Powierzchnie Riemanna

Powierzchnie Riemanna to jednowymiarowe rozmaito´sci zespolone. DokÃladniej, niech M bedzie sp´ojn_, a przestrzeni_, a topologiczn_, a Hausdorffa. Rodzin_, e homeomor-_, fizm´ow ϕ_α : U_α→ D_α, gdzie {U_α} jest otwartym pokryciem M za´s D_α obszarami w C, nazywamy atlasem na M , je˙zeli odwzorowania przej´scia

ϕ_α◦ ϕ⁻¹_β : ϕ_β(U_α∩ U_β) → ϕ_α(U_α∩ U_β)

sa holomorficzne. Elementy atlasu nazywamy mapami. M´owimy, ˙ze dwa atlasy_, sa r´ownowa˙zne, je˙zeli ich suma mnogo´sciowa jest tak˙ze atlasem. ÃLatwo sprawdzi´c,_,

˙ze jest to relacja r´ownowa˙zno´sci. Klase r´ownowa˙zne´sci wzgl_, edem tej relacji nazy-_, wamy struktura zespolon_, a. Tak_, a przestrze´_, n topologiczna wraz ze struktur_, a zespo-_, lona nazywamy powierzchni_, a Riemanna. (Uwaga: zawsze zakÃladamy z definicji, ˙ze_, powierzchnie Riemanna sa sp´ojne.)_,

PrzykÃlady. i) Obszary w C;

ii) Sfera Riemanna P (z mapami id_C oraz P \ {0} 3 z 7−→ 1/z ∈ C);

iii) Wykres funkcji holomorficznej f na obszarze w C o nieznikajacej pochodnej;_, iv) Torus C/Γ, gdzie Γ = Zω₁+ Zω₂, ω₁, ω₂ ∈ C sa liniowo niezale˙zne nad R._, Wtedy rzutowanie p : C → C/Γ wprowadza topologie na C/Γ (zbiorami otwartymi_, sa dokÃladnie obrazy zbior´ow otwartych), w kt´orej p jest lokalnym homeomorfizmem_, - jest ono homeomorfizmem na obraz na ka˙zdym zbiorze postaci z + U₀, z ∈ C, gdzie U₀ := {sω₁+ tω₂ : s, t ∈ (0, 1)}. Odwzorowania (p|_z+U0)⁻¹ sa mapami na_, C/Γ. Przestrze´n C/Γ jest homeomorficzna z torusem S¹× S¹, za´s p jest nakryciem ( Cwiczenie^´ ).

Odwzorowanie f : M → N , gdzie M, N sa powierzchniami Riemanna, nazy-_, wamy holomorficznym, je˙zeli dla ka˙zdej mapy ϕ : U → D na M oraz eϕ : eU → eD na N funkcja eϕ ◦ f ◦ ϕ⁻¹ jest holomorficzna na zbiorze ϕ(U ∩ f⁻¹(V )) (m´owimy,

˙ze f jest antyholomorficzne, je˙zeli te funkcje sa antyholomorficzne). Zbi´or od-_, wzorowa´n holomorficznych M → N oznaczamy O(M, N ), za´s O(M ) := O(M, C).

Odwzorowanie f : M → N nazywamy konforemnym lub biholomorfizmem, je˙zeli f jest holomorficzna bijekcj_, a (wtedy f_, ⁻¹ jest tak˙ze konforemne). Je˙zeli takie odw-zorowanie istnieje, to m´owimy, ˙ze M i N sa konforemne (lub biholomorficzne) i_, piszemy M ' N . Odwzorowania konforemne M → M nazywamy automorfizmami, ich zbi´or oznaczamy Aut (M ). Ma on oczywi´scie strukture grupy (ze skÃladaniem_,

odwzorowa´n jako mno˙zeniem). Jest oczywiste, ˙ze je˙zeli M ' N , to grupy Aut (M ) i Aut (N ) sa izomorficzne._,

