Elementy geometrii riemannowskiej

ZakÃladamy, ˙ze M jest rozmaito´scia rzeczywist_, a wymiaru n. Pole wektorowe na_, M , czyli odzworowanie X ∈ C^∞(M, T M ) takie, ˙ze X|_p∈ T_pM dla p ∈ M , mo˙zemy

identyfikowa´c z odwzorowaniami X : C^∞(M ) → C^∞(M ), kt´ore sa R-liniowe i takie,_,

˙ze

X(f g) = f Xg + gXf, f, g ∈ C^∞(M )

(robimy to poprzez relacje Xf = d_{, X}f , gdzie d_Xf jest pochodna kierunkow_, a). Pola_, wektorowe mo˙zemy wiec lokalnie zapisywa´c w postaci X = X_, ⁱ∂i, gdzie ∂i:= ∂/∂xi, zbi´or p´ol wektorowych na M oznaczamy X (M ). Dla X, Y ∈ X (M ) mamy [X, Y ] :=

XY − Y X ∈ X (M ).

Metryka riemannowska na M to dodatnio okre´slone, symetryczne, 2-liniowe (nad R) odwzorowanie h·, ·i : X (M ) × X (M ) → C^∞(M ). Innymi sÃlowy, dla ka˙zdego p ∈ M okre´slamy iloczyn skalarny na T_pM , gÃladko zale˙zny od p. Lokalnie definiujemy gij := h∂i, ∂ji, wtedy (gij) jest dodatnio okre´slona macierz_, a symetryczn_, a, kt´orej_, wyrazami sa funkcje gÃladkie. Lokalnie nasz_, a metryk_, e mo˙zemy wtedy zapisa´c w_, postaci

ds²= g_ijdxⁱdx^j.

Rozmaito´s´c z metryka riemannowsk_, a nazywamy rozmaito´sci_, a riemannowsk_, a. Od-_, wzorowanie f : M → N , gdzie (M, ds²_M) i (N, ds²_N) sa rozmaito´sciami rieman-_, nowskimi, nazywamy izometria, je˙zeli f jest dyfeomorfizmem takim, ˙ze f_, ∗ds²_N = ds²_M.

Pierwszym podstawowym rezultatem jest twierdzenie o istnieniu koneksji me-trycznej.

Twierdzenie 31.1. Na rozmaito´sci riemannowskiej istnieje jednoznacznie wyz-naczona koneksja metryczna, tj. odwzorowanie

∇ : X (M ) × X (M ) 3 (X, Y ) 7−→ ∇_XY ∈ X (M ) o nastepuj_, acych wÃlasno´sciach_,

i) ∇ jest C^∞(M )-liniowe wzgledem X i R-liniowe wzgl_, edem Y ;_, ii) ∇_YX − ∇_XY = [X, Y ], X, Y ∈ X (M );

iii) ∇X(f Y ) = Xf Y + f ∇XY , f ∈ C^∞(M ), X, Y ∈ X (M );

iv) XhY, Zi = h∇_XY, Zi + hY, ∇_XZi, X, Y, Z ∈ X (M ).

Dow´od (nie byÃlo na wykÃladzie). ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze ∇ jest odwzorowaniem speÃl-niajacym ii) oraz iv). Wtedy dla X, Y, Z ∈ X (M ) mamy_,

XhY, Zi = h∇_XY, Zi + hY, ∇_XZi, Y hZ, Xi = h∇_YZ, Xi + hZ, ∇_YXi, ZhX, Y i = h∇_ZX, Y i + hX, ∇_ZY i.

Sumujac pierwsze dwa r´ownania i odejmuj_, ac ostatnie otrzymamy_, (31.1) 2h∇_XY, Zi =XhY, Zi + Y hZ, Xi − ZhX, Y i

+ h[X, Y ], Zi − h[Y, Z], Xi + h[Z, X], Y i.

