Funkcje harmoniczne

¯¯ z2− z1

1 − z₁z₂

¯¯

¯¯

2

= 1 − (1 − |z1|²)(1 − |z2|²) 1 − 2Re (z₁z₂) + |z₁|²|z₂|², mamy tak˙ze

Re (z₁z₂) = Re (f (z₁)f (z₂)).

Wnioskujemy, ˙ze f (x₀) = x₀oraz, podstawiajac z_{, 2}= x₀, ˙ze Re f (z) = Re z, z ∈ ∆, a wiec f (z) = z lub f (z) = z (dla ustalonego z). Podstawiaj_, ac z kolei z_, 2 = i/2 otrzymamy f (i/2) = ±i/2 oraz

Im f (z) = f (i/2)

i/2 Im z, z ∈ ∆. ¤

22. Funkcje harmoniczne

Funkcje h : Ω → R, gdzie Ω jest zbiorem otwartym w C, nazywamy harmoniczn_, a,_, je˙zeli h jest klasy C² oraz

∆h := ∂²h

∂x² +∂²h

∂y² = 0.

Zbi´or funkcji harmonicznych w Ω oznaczamy H(Ω). Poniewa˙z ∆ = 4 ∂²/∂z∂z ( Cwiczenie^´ ), natychmiast z definicji wynikaja podstawowe zwi_, azki funkcji har-_, monicznych z holomorficznymi.

Propozycja 22.1. i) f ∈ O(Ω, eΩ), h ∈ H(eΩ) ⇒ h ◦ f ∈ H(Ω);

ii) f ∈ O(Ω) ⇒ Re f, Im f ∈ H(Ω).

iii) f ∈ O(Ω), f 6= 0 ⇒ log |f | ∈ H(Ω). ¤

WykÃlad 17, 22.10.2007

Rezultat odwrotny do ii) zachodzi w obszarach jednosp´ojnych. Poka˙zemy nawet,

˙ze obszary jednosp´ojne sa w ten spos´ob charakteryzowane - otrzymamy si´odmy_, warunek r´ownowa˙zny warunkom w Twierdzeniu 10.8 (sz´ostym byÃla jednosp´ojno´s´c - patrz Wniosek 20.7).

Twierdzenie 22.2. Dla obszaru Ω ⊂ C warunki i)-v) w Twierdzeniu 10.8 sa_, r´ownowa˙zne nastepuj_, acemu_,

vii) Dla ka˙zdego u ∈ H(Ω) istnieje f ∈ O(Ω) takie, ˙ze Re f = u.

Dow´od. i)⇒vii) Zauwa˙zmy, ˙ze je˙zeli f = u + iv ∈ O(Ω), to z r´owna´n Cauchy’ego-Riemanna mieliby´smy f⁰ = u_x+ iv_x = u_x− iu_y. Je˙zeli teraz u ∈ H(Ω), to funkcja g := u_x− iu_y jest holomorficzna (bo speÃlnione sa r´ownania Cauchy’ego-Riemanna),_, wiec ma pierwotn_, a f = e_, u + iv ∈ O(Ω). Mamy g = f⁰= eu_x+ iv_x = eu_x− ieu_y, czyli ux = eux, uy= euy. Stad e_, u = u + const i mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze eu = u.

vii)⇒ii) Je˙zeli f ∈ O_∗(Ω), to u := log |f | ∈ H(Ω) i dzieki vii) znajdziemy_, g ∈ O(Ω) takie, ˙ze Re g = u. Mamy wtedy |e^g| = e^u = |f |, skad wynika, ˙ze_, f = e^ite^g dla pewnej staÃlej t ∈ R. ¤

Wniosek 22.3. Funkcje harmoniczne sa klasy C_, ^∞. ¤

Funkcje harmoniczne u, v nazywamy sprze˙zonymi, je˙zeli u + iv jest funkcj_, a holo-_, morficzna._,

Cwiczenie´ Niech u, v bed_, a sprz_, e˙zonymi funkcjami harmonicznymi w otoczeniu z_, 0

takimi, ˙ze u(z₀) = v(z₀). Pokaza´c, ˙ze je˙zeli zbi´or {u = u(z₀)} jest gÃladka krzyw_, a w_, otoczeniu z₀, to jest nia r´ownie˙z zbi´or {u = u(z_{, 0})} oraz, ˙ze przecinaja si_, e one pod_, katem prostym._,

Przypu´s´cmy teraz, ˙ze h jest funkcja harmoniczn_, a w otoczeniu koÃla K(z_, 0, r).

