Bedziemy teraz stale zakÃlada´c, ˙ze R = P/Q jest funkcj, a wymiern, a (kt´or, a traktu-, jemy jako odwzorowanie holomorficzne P → P), gdzie P, Q sa wielomianami zespolo-, nymi bez wsp´olnych zer. ZakÃladamy tak˙ze, ˙ze d = deg R := max{deg P, deg Q} ≥ 2.
Oznacza to, ˙ze dla w spoza sko´nczonego podzbioru P zbi´or R−1(w) jest dokÃladnie d-elementowy. Przez Rn = R ◦ · · · ◦ R oznaczamy n-ta iteracj, e odwzorowania R.,
Zbi´or Fatou F funkcji R definiujemy jako zbi´or wszystkich z ∈ P takich, ˙ze ciag, Rn jest rodzina normaln, a w pewnym otoczeniu z. (Normalno´s´c rodziny funkcji wy-, miernych, a nawet meromorficznych, oznacza dokÃladnie, ˙ze z ka˙zdego ciagu mo˙zemy, wybra´c podciag zbie˙zny jednostajnie w metryce sferycznej na P.) DopeÃlnienie, zbioru Fatou J := P \ F to zbi´or Julii funkcji R. Oczyw´scie F jest otwarty, za´s J jest zwarty. Zbiory te zostaÃly zdefiniowane niezale˙znie przez tych dw´och matematyk´ow w 1918 r.
Udowodnimy teraz podstawowe wÃlasno´sci zbioru Julii.
Propozycja 33.1. J 6= ∅.
Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze J = ∅. Wtedy {Rn} jest rodzina normaln, a na P, a wi, ec, istnieje podciag R, nk jednostajnie zbie˙zny do pewnej funkcji f ∈ O(P, P), czyli do funkcji wymiernej. Je˙zeli f jest staÃla, to dla n odp. du˙zego Rnnie byÃloby surjekcja, - sprzeczno´s´c. Je˙zeli f nie jest staÃla, to f ma sko´nczona liczb, e zer. Z twierdzenia, Rouch´ego (rozpatrujac odp. maÃle koÃla o ´srodkach w tych zerach) Ãlatwo dostaniemy,,
˙ze dla k odp. du˙zego Rnk ma tyle samo zer liczonych z krotno´sciami co f . Oz-naczaÃloby to, ˙ze deg Rnk jest ograniczony, ale deg Rnk = dnk - sprzeczno´s´c. ¤ Propozycja 33.2. R−1(J ) = J .
Dow´od. Je˙zeli rodzina {Rn} jest normalna na zbiorze otwartym U , to jest r´ownie˙z normalna na zbiorach otwartych R−1(U ) oraz R(U ). Stad oraz z surjektywno´sci R, otrzymamy R−1(F) = F, a wiec tak˙ze R, −1(J ) = J . ¤
Propozycja 33.3. Zbi´or Julii odwzorowania RN, N ≥ 1, jest taki sam jak zbi´or Julii R.
Dow´od. Je˙zeli {Rn} jest rodzina normaln, a na pewnym zbiorze otwartym, to jest, oczywiste, ˙ze r´ownie˙z {RnN} jest rodzina normaln, a. Z drugiej strony, je˙zeli {R, nN} jest normalna i Rnk jest ciagiem w {R, n}, to, ewentualnie zamieniajac go z podci, a-, giem, mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze ciag R, [nk/N ]N jest jednostajnie zbie˙zny do pewnej funkcji f . Znajdziemy wtedy N0= 0, 1, . . . , N − 1 oraz podciag n, kl taki, ˙ze Rnkl−N0 → f , czyli Rnkl → f ◦ RN0. ¤
Twierdzenie 33.4. Je˙zeli J ma niepuste wnetrze, to J = P.,
Dow´od. Niech U ⊂ J bedzie zbiorem otwartym. Rozwa˙zmy zbi´or, S
n≥1Rn(U ).
Z Propozycji 33.2 jest on zawarty w J , natomiast z twierdzenia Montela wynika,
˙ze jego dopeÃlnienie jest co najwy˙zej dwuelementowe (bo ciag R, n nie jest rodzina, normalna na U ). Z domkni, eto´sci J dostaniemy tez, e. ¤,
Propozycja 33.5. Je˙zeli R jest wielomianem, to ∞ /∈ J .
Dow´od. Znajdziemy r > 0 i λ > 1 takie, ˙ze |R(z)| ≥ λ|z|, gdy |z| ≥ r, a zatem
|Rn(z)| ≥ λn|z|, gdy |z| ≥ r i n ≥ 1. Wynika stad, ˙ze P \ K(0, r) ⊂ F. ¤,
Poni˙zsze twierdzenie mo˙ze by´c u˙zyte do komputerowego wyznaczania zbioru Julii.
Twierdzenie 33.6. Dla ka˙zdego z0∈ J zbi´or S
n≥1R−n(z0) jest gesty w J ., Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze nie jest to prawda. Znajdziemy wtedy zbi´or otwarty U taki, ˙ze U ∩ J 6= ∅ oraz U ∩S
n≥1R−n(z0) = ∅. Oznacza to, ˙ze z0∈/S
n≥1Rn(U ).