Pokazuje to, ˙ze takie odwzorowanie jest jednoznacznie wyznaczone. Co wiecej,_, (31.1) definiuje ∇ i Ãlatwo sprawdzamy, ˙ze speÃlnia one ˙zadane wÃlasno´sci. ¤_,

Przeanalizujemy teraz koneksje we wsp´oÃlrz_, ednych lokalnych. Niech X = X_, ⁱ∂_i, Y = Yⁱ∂_i, wtedy

∇_XY = Xⁱ(∂_iY^k+ Y^jΓ^k_ij)∂_k = XY + XⁱY^jΓ^k_ij∂_k,

gdzie Γ^k_ijto symbole Christoffela zdefiniowane przez relacje ∇_{, ∂i}∂_j = Γ^k_ij∂_k. Z (31.1) Ãlatwo pokazujemy, ˙ze

Γ^k_ij = 1

2g^kl(∂_ig_jl+ ∂_jg_li− ∂_lg_ij), gdzie (g^kl) jest macierza odwrotn_, a do (g_{, ij}).

Niech γ ∈ C¹((a, b), M ). Zauwa˙zmy, ˙ze je˙zeli X jest lokalnym polem wek-torowym takim, ˙ze X ◦ γ = ˙γ, to dla Y ∈ X (M ) i f ∈ C¹(M ) na γ mamy

XY = d

dt(Y ◦ γ), Xf = d

dt(f ◦ γ).

Wida´c, ˙ze dla pola wektorowego Y oraz funkcji f okre´slonych tylko na γ maja sens_, wyra˙zenia ˙γY oraz ˙γf , przy czym pierwsze jest polem wektorowym na γ, a drugie funkcja na γ._,

Wnioskujemy stad, ˙ze je˙zeli Y jest polem wektorowym na γ, to ∇_{, ˙γ}Y jest polem wektorowym na γ, lokalnie mamy

∇_˙γY = d

dt(Y ◦ γ) + ˙γⁱY^jΓ^k_ij∂_k. W szczeg´olno´sci, je˙zeli γ jest klasy C²,

∇_˙γ˙γ = ¨γ + Γ^k_ij˙γⁱ˙γ^j∂_k.

Krzywa γ ∈ C_, ²((a, b), M ) nazywamy geodezyjna, je˙zeli ∇_, ˙γ˙γ = 0, tzn.

¨

γ^k+ Γ^k_ij˙γⁱ˙γ^j = 0, k = 1, . . . , n.

Mamy wtedy w szczeg´olno´sci (ozn. |X|²:= hX, Xi)

(31.2) d

dt| ˙γ|²= ˙γ| ˙γ|²= 2h ˙γ, ∇_˙γ˙γi = 0.

Z og´olnej teorii r´owna´n r´o˙zniczkowych zwyczajnych wynika, ˙ze dla ustalonego p ∈ M oraz v ∈ T_pM istnieje ε > 0 oraz jednoznacznie wyznaczona geodezyjna γ : (−ε, ε) → M taka, ˙ze γ(0) = p, ˙γ(0) = v. Rozwiazanie to w gÃladki spos´ob_, zale˙zy od warunk´ow poczatkowych p i v. Dla a > 0 krzywa e_, γ(t) := γ(at) jest tak˙ze geodezyjna, okre´slon_, a na przedziale (−ε/a, ε/a), tak_, a, ˙ze e_, γ(0) = p, ˙eγ(0) = av.

Oznacza to, ˙ze je˙zeli v jest odp. blisko 0, to γ jest okre´slone w otoczeniu przedziaÃlu [−1, 1]. Dla takich v kÃladziemy

exp_p(v) := γ(1).

Zauwa˙zmy, ˙ze

exp_p(tv) := γ(t),

gdy tv jest odp. blisko 0. Odwzorowanie exp_p jest gÃladkim odwzorowaniem pew-nego otoczenia 0 w T_pM o warto´sciach w M takim, ˙ze exp_p(0) = p. Mamy tak˙ze

d₀exp_p|_v = d

dtexp_p(tv)|_t=0= ˙γ(0) = v,

czyli d0exp_p = idT_pM. W szczeg´olno´sci, exp_p jest dyfeomorfizmem w pewnym otoczeniu 0.