Funkcje z O(M, P) (poza staÃla ∞) nazywamy funkcjami meromorficznymi, lo-_, kalnie sa one albo holomorficzne albo maj_, a bieguny (na dyskretnym podzbiorze M ,_, dzieki zasadzie identyczno´sci). Krotno´sci_, a funkcji f ∈ O(M ) w punkcie z_, 0 ∈ M nazywamy krotno´s´c zera funkcji f − f (z₀) w z₀. Og´olniej, je˙zeli f ∈ O(M, fM ), to mo˙zemy m´owi´c o krotno´sci f w z₀ (jest oczywiste, ˙ze nie zale˙zy ona od wyboru map). M´owimy, ˙ze f jest jednokrotne w z0, je˙zeli ta krotno´s´c wynosi 1, oznacza to dokÃladnie, ˙ze f jest iniektywne w pewnym otoczeniu z0. Je˙zeli f jest meromorficzna na M , to rzad bieguna nie zale˙zy od wyboru mapy. Rz_, ad bieguna to innymi sÃlowy_, krotno´s´c f jako odwzorowania z O(M, P).

Powierzchnie Riemanna speÃlniaja wszystkie zaÃlo˙zenia topologiczne, kt´ore roz-_, wa˙zali´smy w przypadku nakry´c: sa sp´ojne, lokalnie Ãlukowo sp´ojne, lokalnie jed-_, nosp´ojne, lokalnie zwarte. Je˙zeli M jest powierzchnia Riemanna, za´s N przestrzeni_, a_, topologiczna nakrywaj_, ac_, a M , to nakrycie p : N → M w naturalny spos´ob definiuje_, strukture zespolon_, a na N . Z poprzednich rezultat´ow mo˙zemy teraz wywnioskowa´c_, istnienie nakrycia uniwersalnego w kategorii powierzchni Riemanna.

Twierdzenie 25.1. Niech M bedzie dowoln_, a powierzchni_, a Riemanna. Wtedy_, istnieje, jedyna z dokÃladno´scia do biholomorfizmu, jednosp´ojna nakrywaj_, aca po-_, wierzchnia Riemanna fM , przy czym rozpatrywane nakrycie jest odwzorowaniem ho-lomorficznym. Co wiecej, ka˙zde odwzorowanie f ∈ O(N, M ), gdzie N jest powierz-_, chnia jednosp´ojn_, a, mo˙zemy podnie´s´c do odwzorowania e_, f ∈ O(N, fM ). Ka˙zdy ho-meomorfizm uniwersalnego nakrycia holomorficznego jest biholomorfizmem fM . ¤ Podobnie jak w Propozycji 24.7 powierzchnie Riemanna M mo˙zemy dzieli´c przez_, podgrupe grupy automorfizm´ow M dziaÃlaj_, ac_, a dyskretnie na M , bez punkt´ow sta-_, Ãlych, otrzymamy w ten spos´ob dalsze przykÃlady powierzchni Riemanna.

Propozycja 25.2. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze M jest powierzchnia Riemanna, za´s Γ podgrup_, a_, Aut (M ) dziaÃlajac_, a dyskretnie na M , bez punkt´ow staÃlych. Wtedy M/Γ jest powierz-_, chnia Riemanna (tzn. M/Γ speÃlnia warunek Hausdorffa, natomiast rzutowanie_, M → M/Γ wprowadza naturalna struktur_, e zespolon_, a na M )._,

Dow´od. Z Propozycji 24.7 wnioskujemy, ˙ze M/Γ speÃlnia warunek Hausdorffa oraz

˙ze rzutowanie p : M → M/Γ jest nakryciem. Z dowodu tej propozycji wynika tak˙ze, ˙ze dla ka˙zdego z ∈ M istnieje otoczenie U_z takie, ˙ze p(U_z) jest otoczeniem prawidÃlowym p(z), natomiast pÃlaty nad p(U_z) sa postaci g(U_{, z}), g ∈ Γ. Mo˙zemy tak˙ze dodatkowo zaÃlo˙zy´c (ewentualnie zmniejszajac U_{, z}), ˙ze na U_z okre´slona jest mapa ϕz. Mo˙zna wtedy Ãlatwo pokaza´c, ˙ze odwzorowania ϕz◦ (p|Uz)⁻¹tworza atlas_, na M/Γ. ¤

Zauwa˙zmy, ˙ze torus jest przykÃladem ilorazowej powierzchni Riemanna z Propo-zycji 25.2, przy czym Γ to grupa translacji postaci z 7→ z + nω₁+ mω₂, n, m ∈ Z.