Dzieki Twierdzeniu 22.2 znajdziemy funkcj_, e holomorficzn_, a f w otoczeniu K(z_{, 0}, r) taka, ˙ze h = Re f . Z twierdzenia o warto´sci ´sredniej dla funkcji holomorficznych_, mamy

f (z₀) = 1 2π

Z _2π

0

f (z₀+ re^it)dt.

Biorac cz_, e´sci rzeczywiste dostaniemy twierdzenie o warto´sci ´sredniej dla funkcji_, harmonicznych.

Twierdzenie 22.4. Je˙zeli h jest funkcja harmoniczn_, a w otoczeniu K(z_, 0, r), to

h(z₀) = 1 2π

Z _2π

0

h(z₀+ re^it)dt. ¤

Udowodnimy teraz zasade maksimum dla funkcji harmonicznych._,

Twierdzenie 22.5. Je˙zeli h ∈ H(Ω) osiaga maksimum lokalne w obszarze Ω, to h_, jest staÃla.

Dow´od. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze h ma maksimum lokalne w z₀. Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia 6.3, korzystajac z Twierdzenia 22.4, Ãlatwo pokazujemy, ˙ze funkcja h_, jest staÃla na K(z0, r) dla pewnego r > 0. PoÃl´o˙zmy Ω⁰ := int{h = h(z0)}. Zbi´or Ω⁰ jest wiec niepusty, otwarty, trzeba jeszcze pokaza´c, ˙ze jest domkni_, ety. Je˙zeli_,

e

z ∈ Ω⁰, to w kole K(ez, er) ⊂ Ω mamy h = Re f dla pewnego f ∈ O(K(ez, er)).

Poniewa˙z Re f jest staÃla w niepustym zbiorze otwartym Ω⁰ ∩ K(ez, r), to f jest r´ownie˙z staÃla w pewnej (niepustej) skÃladowej tego zbioru, a z zasady identyczno´sci dla funkcji holomorficznych, tak˙ze na caÃlym K(ez, er). Wnioskujemy, ˙ze ez ∈ Ω⁰. ¤

Korzystajac z zasady maksimum dla funkcji harmonicznych poka˙zemy teraz,_,

˙ze pier´scienie w C sa konforemne wtedy i tylko wtedy, gdy s_, a liniowo izomor-_, ficzne. Pokazuje to, ˙ze odpowiednik twierdzenia Riemanna nie zachodzi dla ob-szar´ow wielosp´ojnych, tzn. konforemno´s´c nie jest w tym wypadku r´ownowa˙zna homeomorficzno´sci.

Twierdzenie 22.6. Niech z_j ∈ C, 0 ≤ r_j < R_j < ∞, j = 1, 2. Pier´scienie P (z1, r1, R1), P (z2, r2, R2) sa konforemne wtedy i tylko, gdy R_, 1/r1= R2/r2. Dow´od. Jest jasne, ˙ze je˙zeli R1/r1 = R2/r2, to znajdziemy odwzorowanie liniowe pomiedzy tymi dwoma pier´scieniami. ZaÃl´o˙zmy wi_, ec, ˙ze f jest odwzorowaniem_, konforemnym miedzy nimi. Korzystaj_, ac z twierdzenia Riemanna o usuwaniu os-_, obliwo´sci bez straty og´olno´sci mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze r₁ = r₂ = 1 oraz z₁ = z₂ = 0 ( Cwiczenie^´ ). Niech r, ρ bed_, a takie, ˙ze 1 < r <_, √