Dla ka˙zdej drogi γ : [a, b] → M mo˙zemy zdefiniowa´c jej dÃlugo´s´c l(γ) :=

Z _b

a

| ˙γ(t)| dt.

Twierdzenie 31.2. Przypu´s´cmy, ˙ze exp_p jest dyfeomorfizmem na K(0, ε). Dla v ∈ K(0, ε) niech γ(t) := exp_p(tv), t ∈ [0, 1], natomiast η : [0, 1] → M niech bedzie inn_, a drog_, a tak_, a, ˙ze η(0) = γ(0), η(1) = γ(1). Wtedy l(η) ≤ l(γ), natomiast_, r´owno´s´c zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy η([0, 1]) = γ([0, 1]).

GÃl´ownym narzedziem w dowodzie Twierdzenia 31.2 b_, edzie lemat Gaussa (1822)._, Lemat 31.3. Niech v ∈ T_pM bedzie takie, ˙ze exp_{, p} jest zdefiniowane w v. Wtedy dla w ∈ T_pM mamy

hdvexp_p|v, dvexp_p|wi = hv, wi, tzn. exp_p jest radialna izometri_, a._,

Dow´od (nie byÃlo na wykÃladzie). Bez straty og´olno´sci mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze hv, wi = 0.

Znajdziemy gÃladka krzyw_, a α w T_{, p}M taka, ˙ze α(0) = v oraz α_, ⁰(0) = w. PoÃl´o˙zmy γ(t, s) := exp_p(tα(s))

(dla s odp. bliskiego 0). Wtedy

(31.3) ∂γ

∂t(1, 0) = d_vexp_p|_v, ∂γ

∂s(1, 0) = d_vexp_p|_w.

Niech X i Y bed_, a polami wektorowymi na M takimi, ˙ze na γ mamy X = ∂γ/∂t,_, Y = ∂γ/∂s. Wtedy na γ zachodzi ∇_XX = 0 (bo γ(·, s) jest geodezyjna), [X, Y ] = 0_, oraz

∂

∂th∂γ

∂t,∂γ

∂si = XhX, Y i = hX, ∇XY i = hX, ∇YXi = 1

2Y |X|²= 1 2

∂

∂s

¯¯

¯¯∂γ

∂t

¯¯

¯¯

2

= 0 (dzieki (31.2) i (31.3)). Z drugiej strony_,

limt→0

∂γ

∂s(t, 0) = lim

t→0d_tvexp_p|_tw = 0, a wiec_,

h∂γ

∂t(t, 0),∂γ

∂s(t, 0)i = 0. ¤

Je˙zeli zÃlo˙zymy exp⁻¹_p z odwzorowaniem ortonormalnym T_pM → Rⁿ, to otrzy-mamy mape w otoczeniu p. Lemat Gaussa m´owi dokÃladnie, ˙ze w tej mapie we_, wsp´oÃlrzednych biegunowych (tzn. r = |x|) mamy_,

ds²= dr²+ ω,

gdzie ω nie zale˙zy od dr. Takie wsp´oÃlrzedne w otoczeniu p nazywamy normalnymi._, Jest tak˙ze jasne, ˙ze ω jest dodatnio okre´slona form_, a na przestrzeni stycznej do sfery._, WykÃlad 27, 14.01.2008

PrzykÃlad. Niech S² bedzie sfer_, a x_, ²+ y²+ z²= R²z metryka ds_, ²indukowana z me-_, tryki euklidesowej dx²+ dy²+ dz²w R³. Rozpatrujac parametryzacj_, e zdefiniowan_, a_, przy pomocy wsp´oÃlrzednych biegunowych_,

(31.4) R²3 r(cos ϕ, sin ϕ) 7−→ R(sin(r/R) cos ϕ, sin(r/R) sin ϕ, cos(r/R)) ∈ S²

otrzymamy

Dow´od Twierdzenia 31.2 (nie byÃlo na wykÃladzie). ZaÃlo˙zmy najpierw, ˙ze η(t) ∈ exp_p(K(0, ε) \ {p}) dla t ∈ (0, 1]. We wsp´oÃlrzednych normalnych mamy γ(t) = tv,_,

