior´ow zwartych K_{, n} ⊂ Ω wyczerpujacych Ω (tzn. ka˙zdy_, zbi´or zwarty K ⊂ Ω zawiera sie w K_n dla pewnego n) takich, ˙ze [(K_n)_Ω= K_n. Bez straty og´olno´sci mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze z_k ∈ K/ _n dla k ≥ n (ciag K_{, 1}, K₂, . . . mo˙zemy zamieni´c ciagiem ∅, . . . , ∅, K_, 1, . . . , K1, K2, . . . , K2, . . . - korzystamy z tego, ˙ze zn nie ma punkt´ow skupienia w Ω). Dzieki twierdzeniu Rungego dla ka˙zdego n znajdziemy_, h_n ∈ O(Ω) takie, ˙ze |f_n− h_n| ≤ 1/2ⁿ na K_n. Zatem dla ka˙zdego n szereg

X∞ k=n

(fk− hk)

jest jednostajnie zbie˙zny na K_n, a stad funkcja f :=_, P

n(f_n− h_n) posiada ˙zadane_, wÃlasno´sci. ¤

Twierdzenie Rungego wykorzystamy tak˙ze w dowodzie nastepuj_, acego rezultatu._, Twierdzenie 19.7. Niech Ω bedzie dowolnym obszarem w C. Wtedy dla ka˙zdego_, g ∈ C^∞(Ω) istnieje f ∈ C^∞(Ω) takie, ˙ze ∂f /∂z = g.

Dow´od. ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze g ma no´snik zwarty. Wtedy bez straty og´olno´sci mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze Ω = C. PoÃl´o˙zmy

f (z) = 1 2πi

Z g(ζ)

ζ − zdζ ∧ dζ = 1 2πi

Z g(ζ + z)

ζ dζ ∧ dζ, z ∈ C,

gdzie ostatnia r´owno´s´c zostaÃla otrzymana dzieki zmianie zmiennych ζ_, ⁰ = ζ − z.

R´o˙zniczkujac pod znakiem caÃlki i zmieniaj_, ac zmienne otrzymamy_,

∂f

∂z(z) = 1 2πi

Z g_z(ζ + z)

ζ dζ ∧ dζ = 1 2πi

Z g_z(ζ)

ζ − zdζ ∧ dζ.

Stosujac Twierdzenie 10.1 do kuli zawieraj_, acej no´snik g dostaniemy ∂f /∂z(z) =_, g(z).

Niech teraz g i Ω bed_, a dowolne. Wybierzmy zbiory K_{, n} tak jak w dowodzie Twierdzenia 19.6. Niech ψ_n ∈ C₀^∞(Ω) bedzie takie, ˙ze ψ_{, n} = 1 w otoczeniu K_n. PoÃl´o˙zmy ϕ₁ := ψ₁, ϕ_n := ψ_n− ψ_n−1, n ≥ 2. WtedyP

nϕ_n = 1 w Ω oraz ϕ_n = 0 w otoczeniu Kn−1, n ≥ 2. Dzieki pierwszej cz_, e´sci dla ka˙zdego n znajdziemy f_, n ∈ C^∞(Ω) takie, ˙ze ∂f_n/∂z = ϕ_ng. W szczeg´olno´sci, funkcja f_n jest holomorficzna w otoczeniu K_n−1, n ≥ 2. Dzieki twierdzeniu Rungego znajdziemy h_{, n}∈ O(Ω) takie,

˙ze |fn− hn| ≤ 1/2ⁿ na Kn−1. Definiujemy f := f1+

X∞ n=2

(fn− hn).

Szereg jest lokalnie jednostajnie zbie˙zny w Ω. Co wiecej, lokalnie wszystkie poza_, sko´nczona liczb_, a wyrazy tego szeregu s_, a funkcjami holomorficznymi, a wi_, ec f ∈_, C^∞(Ω) oraz ∂f /∂z =P

nϕ_ng = g. ¤

Cwiczenie´ Pokaza´c, ˙ze dla dowolnego obszaru Ω w C i h ∈ C^∞(Ω) istnieje u ∈ C^∞(Ω) takie, ˙ze u_zz = h, przy czym je˙zeli h ma warto´sci rzeczywiste, to znajdziemy odp. u tak˙ze o warto´sciach rzeczywistych.

Cwiczenie´ Udowodni´c, ˙ze dla dowolnego obszaru Ω mamy O(Ω) = {hz : h ∈ C^∞(Ω), hzz = 0}.

WykÃlad 15, 8.10.2007

W dokumencie 4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 10 (Stron 57-61)