R2 < ρ < R2. Zbi´or K :=

{r ≤ |z| ≤ ρ} jest zwarty w P₂ := {1 < |z| < R₂}, a wiec f_, ⁻¹(K) jest zwarty w P₁ := {1 < |z| < R₁}. Znajdziemy ε > 0 takie, ˙ze V ∩ f⁻¹(K) = ∅, gdzie V := {1 < |z| < 1 + ε}. Zbi´or f (V ) jest sp´ojny, f (V ) ∩ K = ∅, a stad wynika, ˙ze_, albo f (V ) ⊂ {1 < |z| < r} albo f (V ) ⊂ {ρ < |z| < R₂}. Rozumujac podobnie w_, pobli˙zu okregu {|z| = R_{, 1}} otrzymamy, ˙ze albo

(22.1) lim

|z|→1|f (z)| = 1, lim

|z|→R1

|f (z)| = R₂, albo

|z|→1lim |f (z)| = R₂, lim

|z|→R1

|f (z)| = 1.

W drugim przypadku zamieniamy funkcje f z funkcj_, a R_{, 2}/f , mo˙zemy wiec zaÃlo˙zy´c,_,

˙ze zachodzi pierwszy przypadek.

Dla dowolnego α ∈ R funkcja

h(z) := log |f (z)| − α log |z|

jest harmoniczna w P₁, ciagÃla na P_{, 1} oraz h = 0 na {|z| = 1}. Je˙zeli wybierzemy α := log R2/ log R1, to wtedy tak˙ze h = 0 na {|z| = R1}. Z zasady maksimum (zastosowanej do funkcji h oraz −h) wynika wiec, ˙ze h = 0 w P_{, 1}. Funkcja

z^α= e^{α log z} = |z|^αe^{iαarg z},

gdzie arg z wybieramy z przedziaÃlu (0, 2π), jest holomorficzna w obszarze P₁\(0, ∞).

W tym obszarze mamy |f (z)/z^α| = 1, a wiec f (z) = λz_, ^α, gdzie |λ| = 1. Wynika stad, ˙ze funkcj_, e z_, ^α mo˙zemy ciagle przedÃlu˙zy´c na P_{, 1}, a zatem α ∈ Z. Z (22.1) wnioskujemy, ˙ze α > 0, natomiast z iniektywno´sci f , ˙ze α = ±1, a zatem α = 1. ¤ Chcemy teraz znale´z´c odpowiednik wzoru Cauchy’ego dla funkcji harmonicznych, tj. wyrazi´c jej warto´sci wewnatrz koÃla przy pomocy warto´sci na brzegu. Przyjmijmy_, dla uproszczenia, ˙ze K(z₀, r) = ∆ i ˙ze funkcja h jest harmoniczna w otoczeniu ∆.

Dla a ∈ ∆ funkcja h ◦ T_−a jest harmoniczna w otoczeniu ∆. Dzieki Twierdzeniu_, 22.4 mamy wiec_,

h(a) = h(T_−a(0)) = 1 2π

Z _2π

0

h(T_−a(e^it)) dt.

Stosujac podstawienie e_, ^is= T−a(e^it), tzn. e^it= Ta(e^is), otrzymamy

h(a) = 1 2π

Z _2π

0

T_a⁰(e^is)

T_a(e^is)e^ish(e^is) ds = 1 2π

Z _2π

0

1 − |a|²

|e^is− a|²h(e^is) ds.

Po podstawieniu z = z0+ ra otrzymamy nastepuj_, acy wz´or Poissona._,

Twierdzenie 22.7. Je˙zeli h jest funkcja harmoniczn_, a w otoczeniu K(z_{, 0}, r), to

h(z) = 1 2π

Z _2π

0

r²− |z − z₀|²

|z − z₀− re^it|²h(z₀+ re^it) dt, z ∈ K(z₀, r). ¤

Przy pomocy wzoru Poissona mo˙zemy teraz rozwiaza´c problem Dirichleta dla_, koÃla.

Twierdzenie 22.8 (na wykÃladzie w troche sÃlabszej wersji). Dla ustalonego koÃla_, K(z₀, r) oraz ϕ ∈ L^∞(∂K(z₀, r)) poÃl´o˙zmy

h(z) := 1 2π

Z _2π

0

r²− |z − z0|²

|z − z₀− re^it|²ϕ(z₀+ re^it) dt, z ∈ K(z₀, r).