Poniewa˙z {Rn} nie jest rodzina normaln, a na U (bo U ∩ J 6= ∅), to z twierdzenia, Montela zbi´or E := P\S
n≥1Rn(U ) jest co najwy˙zej dwuelementowy. Mamy wtedy z0∈ E i w celu zako´nczenia dowodu wystarczy pokaza´c, ˙ze E ⊂ F.
Je˙zeli R(z) ∈ E, to R(z) /∈ Rn(U ) dla ka˙zdego n, a stad z ∈ E, czyli R, −1(E) ⊂ E. Poniewa˙z zbi´or E jest sko´nczony, R|Ejest bijekcja E → E. W przypadku, gdy E, jest jednoelementowy, to zmieniajac zmienne w P przy pomocy homografii mo˙zemy, zaÃlo˙zy´c, ˙ze E = {∞}. Ale wtedy R−1(∞) = {∞}, a wiec R jest wielomianem i, korzystamy z Propozycji 33.5.
Je˙zeli natomiast E jest dwuelementowy, to znowu zmieniajac zmienne mo˙zemy, zaÃlo˙zy´c, ˙ze E = {0, ∞}. Wtedy albo R(0) = 0, R(∞) = ∞ albo R(0) = ∞, R(∞) = 0. W pierwszym przypadku R jest postaci Czd, a w drugim Cz−d. W obydwu E ⊂ F (Cwiczenie´ ). ¤
Twierdzenie 33.7. J jest zbiorem doskonaÃlym, tzn. nie zawiera punkt´ow izolo-wanych.
Dow´od. Niech U bedzie otoczeniem z, 0 ∈ J . ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze Rn(z0) 6= z0 dla wszystkich n ≥ 1 (tzn. z0 nie jest punktem okresowym). Wybierzmy z1 takie,
˙ze R(z1) = z0. Wtedy z1∈ J (Propozycja 33.2) i z Twierdzenia 33.6 znajdziemy ζ ∈ J ∩ U oraz m ≥ 1 takie, ˙ze Rm(ζ) = z1 i ζ 6= z0 (inaczej z0 byÃlby punktem okresowym).
Niech z kolei Rn0(z0) = z0 dla pewnego n0 ≥ 1 i niech n0 bedzie najmniejsz, a, taka liczb, a. Je˙zeli z, 0 byÃloby jedynym rozwiazaniem r´ownania R, n0(z) = z0, to z Propozycji 33.3 i 33.5 otrzymaliby´smy z0∈ J (bo po konforemnej zmianie zmien-/ nych, tak ˙ze z0= ∞, Rn0 byÃloby wielomianem) - sprzeczno´s´c. Niech wiec z, 2∈ J ,
z26= z0, bedzie takie, ˙ze R, n0(z2) = z0. Je˙zeli teraz Rj(z0) = z2dla pewnego j ≥ 1, to z okresowo´sci zachodziÃloby to dla pewnego j = 1, . . . , n0− 1, ale z drugiej strony z0 = Rn0(z2) = Rn0+j(z0) = Rj(z0), co przeczy minimalno´sci n0. Postepujemy, teraz tak samo jak poprzednio. ¤
Przypu´s´cmy teraz, ˙ze R = P jest wielomianem (stopnia d ≥ 2). Dzieki Propo-, zycji 33.5 wiemy, ˙ze zbi´or Julii J jest zwarty w C.
Twierdzenie 33.8. Dla wielomianu P poÃl´o˙zmy
K := {z ∈ C : ciag P, n(z) jest ograniczony}.
Wtedy ∂K = J oraz K jest wypeÃlnionym zbiorem Julii, tzn. K = J ∪ U, gdzie U jest suma skÃladowych ograniczonych C \ J .,
Dow´od. Niech λ, R bed, a takie jak w dowodzie Propozycji 33.5. Wtedy,
(33.1) C \ K = [
n≥1
P−n({|z| > r}).
W szczeg´olno´sci, K jest zwarty. Zauwa˙zmy, ˙ze z ∈ P (K) ⇔ z ∈ K, tzn. P−1(K) = K. Z kolei P (z) ∈ ∂K oznacza, ˙ze P (z) ∈ K oraz istnieje ciag w, k ∈ C \ K zbie˙zny do z. Np. dzieki otwarto´sci P jest to r´ownowa˙zne istnieniu ci, agu z, kl ∈ C \ K zbie˙znego do z i takiego, ˙ze P (zkl) = wkl. Mamy wiec P, −1(∂K) = ∂K.