Dla dowolnego η wystarczy rozpatrzy´c tylko t > t₀, gdzie t₀ jest najwieksze takie,_,

˙ze η(t₀) = 0. Je˙zeli za´s |η(t)| = ε dla pewnego t, to l(η) ≥ ε > l(γ). Jasna jest tak˙ze druga cze´s´c tezy. ¤_,

Twierdzenie 31.4. Dla ka˙zdego p ∈ M istnieje otoczenie U oraz δ > 0 takie,

˙ze dla wszystkich q ∈ U odwzorowanie exp_q jest dyfeomorfizmem na K(0, δ) oraz U ⊂ exp_q(K(0, δ)).

Dow´od (nie byÃlo na wykÃladzie). Odwzorowanie F (q, v) := (q, exp_q(v)), okre´slone na pewnym otwartym otoczeniu zbioru M × {0} w T M , jest gÃladkie oraz

d_(p,0)F =

µid id 0 id

¶ .

Odwzorowanie F jest wiec lokalnym dyfeomorfizmem w otoczeniu (p, 0). Oznacza_, to, ˙ze istnieje otwarte otoczenie V punktu p oraz ε > 0 takie, ˙ze F jest dyfeomor-fizmem na zbiorze V := {(q, v) : q ∈ V, |v| < ε}. Znajdziemy wtedy otoczenie otwarte U takie, ˙ze p ∈ U ⊂ V oraz U × U ⊂ F (V), co jest r´ownowa˙zne temu, ˙ze U ⊂ exp_q(K(0, ε)), q ∈ U . ¤

OdlegÃlo´s´c miedzy dwoma punktami p, q ∈ M jest dana formuÃl_, a_, d(p, q) = inf{l(γ) : γ : [a, b] → M - droga, γ(a) = p, γ(b) = q}.

ÃLatwo sprawdzamy, ˙ze d jest istotnie metryka na M . Z Twierdzenia 31.2 dla p ∈ M_, i odp. maÃlego ε > 0 mamy

d(p, exp_p(v)) = |v|, v ∈ K(0, ε).

W szczeg´olno´sci, metryka d jest zgodna z topologia M , a odwzorowanie d(p, ·) jest_, ciagÃle._,

Twierdzenie 31.5. Przypu´s´cmy, ˙ze η : [0, 1] → M jest droga tak_, a, ˙ze l(η) =_, d(η(0), η(1)). Wtedy η([0, 1]) = γ([0, 1]) dla pewnej geodezyjnej γ.

Dow´od (nie byÃlo na wykÃladzie). Znajdziemy podziaÃl 0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1 oraz zbiory otwarte U_j takie jak w Twierdzeniu 31.4, speÃlniajace η([t_{, j−1}, t_j] ⊂ U_j, j = 1, . . . , m. Z Twierdzenia 31.2 istnieje wiec droga γ : [0, 1] → M taka,_,

˙ze | ˙γ| = const, η([0, 1]) = γ([0, 1]), oraz istnieje podziaÃl 0 = et₀ < et₁ < · · · <

et_m = 1 taki, ˙ze γ|_{[etj−1,etj]} jest geodezyjna Ãl_, acz_, ac_, a η(t_{, j−1}) z η(t_j). Korzystajac_, ponownie z Twierdzenia 31.2 i jednoznaczno´sci geodezyjnych otrzymamy, ˙ze γ jest geodezyjna. ¤_,

M´owimy, ˙ze rozmaito´s´c riemannowska M jest zupeÃlna, je˙zeli metryka d jest zupeÃlna. Mamy nastepuj_, ac_, a charakteryzacj_, e takich rozmaito´sci._,

Twierdzenie 31.6. (Hopf-Rinow, 1931) Dla ustalonego p ∈ M NWSR i) M jest zupeÃlna;

ii) Wszystkie geodezyjne przechodzace przez p s_, a okre´slone na R._, Dowolna par_, e punkt´ow rozmaito´sci zupeÃlnej mo˙zna poÃl_, aczy´c geodezyjn_, a._,