Wtedy h ∈ H(K(z₀, r)) i dla ka˙zdego punktu w ∈ ∂K(z₀, r), w kt´orym ϕ jest ciagÃla_, mamy

(22.2) lim

z∈K(zz→w₀,r)

h(z) = ϕ(w).

W szczeg´olno´sci, dla ka˙zdego ϕ ∈ C(∂K(z₀, r)) istnieje dokÃladnie jedna funkcja h ∈ H(K(z₀, r)) ∩ C(K(z₀, r)) taka, ˙ze h = ϕ na ∂K(z₀, r).

Dow´od. Jednoznaczno´s´c wynika Ãlatwo z zasady maksimum zastosowanej dla r´o˙znicy dw´och rozwiaza´_, n. Zauwa˙zmy, ˙ze

Re ζ + z

ζ − z = |ζ|²− |z|²

|ζ − z|² , ζ, z ∈ C, ζ 6= z, skad wynika, ˙ze j_, adro Poissona_,

r²− |z − z0|²

|z − z₀− re^it|²

jest funkcja harmoniczn_, a wzgl_, edem z. St_, ad Ãlatwo wnioskujemy, ˙ze h jest funkcj_, a_, harmoniczna w K(z_{, 0}, r).

Dla z ∈ K(z₀, r) i ustalonego w ∈ ∂K(z₀, r) mamy (korzystamy z Twierdzenia 22.7 dla h ≡ 1)

h(z) − ϕ(w) = 1 2π

Z _2π

0

r²− |z − z₀|²

|z − z0− re^it|²

¡ϕ(z0+ re^it) − ϕ(w)¢ dt.

Ustalmy teraz ε > 0. Znajdziemy δ > 0 takie, ˙ze |ϕ(z0 + re^it) − ϕ(w)| ≤ ε, gdy |z₀+ re^it− w| ≤ δ. Mo˙zemy teraz podzieli´c przedziaÃl [0, 2π] na dwa rozÃlaczne_, podzbiory A i B takie, ˙ze |ϕ(z₀+re^it)−ϕ(w)| ≤ ε, gdy t ∈ A, oraz |z₀+re^it−w| ≥ δ, gdy t ∈ B. Dla z ∈ ∂K(z0, r) odp. bliskiego w mamy wtedy

|h(z) − ϕ(w)| ≤ 1 2π

Z _2π

0

r²− |z − z₀|²

|z − z₀− re^it|²

¯¯¡

ϕ(z0+ re^it) − ϕ(w)¢¯

¯ dt

= 1 2π

µZ

A

+ Z

B

¶

≤ ε + 2Mr²− |z − z₀|² (δ − |z − w|)²,

gdzie M := max_∂K(z0,r)|ϕ|. Stad otrzymamy (22.2). ¤_,

Uwaga. Zauwa˙zmy, ˙ze dow´od istnienia rozwiazania w Twierdzeniu 22.8 daje inny_, dow´od Twierdzenia 22.7 (poza przypadkiem h ≡ 1, kt´ory mo˙zemy sprawdzi´c bez-po´srednio), bez korzystania z funkcji holomorficznych (to, ˙ze jadro Poissona jest_, funkcja harmoniczn_, a wzgl_, edem z mo˙zna oczywi´scie tak˙ze sprawdzi´c bezpo´srednio)._, Metode dowodu Twierdzenia 22.8, w przeciwie´_, nstwie do poprzedniego dowodu Twierdzenia 22.7, mo˙zna zastosowa´c tak˙ze w wy˙zszym wymiarze.

WykÃlad 18, 29.10.2007

Wyka˙zemy teraz pewne wÃlasno´sci ciag´ow funkcji harmonicznych. Pierwsz_, a jest_, odpowiednik twierdzenia Weierstrassa dla funkcji holomorficznych.

Propozycja 22.9. Je˙zeli ciag h_{, n} ∈ H(Ω) jest zbie˙zny lokalnie jednostajnie do h, to h ∈ H(Ω). Co wiecej, D_, ^αh_n → D^αh lokalnie jednostajnie dla dowolnego wielowska´znika α.