WykÃlad 21, 19.11.2007

Z powy˙zszych rezultat´ow widzimy, ˙ze ka˙zda powierzchnia Riemanna (z dokÃlad-no´scia do biholomorfizmu) jest postaci f_, M /Γ, gdzie fM jest powierzchnia jednosp´oj-_, na, natomiast Γ podgrup_, a Aut ( f_, M ) bez punkt´ow staÃlych, dziaÃlajac_, a dyskretnie na_,

M . Jednym z gÃl´ownych rezultat´ow bf edzie wykazanie, ˙ze jedynymi jednosp´ojnymi_, powierzchniami Riemanna sa ∆, C i P._,

Scharakteryzujemy najpierw powierzchnie, kt´orych nakryciem uniwersalnym jest P lub C.

Twierdzenie 25.3. i) Je˙zeli fM ' P, to M ' P;

ii) Je˙zeli fM ' C, to M ' C, C_∗ lub M jest torusem.

Dow´od. i) Ka˙zdy element Aut (P) ma punkt staÃly.

ii) Niech Γ bedzie podrup_, a Aut (C) bez punkt´ow staÃlych, dziaÃlaj_, ac_, a dyskretnie_, na C. Dla a 6= 1 odwzorowanie z 7→ az + b ma punkt staÃly w C, a wiec Γ skÃlada si_, e_, tylko z translacji. PoÃl´o˙zmy G := {g(0) : g ∈ Γ}. Wtedy G jest addytywna podgrup_, a_, C izomorficzna z Γ. Co wi_, ecej, G jest podzbiorem dyskretnym C (bo je˙zeli nie, to_, znajdziemy bj ∈ G∗, bj → 0, i wtedy dla j odp. du˙zego 0 ∈ ∆ ∩ (∆ − bj) -sprzeczno´s´c).

Niech V bedzie przestrzeni_, a wektorow_, a nad R generowan_, a przez G. Je˙zeli_, dim V = 0, to G = {0} i M ' C. Je˙zeli dim V = 1, to istnieje ω₀ ∈ G takie,

˙ze |ω0| = minω∈G_∗|ω|. Mo˙zna wtedy Ãlatwo pokaza´c, ˙ze G = Zω0 oraz, ˙ze Γ jest grupa nakrycia_,

C 3 z 7−→ e^2πiz/ω0 ∈ C_∗.

Je˙zeli natomiast dim V = 2, to dla eω ∈ G∗ podobnie znajdziemy ω1 ∈ (Reω) ∩ G∗

takie, ˙ze (Reω)∩G = Zω₁. Wybierzmy teraz dowolne bω ∈ G\(Rω₁). R´ownolegÃlobok K := {λω₁+ µbω : λ, µ ∈ [0, 1]}

jest zbiorem zwartym, a wiec zbi´or K ∩ G jest sko´_, nczony. Znajdziemy zatem ω2= λ₀ω₁+ µ₀ω ∈ K ∩ G \ (Rωb ₁) o minimalnym µ₀∈ (0, 1]. Twierdzimy, ˙ze G = Zω₁+ Zω₂. Inkluzja ⊃ jest oczywista. Dla wykazania odwrotnej we´zmy dowolne ω ∈ G.

Znajdziemy wtedy ω⁰∈ Zω1+ Zω2 oraz λ, µ ∈ [0, 1) takie, ˙ze ω − ω⁰ = λω1+ µω2

Mamy

ω − ω⁰= (λ + µλ₀)ω₁+ µ₀µbω ∈ K ∩ G.

Poniewa˙z µ₀µ < µ₀, z definicji µ₀ wnioskujemy, ˙ze µ = 0, a stad λω_{, 1} ∈ G, czyli λ = 0. ¤

Propozycja 25.4. Torusy C/Γ1 i C/Γ2 sa konforemne wtedy i tylko wtedy gdy_, grupy Γ₁, Γ₂ sa sprz_, e˙zone, tzn. Γ_{, 2}= F Γ₁F⁻¹ dla pewnego F ∈ Aut (C).