Dow´od (nie byÃlo na wykÃladzie). i)⇒ii) Niech γ bedzie geodezyjn_, a tak_, a, ˙ze γ(0) = p,_, okre´slona na przedziale [0, T ), przy czym T > 0 jest maksymaln_, a tak_, a liczb_, a. Niech_, t_j > 0 bedzie ci_, agiem rosn_, acym do T . Wtedy z (31.2) mamy dla j < k mamy_,

d(γ(tj), γ(tk)) ≤ Z _tk

tj

| ˙γ(t)|dt = c(tk− tj),

a wiec γ(t_, j) jest ciagiem Cauchy’ego. Znajdziemy q ∈ M takie, ˙ze γ(t_, j) → q.

Niech U , otoczenie q, oraz δ > 0 bed_, a takie jak w Twierdzeniu 31.2.ii. Dla j odp._,

du˙zego mamy wiec U ⊂ exp_{, γ(tj)}(K(0, δ)), skad Ãlatwo mo˙zemy przedÃlu˙zy´c γ poza_, T - sprzeczno´s´c.

ii)⇒i) Wystarczy pokaza´c, ˙ze dla wszystkich r > 0 zachodzi

(31.6) exp_p(K(0, r)) = K(p, r)

(bo wtedy kule K(p, r) sa zwarte, a zatem z ka˙zdego ci_, agu Cauchy’ego mo˙zemy_, wybra´c podciag zbie˙zny). Zauwa˙zmy, ˙ze zawsze mamy ⊂ w (31.6) oraz ˙ze (31.6)_, zachodzi dla odp. maÃlych r. Niech r0 > 0 bedzie takie, ˙ze (31.6) zachodzi dla_, r ∈ (0, r₀). Dla q ∈ K(p, r₀) znajdziemy ciag q_{, j} ∈ K(p, r₀) zbie˙zny do q (z ciagÃlo´sci_, d(p, ·)). Poniewa˙z (31.6) zachodzi dla r < r0 znajdziemy vj ∈ K(0, r0) takie, ˙ze exp_p(vj) = qj. Przechodzac do podci_, agu mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze v_, j → v ∈ K(0, r0), z ciagÃlo´sci exp_{, p} mamy wiec exp_{, p}(v) = q. Pokazali´smy, ˙ze (31.6) zachodzi dla r = r0. Do zako´nczenia dowodu wystarczy pokaza´c, ˙ze dla pewnego ε > 0 (31.6) zachodzi dla r ∈ (r₀, r₀+ ε). Poniewa˙z kula K(p, r₀) jest zwarta, istnieje relatywnie zwarte otoczenie U ⊃ K(p, r0). Niech ε > 0 bedzie takie, ˙ze ka˙zd_, a par_, e q, e_, q ∈ U speÃlniajac_, a_, d(q, eq) ≤ ε mo˙zemy poÃlaczy´c geodezyjn_, a. Dla r ∈ (r_{, 0}, r₀+ ε), q ∈ K(p, r) \ K(p, r₀) i δ > 0 niech γδ bedzie drog_, a tak_, a, ˙ze γ_, δ(0) = q, γδ(1) = p oraz l(γδ) ≤ d(p, q) + ε.

Znajdziemy t_δ > 0, najmniejsza liczb_, e tak_, a, ˙ze d(p, γ_{, δ}(t_δ)) = R (znowu korzystamy z ciagÃlo´sci d(p, ·)). Niech e_, q bedzie punktem skupienia γ_{, δ}(t_δ). Wtedy d(p, eq) = r₀ oraz d(p, q) = r0+ d(eq, q) (dla δ > 0 mamy r0 + d(eq, q) ≤ l(γδ) ≤ d(p, q) + δ, przeciwna nier´owno´s´c wynika z nier´owno´sci tr´ojkata). Oznacza to, ˙ze geodezyjna_, postaci t 7→ exp_p(tv), gdzie exp_p(v) = eq, Ãlacz_, ac_, a p z e_, q, mo˙zna sklei´c z geodezyjna_, Ãlacz_, ac_, a e_,q z q, a ewentualnie zmieniajac parametryzacj_, e i korzystaj_, ac z Twierdzenia_, 31.5 oraz jednoznaczno´sci geodezyjnych otrzymamy q ∈ exp_p(K(0, r).