Dow´od. Problem jest czysto lokalny. Zamieniajac h_, n z hn+ an (na pewnym relaty-wnie zwartym podzbiorze Ω), gdzie a_n jest odp. ciagiem staÃlych zbie˙znym do 0,_, bez straty og´olno´sci mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze hn jest ciagiem rosn_, acym. Niech K(z_, 0, r) bedzie koÃlem w Ω i niech e_, h ∈ H(K(z0, r)) ∩ C(K(z0, r)) bedzie taka, ˙ze e_, h = h na

∂K(z₀, r). Z zasady maksimum na K(z₀, r) dla ka˙zdego n mamy 0 ≤ eh − h_n≤ max

∂K(z0,r)(h − h_n),

a zatem h_n da˙zy jednostajnie do e_, h w K(z₀, r). Druga cze´s´c wynika teraz z Twier-_, dzenia 22.7 (bo mo˙zemy r´o˙zniczkowa´c pod znakiem caÃlki). ¤

Dla funkcji harmonicznych mamy odpowiednik twierdzenia Montela.

Twierdzenie 22.10. Z ka˙zdego lokalnie jednostajnie ograniczonego ciagu funkcji_, harmonicznych na obszarze w C mo˙zemy wybra´c podciag zbie˙zny lokalnie jednosta-_, jnie.

Dow´od. Dla jadra Poissona w K(z_{, 0}, r) ⊂ Ω mamy r²− |z − z0|²

|z − z₀− re^it|² − 1 = Re re^it+ z − z0

re^it− (z − z₀) − 1 = 2Re z − z0

re^it− (z − z₀). Stad, je˙zeli h ∈ H(Ω), |h| ≤ M w K(z_, 0, r) i |z − z0| ≤ r/2, to

|h(z) − h(z₀)| ≤ 4M

r |z − z₀|,

a zatem taka rodzina jest r´ownociagÃla i wystarczy skorzysta´c z twierdzenia Arzeli-_, Ascoliego. ¤

Nastepny rezultat jest nazywany twierdzeniem Harnacka (1887)._,

Twierdzenie 22.11. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze hn jest rosnacym ci_, agiem funkcji harmonicz-_, nych okre´slonych na obszarze Ω w C. Wtedy albo lim h_n = ∞ albo ciag h_{, n} jest zbie˙zny lokalnie jednostajnie w Ω.

Podstawowym narzedziem w dowodzie tego twierdzenia jest nier´owno´s´c Har-_, nacka, kt´ora sformuÃlujemy osobno._,

Twierdzenie 22.12. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze h ∈ H(K(0, R)), h ≥ 0. Wtedy R − |z|

R + |z|h(0) ≤ h(z) ≤ R + |z|

R − |z|h(0), z ∈ K(0, R).

Dow´od. Niech |z| < ρ < R. Ze wzoru Poissona mamy h(z) = 1

2π Z _2π

0

ρ²− |z|²

|ρe^it− z|²h(ρe^it)dt.

Mamy tak˙ze

ρ − |z|

ρ + |z| ≤ ρ²− |z|²

|ρe^it− z|² ≤ ρ + |z|

ρ − |z|.

Teraz wystarczy, korzystajac z tego, ˙ze h ≥ 0, przej´s´c z ρ do R. ¤_,

Dow´od Twierdzenia 22.11. Zamieniajac funkcje h_, n z hn− h1, bez straty og´olno´sci mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze h_n ≥ 0. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze K(z₀, R) jest koÃlem w Ω i 0 < r < R. Z nier´owno´sci Harnacka mamy

R − r

R + rhn(z0) ≤ hn(z) ≤ R + r

R − rhn(z0), z ∈ K(z0, r), a stad_,

(22.3) R − r

R + rh(z₀) ≤ h(z) ≤ R + r

R − rh(z₀), z ∈ K(z₀, r),

gdzie h := lim h_n. Z (22.3) wynika, ˙ze zbiory A := {h < ∞} oraz B := {h = ∞}

sa otwarte, a wi_, ec albo A = Ω albo B = Ω. W pierwszym przypadku z (22.3)_, wnioskujemy, ˙ze h jest funkcja ci_, agÃl_, a, a wi_, ec z twierdzenia Diniego mamy lokalnie_, jednostajna zbie˙zno´s´c. ¤_,

W dokumencie 4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 10 (Stron 67-73)