Odwzorowania konforemne

Niech D bedzie obszarem w C. Odwzorowanie f : D → C nazywamy lokalnie_, konforemnym, je˙zeli f jest lokalnym dyfeomorfizmem klasy C¹ oraz f zachowuje katy oraz orientacj_, e, tzn. je˙zeli γ_, 1, γ2: (−ε, ε) → D sa krzywymi klasy C_, ¹ takimi,

˙ze γ₁(0) = γ₂(0), γ₁⁰ 6= 0, γ₂⁰ 6= 0, to kat zorientowany pomi_, edzy wektorami γ_{, 1}⁰(0) a γ₂⁰(0) jest r´owny katowi zorientowanemu pomi_, edzy wektorami (f ◦ γ_{, 1})⁰(0) a (f ◦ γ₂)⁰(0).

Propozycja 20.1. Dla odwzorowania f : D → C NWSR i) f jest lokalnie konforemne;

ii) f ∈ O(D), f⁰6= 0;

iii) f ∈ O(D), f jest lokalnie jednokrotne.

Dow´od. ii)⇔iii) wynika natychmiast z Propozycji 2.4 i Twierdzenia 14.3.

i)⇔ii) Przypomnijmy (zob. (2.7)), ˙ze dla dowolnej krzywej γ mamy (f ◦ γ)⁰(0) = ∂f

∂z(γ(0)) γ⁰(0) + ∂f

∂z(γ(0)) γ⁰(0).

Zachowywanie kat´ow zorientowanych jest wi_, ec r´ownowa˙zne temu, ˙ze_, argγ₁⁰(0)

γ₂⁰(0) = argfz(z0)γ₁⁰(0) + fz(z0)γ₁⁰(0) fz(z0)γ₂⁰(0) + fz(z0)γ₂⁰(0),

gdzie γ₁(0) = γ₂(0) = z₀. Je˙zeli wiec f jest funkcj_, a holomorficzn_, a tak_, a, ˙ze f_, ⁰ =

∂f /∂z 6= 0, to f jest lokalnym dyfeomorfizmem (bo Jac f = |f⁰|²) oraz zachowuje katy i orientacj_, e._,

Z drugiej strony, je˙zeli rozpatrzymy krzywe postaci γ_ϑ(t) = z₀+ e^iϑt dla ustalo-nego z₀∈ D i dowolnego ϑ ∈ R, to

argγ_ϑ⁰(0)

γ₀⁰(0) = arg e^iϑ, natomiast

arg(f ◦ γϑ)⁰(0)

(f ◦ γ₀)⁰(0) = argfz(z0)e^iϑ+ fz(z0)e^−iϑ f_z(z₀) + f_z(z₀) .

Je˙zeli wiec f jest odwzorowaniem lokalnie konforemnym, to w szczeg´olno´sci dla_, ka˙zdego ϑ ∈ R argument liczby fz(z0) + fz(z0)e^−2iϑ byÃlby niezale˙zny od ϑ, a jest to mo˙zliwe tylko wtedy, gdy f_z(z₀) = 0. ¤

Lokalna konforemno´s´c mo˙zna wi_, ec zdefiniowa´c tak˙ze dla odwzorowa´_, n okre´slo-nych na obszarach w P i o warto´sciach w P. Odwzorowanie f : D → G, gdzie D, G sa obszarami w P, nazywamy konforemnym (lub te˙z biholomorficznym), je˙zeli f jest_, holomorficzna bijekcj_, a. Z Propozycji 20.1 wynika, ˙ze wtedy f jest w szczeg´olno´sci_, lokalnie konforemne, za´s dzieki Propozycji 2.4 odwzorowanie f_, ⁻¹ jest tak˙ze kon-foremne. Dwa obszary w P nazywamy konforemnymi, je˙zeli istnieje odwzorowanie konforemne pomiedzy nimi. Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zde odwzorowanie holomorficzne jed-_, nokrotne f jest odwzorowaniem konforemnym na obraz.

PrzykÃlad. PÃlaszczyzna zespolona C nie jest obszarem konforemnym z ∆ - jest to natychmiastowy wniosek z twierdzenia Liouville’a.