Ostatnia cze´s´c tezy wynika z (31.6). ¤_,

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze n = 2, tj. M jest powierzchnia. Krzywizn_, e Gaussa definiujemy_, wzorem

K := h∇_X∇_YY − ∇_Y∇_XY − ∇_{[X,Y ]}Y, Xi

|X|²|Y |²− hX, Y i² ,

gdzie X, Y sa polami wektorowymi lokalnie stanowi_, acymi baz_, e w przestrzeni stycz-_, nej. Mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze definicja ta nie zale˙zy od wyboru X, Y .

We wsp´oÃlrzednych normalnych mo˙zemy zapisa´c_, ds²= dr²+ F²dϕ²,

gdzie F jest gÃladka funkcj_, a dodatni_, a (okre´slon_, a poza 0) zale˙zn_, a od r i ϕ. Poniewa˙z_, ds² = Adx² + 2Bdxdy + Cdy², gdzie x = r cos ϕ, y = r sin ϕ oraz A, B, C sa_, funkcjami gÃladkimi w otoczeniu 0 takimi, ˙ze A = C = 1, B = 0 w 0, otrzymamy

F²= r²(A sin²ϕ − 2B sin ϕ cos ϕ + C cos²ϕ), a stad_,

(31.7) F = r(1 + O(r)).

Dla ∂_r := ∂/∂r, ∂_ϕ= ∂/∂_ϕ mamy |∂_r| = 1, |∂_ϕ| = F , h∂_r, ∂_ϕi = 0 (i oczywi´scie [∂_r, ∂_ϕ] = 0). Mo˙zemy sprawdzi´c, ˙ze

Γ^r_rr = Γ^ϕ_rr = Γ^r_rϕ = 0, Γ^ϕ_rϕ = Γ^ϕ_ϕϕ = ∂rF

F , Γ^r_ϕϕ = −F ∂rF,

a stad w szczeg´olno´sci_,

∇_∂r∂_r = 0, ∇_∂r∂_ϕ= ∇_∂ϕ∂_r = ∂_rF F ∂_ϕ. Mamy zatem

(31.8) K = −h∇∂_r∇∂_ϕ∂r, ∂ϕi

F² = −∂r

¡ ∂_rF F

¢−(∂rF )²

F² = −∂_r²F F .

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze krzywizna K jest staÃla. Z (31.7) i (31.8) wnioskujemy, ˙ze F = F (r) jest rozwiazaniem problemu_,

F⁰⁰+ KF = 0, F (0) = 0, F⁰(0) = 1.

Otrzymamy

F (r) =













 sin(√

√K r)

K K > 0,

r K = 0,

sinh(p

|K| r)

p|K| K < 0.

W pierwszym przypadku mamy wiec lokalnie kawaÃlek sfery o promieniu 1/_, √ K, w drugim kawaÃlek pÃlaszczyzny euklidesowej, natomiast w trzecim, podobnie jak poprzednio po podstawieniu ρ = tanh(r/2R) otrzymamy

(31.9) dr²+ R²sinh²(r/R)dϕ²= 4R²(dρ²+ ρ²dϕ²) (1 − ρ²)² .

Jest to wiec, z dokÃladno´sci_, a do staÃlej, hiperboliczna metryka Poincar´ego w kole._, Dostali´smy wiec nast_, epuj_, acy rezultat._,

Twierdzenie 31.7. (Riemann, 1854) Ka˙zda rozmaito´s´c riemannowska wymiaru 2 o staÃlej krzywi´znie jest lokalnie izometryczna z kawaÃlkiem sfery (je˙zeli krzywizna jest dodatnia), pÃlaszczyzny euklidesowej (je˙zeli krzywizna znika) lub koÃla z metryka_, Poincar´ego (je˙zeli krzywizna jest ujemna). ¤

W dokumencie 4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 10 (Stron 101-108)