Dow´od. Niech p_i : C → C/Γ_i, i = 1, 2, oznaczaja naturalne rzutowania. Je˙zeli_, istnieje F ∈ Aut (C) takie, ˙ze Γ2 = F Γ1F⁻¹, to kÃladziemy f (p1(z)) := p2(F (z)), z ∈ C. Odwzorowanie f jest dobrze okre´slone, gdy˙z je˙zeli p1(z) = p1(w), to w = g₁(z) dla pewnego g₁ ∈ Γ₁. Poniewa˙z g₂ := F g₁F⁻¹ ∈ Γ₂ i g₂(F (z)) = F (w), to wtedy p₂(F (z)) = p₂(F (w)). Z symetryczno´sci oraz odwracalno´sci F dostaniemy,

˙ze tak zdefiniowane f jest bijekcja. To, ˙ze jest ono konforemne wynika z tego, ˙ze_, rzutowania p_i sa lokalnie konforemne._,

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze odwzorowanie f : C/Γ1→ C/Γ2 jest konforemne. Wybierzmy w₀∈ C takie, ˙ze p₂(w₀) = f (p₁(0)). Dla ustalonego z ∈ C niech γ bedzie krzyw_, a_, o poczatku 0 i ko´_, ncu z. KÃladziemy F (z) := w, gdzie w jest ko´ncem podniesienia krzywej f ◦ p1◦ γ o poczatku w_, 0 (dzieki twierdzeniu o monodromii definicja ta_, nie zale˙zy od wyboru γ). Z odwracalno´sci f Ãlatwo dostaniemy odwracalno´s´c F .

Poniewa˙z p₂ ◦ F = f ◦ p₁ i p₁, p₂ sa lokalnie konforemne, odwzorowanie F jest_, konforemne.

Musimy jeszcze pokaza´c, ˙ze Γ2 = F Γ1F⁻¹. Wybierzmy g1 ∈ Γ1. Wtedy p2(F (g1(0))) = f (p1(g1(0))) = f (p1(0)) = p2(F (0)), a wiec znajdziemy g_, 2 ∈ Γ2

takie, ˙ze F (g₁(0)) = g₂(F (0)). Chcemy pokaza´c, ˙ze F ◦ g₁= g₂◦ F na C. Mamy p2◦ g2◦ F = p2◦ F = f ◦ p1= f ◦ p1◦ g1= p2◦ F ◦ g1,

a wiec zar´owno F ◦ g_{, 1} jak i g₂◦ F sa podniesieniami tego samego odwzorowania, z_, jednoznaczno´sci podniesienia sa zatem r´owne. Dostali´smy wi_, ec F Γ_{, 1}F⁻¹ ⊂ Γ₂ i z symetryczno´sci dostaniemy r´owno´s´c. ¤

Cwiczenie´ Pokaza´c, ˙ze istnieje niesko´nczenie wiele niekonforemnych ze soba toru-_, s´ow.

Zauwa˙zmy, ˙ze w dowodzie Propozycji 25.4 mogliby´smy zamieni´c C z dowolna_, jednosp´ojna powierzchni_, a Riemanna (przy czym Γ_{, 1} i Γ₂ musiaÃlyby by´c jak w Pro-pozycji 25.2).

Funkcje h : M → R ∪ {−∞}, gdzie M jest powierzchni_, a Riemanna, nazy-_, wamy harmoniczna (subharmoniczn_, a), je˙zeli dla ka˙zdej mapy ϕ na M funkcja_, h ◦ ϕ jest harmoniczna (subharmoniczna). Obie te wÃlasno´sci sa czysto lokalne i_, nie zale˙za od wyboru mapy. Podobnie jak poprzednio, zbi´or funkcji harmonicznych_, na powierzchni M oznaczamy H(M ), natomiast subharmonicznych SH(M ). Zbi´or ujemnych funkcji subharmonicznych na M oznaczamy SH⁻(M ).

Jest oczywiste, ˙ze wszystkie lokalne rezultaty z RozdziaÃl´ow 22 i 23 zachodza tak˙ze_, na powierzchniach Riemanna. W Twierdzeniach 22.5 (zasada maksimum) oraz 22.11 (twierdzenie Harnacka) mo˙zna zamieni´c obszar Ω na powierzchnie Riemanna_, M , dowody pozostana bez zmian. (WÃla´sciwie jedynym rezultatem RozdziaÃlu 22,_, kt´orego nie mo˙zna bezpo´srednio przenie´s´c na powierzchnie Riemanna, jest Twier-_, dzenie 22.2.) Z zasady maksimum wynika, ˙ze na powierzchniach zwartych jedyne funkcje subharmoniczne to staÃle.