Odwzorowanie konforemne f : D → D nazywamy automorfizmem obszaru D, przez Aut (D) oznaczamy zbi´or wszystkich automorfizm´ow obszaru D. Ma on strukture grupy (wzgl_, edem skÃladania odwzorowa´_, n). Zauwa˙zmy, ˙ze je˙zeli obszary D i G sa konforemne, to grupy Aut (D) i Aut (G) s_, a izomorficzne: je˙zeli f : D → G_, jest odwzorowaniem konforemnym, to odwzorowanie

Aut (D) 3 g 7−→ f ◦ g ◦ f⁻¹∈ Aut (G) jest izomorfizmem.

Opiszemy teraz dokÃladnie automorfizmy ∆, C oraz P.

Twierdzenie 20.2. Aut (∆) =

½

λ z − a

1 − az : λ, a ∈ C, |λ| = 1, |a| < 1

¾ .

Dow´od. W celu wykazania ⊃ mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze λ = 1. Dla a ∈ ∆ oznaczmy Ta(z) = z − a

1 − az. Zauwa˙zmy, ˙ze

|1 − az|²− |z − a|²= (1 − |a|²)(1 − |z|²),

skad wynika, ˙ze T_, a(∆) ⊂ ∆. ÃLatwo sprawdzi´c, ˙ze T−a jest odwzorowaniem odwrot-nym do T_a, skad wynika, ˙ze T_{, a}∈ Aut (∆).

W celu wykazania ⊂ skorzystamy z lematu Schwarza (1884).

Lemat 20.3. Je˙zeli f ∈ O(∆, ∆) jest takie, ˙ze f (0) = 0, to

|f (z)| ≤ |z|, z ∈ ∆, oraz |f⁰(0)| ≤ 1.

Co wiecej, je˙zeli |f (z_{, 0})| = |z₀| dla pewnego z₀∈ ∆_∗lub |f⁰(0)| = 1, to f jest postaci f (z) = λz, gdzie |λ| = 1, tzn. f jest obrotem.

Dow´od. Funkcja

g(z) :=

½ f (z)/z, z ∈ ∆_∗, f⁰(0), z = 0,

jest holomorficzna w ∆. Dla r ∈ (0, 1) mamy |g(z)| ≤ 1/r, je˙zeli |z| = r. Z zasady maksimum wynika zatem, ˙ze |g(z)| ≤ 1/r, gdy |z| ≤ r, otrzymamy wiec, ˙ze |g| ≤ 1_, w ∆. To pokazuje pierwsza cz_, e´s´c lematu. Druga cz_, e´s´c wynika z tego, ˙ze je˙zeli_,

|g(z₀)| = 1 dla pewnego z₀∈ ∆, to funkcja g jest staÃla. ¤

Koniec dowodu Twierdzenia 20.2. Niech f ∈ Aut (∆). Odwzorowanie ef := f ◦ T_a ∈ Aut (∆) speÃlnia ef (0) = 0, je˙zeli a = −f⁻¹(0). Z lematu Schwarza (lub z nier´owno´sci Cauchy’ego) wynika, ˙ze | ef⁰(0)| ≤ 1. Z drugiej strony, 1 ≥ |( ef⁻¹)⁰(0)| = 1/| ef⁰(0)|, a wiec | e_, f⁰(0)| = 1. Korzystajac z ostatniej cz_, e´sci lematu Schwarza znajdziemy λ,_,

|λ| = 1, takie, ˙ze ef (ζ) = λζ, ζ ∈ ∆. Stad f = λT_{, −a}. ¤ Propozycja 20.4. Aut (C) = {az + b : a, b ∈ C, a 6= 0}.