Je˙zeli z ∈ ∂K, to ciag P, n(z) jest ograniczony, ale z (33.1) mamy Pn → ∞ lokalnie jednostajnie na C\K, a wiec na ˙zadnym otoczeniu punktu z ci, ag P, nnie jest rodzina, normalna, czyli ∂K ⊂ J . Poniewa˙z C \ K ⊂ F, to J ⊂ K i, dzi, eki Propozycji 33.1,, K 6= ∅. Niech z0 ∈ ∂K. Z Twierdzenia 33.6 wynika, ˙ze zbi´or S
n≥1P−n(z0) jest gesty w J . Zbi´or ten jest jednak zawarty w ∂K (bo P, −1(∂K) = ∂K), a wiec ∂K, jest gesty w J . St, ad ∂K = J.,
Mamy ∂U ⊂ K, wiec z zasady maksimum i dzi, eki temu, ˙ze P (K) ⊂ K dostaniemy, U ⊂ K. Pokazali´smy, ˙ze ∂K ∪ U ⊂ K i ˙ze U jest suma skÃladowych ograniczonych, C \ ∂K. Poniewa˙z skÃladowa nieograniczona C \ ∂K nie ma punkt´ow wsp´olnych z K, mamy ∂K ∪ U = K. ¤
PrzykÃlady. i) Dla P (z) = z2 mamy J = ∂∆.
ii) Niech P (z) = z2− 2. Mo˙zna pokaza´c Cwiczenie´ , ˙ze funkcja f (ζ) = ζ + 1/ζ odwzorowuje konforemnie obszar {|ζ| > 1} na C \ [−2, 2]. Mamy tak˙ze (f−1◦ P ◦ f )(ζ) = ζ2. Wynika stad, ˙ze P, n→ ∞ na C \ [−2, 2]. Z drugiej strony P ([−2, 2]) ⊂ [−2, 2], a wiec z Twierdzenia 33.8 J = K = [−2, 2].,
W og´olnym przypadku jednak dynamika wielomianu kwadratowego Pc(z) :=
z2+ c, c ∈ C, jest bardzo skomplikowana i zbiory Julii Jc wielomianu Pc maja, zwykle strukture fraktali. Zbi´or Mandelbrota (Brook, Matelski, 1978, Mandelbrot,, 1980) M to zbi´or tych c ∈ C, dla kt´orych ciag P, cn(0) jest ograniczony.
Cwiczenie´ Pokaza´c nastepuj, ace wÃlasno´sci zbioru Mandelbrota, i) |Pcn(0)| ≥ |c|(|c| − 1)2n−1, |c| ≥ 2, n ≥ 1;
ii) M ⊂ K(0, 2);
iii) M = \
n≥1
{c ∈ C : |Pcn(0)| ≤ 2};
iv) M ∩ R = [−2, 1/4].
Mo˙zna udowodni´c (zob. np. [3]), ˙ze M jest sp´ojny i jednosp´ojny, ale otwartym problemem pozostaje lokalna sp´ojno´s´c M. Mo˙zna tak˙ze pokaza´c, ˙ze je˙zeli c ∈ M, to Jc jest sp´ojny, natomiast dla c /∈ M zbi´or Jc jest caÃlkowicie niesp´ojny (tzn.
wszystkie skÃladowe sp´ojne Jc sa jednopunktowe).,
Literatura
[1] A.F. Beardon, A Primer on Riemann Surfaces, Cambridge University Press, Cambridge, 1984.
[2] E. Bombieri, Problems of the Millenium: Riemann Hypothesis, zob.
http://www.claymath.org/millennium/Riemann Hypothesis.
[3] L. Carleson, T.W. Gamelin, Complex Dynamics, Springer-Verlag, New York, 1993.
[4] M.P. do Carmo, Riemannian geometry, Birkh¨auser, Boston, 1992.
[5] J.B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag, New York, 1986.
[6] J.B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1995.
[7] N. Elkies, Introduction to Analytic Number Theory, lecture notes, 1998, zob.
http://www.math.harvard.edu/ elkies/M259.98/index.html.
[8] R.E. Greene, S.G. Krantz, Function theory of one complex variable, Amer-ican Mathematical Society, Providence, RI, 2006.
[9] H.M. Farkas, I. Kra, Riemann surfaces, Springer-Verlag, New York, 1980.
[10] O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer-Verlag, New York, 1981.
[11] L. H¨ormander, Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North Holland, Amsterdam, 1991 (str. 1-16).
[12] M. Jarnicki, P. Pflug, Invariant Distances and Metrics in Complex Anal-ysis, Walter de Gruyter, Berlin 1993 (str. 1-13).
[13] P. Petersen, Riemannian geometry, Springer-Verlag, New York, 1998.
[14] R. Remmert, Theory of Complex Functions, Springer-Verlag, New York,1991.
[15] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa, 2001 (str. 249-250).
[16] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa, 1986.
[17] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, wyd. 3, PWN, Warszawa, 1982 (str. 164-165).
[18] E.B. Saff, A.D. Snider, Fundamentals of Complex Analysis for Mathemtics, Science, and Engineering, wyd. 2, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993.
[19] S. Saks, A. Zygmund, Analytic functions, Monografie Matematyczne 28, PTM, Warszawa-WrocÃlaw, 1952.
[20] J. Stillwell, Mathematics and its History, wyd. 2, Springer-Verlag, New York, 2001.
[21] J. Wermer, Potential Theory, Lect. Notes in Math. 408, Springer-Verlag, New York, 1981.
[22] D. Zagier, Newman’s short proof of the prime number theorem, Amer. Math.
Monthly 104 (1997), 705-709.