Dow´od. ⊃ jest oczywiste. Je˙zeli f ∈ Aut (C), to f ma osobliwo´s´c izolowana w ∞,_, z Twierdzenia 12.2 wynika, ˙ze nie jest to osobliwo´s´c istotna (bo f jest bijekcja)._, Funkcja f musi wiec by´c wielomianem, je˙zeli stopie´_, n tego wielomianu byÃlby r´o˙zny od 1, to f nie byÃloby bijekcja. ¤_,

Propozycja 20.5. Aut (P) =

½az + b

cz + d : a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0

¾ . Dow´od. Niech a, b, c, d ∈ C bed_, a takie, ˙ze ad − bc 6= 0. Je˙zeli c 6= 0, to_,

az + b cz + d = a

c − ad − bc c(cz + d),

skad Ãlatwo wynika ⊃ (je˙zeli c = 0, to mamy odwzorowanie liniowe). Dla f ∈ Aut (P)_, korzystamy z Propozycji 20.4: je˙zeli f (∞) = ∞, to f |_C ∈ Aut (C), je˙zeli za´s f (∞) ∈ C to odwzorowanie

C 3 z 7−→ 1

f (z) − f (∞) ∈ C jest liniowe dzieki i), sk_, ad otrzymujemy ⊂. ¤_,

Elementy Aut (P) nazywamy homografiami. Mo˙zna pokaza´c Cwiczenie^´ , ˙ze a) ka˙zda homografia jest zÃlo˙zeniem odwzorowa´n liniowych i odwzorowania z 7→ 1/z;

b) ka˙zda homografia przeksztaÃlca okrag w P (tj. okr_, ag lub prost_, a w C) w okr_, ag w_, P;

c) ka˙zda homografia zachowuje dwustosunek ka˙zdej czw´orki punkt´ow:

(z₁, z₂, z₃, z₄) := (z₁− z₂)(z₃− z₄)

(z₁− z₄)(z₃− z₂), z₁, z₂, z₃, z₄∈ P;

d) dla ka˙zdej pary tr´ojek r´o˙znych punkt´ow z1, z2, z3 oraz w1, w2, w3 z P istnieje dokÃladnie jedna homografia f taka, ˙ze f (z_j) = w_j, j = 1, 2, 3.

Cwiczenie´ Znale´z´c odwzorowanie konforemne ∆ → H, gdzie H := {Im z > 0}.

Pokaza´c, ˙ze Aut (H) =

½az + b

cz + d : a, b, c, d ∈ R, ad − bc > 0

¾

. Wywnioskowa´c, ˙ze grupa Aut (∆) jest izomorficzna z grupa SL(R, 2)/Z_{, 2}.

Cwiczenie´ Dla grupy G przez IG := {f ∈ G∗ : f²= 1} oznaczmy zb´or inwolucji G oraz zdefiniujmy

G_G := {f ∈ G : f g 6= gf ∀ g ∈ I_G} ∪ {1}.

Dowodzac poni˙zszych stwierdze´_, n wykaza´c, ˙ze ˙zadna para z z grup Aut (∆), Aut (C) i Aut (P) nie jest ze soba izomorficzna (w sensie teorii grup)._,

i) W Aut (P) istnieja przemienne inwolucje._, ii) I_{Aut (C)} = {−z + b : b ∈ C}, I_{Aut (∆)} =

½ a − z

1 − az : a ∈ ∆

¾

, ani w Aut (C) and w Aut (∆) nie istnieja przemienne inwolucje._,

iii) G_{Aut (C)}= {z + b : b ∈ C} jest przemienna podgrup_, a Aut (C)._, iv) G_{Aut (∆)} = {µ z − b

1 − bz : |µ| = 1, b ∈ ∆, |µ − 1| ≤ 2|b|} zawiera elementy nieprzemienne (nie jest tak˙ze podgrupa Aut (∆))._,

WykÃlad 16, 15.10.2007

Podstawowym rezultatem w teorii odwzorowa´n konforemnych jest nastepuj_, ace_, twierdzenie Riemanna (1851 - pierwsze precyzyjne dowody podali Koebe i Poincar´e na poczatku XX w.)._,

Twierdzenie 20.6. Ka˙zdy obszar jednosp´ojny w C, z wyjatkiem caÃlej pÃlaszczyzny,_, jest konforemny z dyskiem jednostkowym ∆.

Dow´od. Niech D ⊂ C bedzie obszarem jednosp´ojnym takim, ˙ze D 6= C. Jak wynika_, z Propozycji 10.5 oraz Twierdzenia 10.8, obszar D posiada nastepuj_, ac_, a wÃlasno´s´c_, (20.1) ∀ f ∈ O_∗(D) ∃ g ∈ O_∗(D) : g²= f.

Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze wÃlasno´s´c (20.1) jest niezmiennicza wzgledem odwzorowa´_, n konforemnych. ZaÃlo˙zenie D 6= C oznacza, ˙ze znajdziemy a ∈ C \ D, za´s dzieki_, (20.1) istnieje g ∈ O(D) takie, ˙ze g(z)² = z − a, z ∈ D. Wtedy 0 /∈ g(D), funkcja g jest jednokrotna na D oraz, je˙zeli w ∈ g(D), to −w /∈ g(D). W szczeg´olno´sci, rozpatrujac obszar g(D) zamiast D, mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze istnieje koÃlo K(z_, 0, r) takie,

˙ze D ∩ K(z₀, r) = ∅. W takiej sytuacji, zamieniajac D z obszarem h(D), gdzie_, h(z) = r/(z − z₀), mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze D ⊂ ∆. Wybierajac dowolne b ∈ D oraz_, obszar Tb(D), bez straty og´olno´sci dochodzimy do sytuacji, gdzie 0 ∈ D ⊂ ∆ (oraz oczywi´scie D speÃlnia (20.1)).

Rozpatrzmy nastepuj_, ac_, a rodzin_, e_,

F := {f ∈ O(D, ∆) : f (0) = 0, f jednokrotne}

oraz zdefiniujmy α := sup_{f ∈F}|f⁰(0)|. Zauwa˙zmy, ˙ze 1 ≤ α ≤ 1/ρ, gdzie ρ > 0 jest takie, ˙ze K(0, ρ) ⊂ D (pierwsza z nier´owno´sci wynika z tego, ˙ze z ∈ F, druga jest konsekwencja nier´owno´sci Cauchy’ego)._,

Twierdzimy, ˙ze supremum jest osiagane, tzn. istnieje f ∈ F takie, ˙ze |f_, ⁰(0)| = α.

Niech f_n ∈ F bed_, a takie, ˙ze |f_{, n}⁰(0)| → α. Z lematu Montela (Twierdzenie 6.5) wynika, ˙ze mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze ciag f_, n jest lokalnie jednostajnie zbie˙zny w D do pewnej funkcji f ∈ O(D) (w przeciwnym razie rozpatrujac podci_, ag). Z twierdzenia_, o odwzorowaniu otwartym wnioskujemy, ˙ze f (D) ⊂ ∆ (f nie mo˙ze by´c staÃla z ∂∆_, np. bo f (0) = 0), za´s z Wniosku 14.5, ˙ze f jest jednokrotne, czyli f ∈ F. Dzieki_, Twierdzeniu 6.4 mamy |f⁰(0)| = α.

W celu zako´nczenia dowodu wystarczy pokaza´c, ˙ze f (D) = ∆. Przypu´s´cmy, ˙ze tak nie jest - niech c ∈ ∆ \ f (D). Wtedy funkcja Tc◦ f ∈ F nie ma zer w D, korzystajac wi_, ec ponownie z (20.1) znajdziemy ψ ∈ O(D) takie, ˙ze ψ_, ² = T_c ◦ f . Odwzorowanie ψ jest jednokrotne, a stad e_, f := T_d ◦ ψ ∈ F, gdzie d := ψ(0).

Oznaczajac s(w) := w_, ², mamy f = F ◦ ef , gdzie F = T_−c◦s◦T_−djest odwzorowaniem holomorficznym ∆ → ∆ takim, ˙ze F (0) = 0. Poniewa˙z F nie jest jednokrotne, z lematu Schwarza wynika, ˙ze |F⁰(0)| < 1. A zatem | ef⁰(0)| = |f⁰(0)/F⁰(0)| > α -sprzeczno´s´c. ¤

Zauwa˙zmy, ˙ze w dowodzie twierdzenia Riemanna korzystali´smy tylko z wÃlasno´sci (20.1), w szczeg´olno´sci otrzymali´smy wiec nast_, epuj_, acy rezultat._,

Wniosek 20.7. Warunki i)-v) w Twierdzeniu 10.8 sa r´ownowa˙zne jednosp´ojno´sci_, obszaru Ω. ¤